2023年湖北省恩施市小渡船中学中考模拟数学试题（解析版）

2023年九年级中考数学适应性测试题

一、单选题（36分）

1. 3的相反数是（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义进行求解即可．

【详解】解：3的相反数是，

故选A．

【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知相反数的定义是解题的关键：0的相反数是0，只有符号不同的两个数是相反数．

2. 据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%，数70100亿用科学记数法表示为（　　）

A. 7.01  B. 7.01  C. 7.01  D. 7.01

【答案】C

【解析】

【分析】把一个很大的数写成的形式．

【详解】解：亿＝．

故选．

【点睛】本能运用了科学记数法的定义这一知识点，掌握好与数位之间的关系是解题的关键．

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.    B.    C.    D.  

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．

4. 下列运算中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数幂乘法法则、同底数幂除法法则、合并同类项以及积的乘方运算法则分析判断即可．

【详解】解：A. ，故运算错误，不符合题意；

B. ，故运算错误，不符合题意；

C. ，故运算错误，不符合题意；

D. ，运算正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项以及积的乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

5. 函数y=的自变量x的取值范围是（　　）

A. x≥-1 B. x≥-1且x≠2 C. x≠±2 D. x＞-1且x≠2

【答案】B

【解析】

【分析】本题有二次根式和分式，则要使式子有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.

【详解】解：由题意得：x+10且0，

解得：x-1且x2.

故选：B

6. 从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象的概率是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出 mn＝6，列表找出所有 mn的值，

根据表格中 mn＝6所占比例即可得出结论．

【详解】解：点在函数的图象上，

．

列表如下：

的值为6的概率是．

故选．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表

找出 mn＝6的概率是解题的关键．

7. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（），其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论.

【详解】解：直线，

，

，，，

，

故选．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

8. 已知一组数据为7，2，5，，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为(   )

A. 3 B. 4.5 C. 5.2 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】先由平均数是5计算的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．

【详解】解：∵一组数据7，2，5，，8的平均数是5，

∴，

∴，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，，…的平均数为，则方差，是解题的关键．

9. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　）

A. 12 B. 15 C. 18 D. 21

【答案】C

【解析】

【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为．

【详解】由折叠可得，，

，

又，

，

，

，

由折叠可得，，

，

是等边三角形，

周长为，

故选C．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

10. 甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.

【详解】解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，

∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，

∴，

故选D.

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.

11. 若点、、都在反比例函数上，则、、的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解．

【详解】解：∵，

∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，

∵点、、都在反比例函数上，

∴点在第二象限内，点、在第四象限内，

∴．

故选：D

【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．

12. 如图所示，已知二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置可得的取值范围，由此可判断①；由可得的坐标，代入解析式可判断②；结合对称轴以及点坐标可得当时的函数值，即可判断③；由点坐标结合对称轴可得点坐标，据此可判断④．

【详解】解：∵二次函数图像开口向下，交轴于正半轴，

∴，，

∵二次函数对称轴为直线，

∴，

∴，

∴，故①正确；

∵当时，，

∴，

又∵，点在轴负半轴上，

∴，

把代入，可得，

∴，故②正确；

∵该抛物线对称轴为直线，，

则在该抛物线上点关于直线的对称点为，

将代入，

可得，

∴，故③错误；

∵，对称轴直线，

∴，

∴是关于的一元二次方程的一个根，故④正确．

综上所述，正确的结论有①②④，共计3个．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了抛物线与轴交点以及与二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．

二、填空题（12分）

13. 因式分解： ________________．

【答案】

【解析】

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

14. 已知一元二次方程的两根为，则______．

【答案】3

【解析】

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后运用完全平方公式进行运算即可．

【详解】解：对于一元二次方程，

根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，

所以．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系以及运用完全平方公式进行运算，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．

15. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为4cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．

【答案】

【解析】

【分析】根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和BO、DO的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积．

【详解】如图可知，

又已知，是由绕圆心O逆时针旋转得到，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴ ，，

．

故答案为π．

【点睛】本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键．

16. 如图，是等腰直角三角形，，在内构造第一个正方形，使点、在直角边上，、在斜边上；在内构造第二个正方形，使点、在直角边上，、在斜边上；在内构造第三个正方形，使点、在直角边上，、在斜边上；依次下去，则第2个正方形的边长为______．

【答案】

【解析】

【分析】设正方形的边长为，，都是等腰直角三角形，得出，根据列出方程，得出第个正方形的边长为,同理得出前几个正方形的边长，进而得出第个正方形的边长，即可求解．

【详解】解：设正方形的边长为，

∵，都是等腰直角三角形，

∴

∴

解得：，即第个正方形的边长为,

设第二个正方形的边长为，

∵，都是等腰直角三角形，

∴

∴

解得：，

同理可得第3个正方形的边长为，

∵

……，

第个正方形的边长为

∴第2个正方形的边长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了图形类规律题，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，找到规律是解题的关键．

三、解答题（72分）

17. 先化简，再求值：，其中.

【答案】

【解析】

【分析】首先将分式化简，化成最简式，再将参数代入计算即可.

【详解】解：原式

当时，原式

【点睛】本题主要考查分式的化简，根据化简的分式求值，这是中考的必考题，应当熟练掌握.

18. 如图，是正方形对角线延长线上的两点，且，连接．

（1）求证：．

（2）试判断四边形的形状，并说明理由．

【答案】（1）见详解    （2）四边形是菱形，理由见详解

【解析】

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）根据正方形的性质及全等三角形的性质可推导，，即可得到四边形是平行四边形，再由即可得到四边形是菱形．

【小问1详解】

证明：∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴；

【小问2详解】

解：四边形是菱形，理由如下：

如下图，连接，交于点，

∵四边形是正方形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定定理等知识，解题的关系是熟练掌握相关知识并灵活运用．

19. 为了促进学生多样化发展，武汉市第八十一中学每周三组织开展了社团活动，分别设置了体育、舞蹈、文学、音乐社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项），为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：

（1）此次共调查了　   　人，补齐舞蹈社团、音乐社团条形图；

（2）求音乐社团在扇形统计图中所占圆心角的度数　   　；

（3）若该校有1600名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？

【答案】（1）200，图详见解析；（2）36°；（3）640

【解析】

【分析】（1）根据条形图和扇形图得出数据，计算即可；

（2）求出参与音乐社团人数所占的百分比，计算即可；

（3）利用样本估计总体．

【详解】解：（1）此次共调查的人数为：80÷40%＝200（人），

参与舞蹈社团的人数为：20040（人），

参与音乐社团的人数为：200﹣80﹣40﹣60＝20（人），

补齐舞蹈社团、音乐社团条形图如图所示：

故答案为：200；

（2）音乐社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为：360°36°，

故答案为：36°；

（3）估计喜欢体育类社团的学生的人数为：1600×40%＝640（人）．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20. 如图所示，一艘轮船从A处出发向正东方向匀速航行，领航员在A处观测到灯塔C位于北偏东45°，30min后轮船航行到B处，再观测时，灯塔C位于北偏东30°，且轮船与灯塔C相距20km．求轮船航行的速度是多少km/h？（结果精确到0.1km/h）（参考数据：＝1.414，＝1.732）

【答案】轮船航行的速度是14.6km/h

【解析】

【分析】如图，作CD⊥AB于D，依题意有：∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，解直角三角形即可得到结论．

【详解】解：如图，作CD⊥AB于D，依题意有：∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，

∴BD＝BC＝×20＝10（km），

∴AD＝CD＝（km），

∴AB＝AD﹣BD＝（）km，

则，

即轮船航行的速度是14.6km/h．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．

21. 如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于(1,),两点，点在第四象限，∥ 轴，.

    (1)求的值及点的坐标；

    (2)求的值.

【答案】（1），；（2）2.

【解析】

【详解】【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标；

（2）作BH⊥AC于H，设AC交轴于点D，根据 ， ，可得，再由已知可得，从而得，求出即可.

【详解】（1）∵点(1，)在上，

∴=2，∴(1，)，

把(1，)代入 得，

∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于，两点，

∴ 两点关于原点中心对称，

∴ ；

（2）作BH⊥AC于H，设AC交轴于点D，

∵ ， ，∴，

∵∥ 轴，∴∥轴，∴，∴，

∴.

【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.

22. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售20件．

【解析】

【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为(x+8)元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；

（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．

【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，

根据题意得，，

解得，

经检验，是原方程的解，

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为，

设甲种商品按原销售单价销售a件，则

，

解得，

答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键．

23. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE、BE，DE交OA于点F．

（1）求证：BC为⊙O切线；

（2）若OF＝2AF，若BE＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

【分析】（1）连接OD，由三角形的中位线和切线的判定证明即可；

（2）设AF＝t，OF＝2t，则⊙O的半径为3t，证明△AEF∽△DBF，由相似三角形的性质得出，求出AE，由勾股定理得出，解得t＝．则可求出答案．

【详解】证明：（1）连接OD，

∵OA＝OD，∠A＝45°，

∴∠ADO＝∠A＝45°，

∴∠AOD＝90°，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD，

∴OD∥BC，

∴∠ABC＝∠AOD＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设AF＝t，OF＝2t，

则⊙O的半径为3t，

∵AD＝BD，

∴＝，

∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，

∴BD＝OB＝3t，

∵FD＝＝＝t，

∵∠AFE＝∠BFD，∠ABD＝∠FEA，

∴△AEF∽△DBF，

∴，

∴AE＝t＝t，

在Rt△ABE中，

∵AE2+BE2＝AB2，

∴，

解得t＝．

∴⊙O的半径为．

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定于性质以及勾股定理的运用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标．

（3）已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

【答案】（1）   

（2）   

（3）或或

【解析】

【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式．

（2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．

（3）根据题意可得，以的关系建立方程求解即可．

【小问1详解】

解：中，令，得，令，得

，

把代入，得

，解得，

抛物线得解析式为；

【小问2详解】

解：由（1）得：，

如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，

轴，

，

，

即，

，

设D点的坐标为 ，则

，

，，

∴

解得（舍去），，

当时，，

点D的坐标为；

【小问3详解】

解：如图，

∵，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，

∴，

设 ，

，

解得 ，

点的坐标为或或．

【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到是问题的解题关键，本题综合难度不大．