福建省龙岩市上杭县片区十八校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 下列一元二次方程没有实数根的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．
【详解】解：A．方程中，此方程有两个不相等的实数根；
B．方程中，此方程有两个相等的实数根；
C．方程中，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程中，此方程没有实数根；
故选D．
3. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. 1B. 0C. 0或1D. 0或﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=1代入方程式即可求解．
【详解】解：把x=1代入方程x2-2mx+1=0，可得1-2m+1=0，得m=1，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根
C. 无实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.
【详解】，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
6. 点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象与性质；根据二次函数的解析式可得，，对称轴为，二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．
【详解】解：二次函数中，，开口向下，对称轴为直线，
则二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，
到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）

A. （1，0）B. （0，0）C. （-1，2）D. （-1，1）
【答案】C
【解析】
【分析】根据其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的，那么对应点到旋转中心的距离相等，找出这个点即可．
【详解】解：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有（-1，2）点到三角形的三顶点距离相等，故（-1，2）是图形的旋转中心，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转中心到对应点的距离相等，是解决问题的关键．
8. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，由题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据该快递店揽件日平均增长率为x，第二天的揽件数为：，则第三天的揽件数为：，即可解答．
【详解】解：依题意得：，
故选：A
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要找到等量关系，同时要注意增长率问题的一般规律．
9. 四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
【详解】解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
解得：
∴二次函数的解析式为：
∴当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得
解得：
∴
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断．
【详解】∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x=1，则=1，b=﹣2a，
∴2a+b=0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x=﹣1 时，y＜0，故③错误；
当 x=﹣1 时，有 y=a﹣b+c＜0，故④正确；
由 2a+b=0，得 a=﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
综上，正确的选项有：①②④．
所以正确结论的个数是3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 若y与x的函数+3x是二次函数，则m=______．
【答案】-1
【解析】
【分析】由二次函数的定义可知m2+1=2，m-1≠0，从而可求得m的值．
【详解】∵+3x 是二次函数，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
12. 已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝_______．
【答案】1
【解析】
【详解】∵物线 与x轴交点的横坐标为-1，
∴a-1+c=0，
∴a+c=1，
故答案为1.
13. 已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为 ___．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据题意可得： 且 ，即可求解．
【详解】解：将一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9整理得：
（m﹣3）x2﹣3x+m2-9=0，
∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：-3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式 是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，6）绕坐标原点O顺时针旋转90°得到点Q，则点Q的坐标为_____．
【答案】（6，﹣4）
【解析】
【分析】画出坐标系，然后找到旋转后得到的Q点，根据三角形全等找到对应线段，从而求出坐标．
【详解】解：作图如下，
∵∠MPO+∠POM＝90°，∠QON+∠POM＝90°，
∴∠MPO＝∠QON，
在△PMO和△ONQ中，
，
∴△PMO≌△ONQ（AAS），
∴PM＝ON，OM＝QN，
∵P点坐标为（4，6），
∴Q点坐标为（6，﹣4），
故答案为（6，﹣4）．
【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系，关键是根据旋转的条件，确定全等三角形．
15. 已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】把点P（m，n）代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，整理可得m+n＝﹣（m+1）2+4，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数求最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD'，连接BD'．若AB＝2cm，则BD'的最小值为_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】在AC上截取AE＝AB＝2，作EF⊥BC于F，如图，先计算出AC＝2AB＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，则CE＝2，再在Rt△CEF中计算出EF＝1，FC＝，接着证明△ABD′≌△ADE得到DE＝BE′，然后利用勾股定理得到DE2＝DF2+EF2＝（BD﹣）2+1，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：在AC上截取AE＝AB＝2，作EF⊥BC于F，如图，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
在Rt△CEF中，EF＝CE＝1，FC＝EF＝，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD'，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，
∴∠BAD′＝∠EAD，
在△ABD′和△ADE中
，
∴△ABD′≌△ADE，
∴DE＝BE′，
在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2＝（﹣BD）2+12＝（BD﹣）2+1，
∴当BD＝时，DE2有最小值1，
∴BD'的最小值为1．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．构建△ADE与△AD′B全等是解决此题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
解得：；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
18. 已知二次函数的图象经过点(1，10)，顶点坐标为(－1，－2)，则此二次函数的解析式并写出y随x值的增大而增大的x取值范围？
【答案】；当x>-1时，y随x的增大而增大
【解析】
【分析】由顶点为(－1，－2)，则可设二次函数为，然后把点（1，10）代入即可.
【详解】解：设此二次函数的解析式为且经过点（1,10）
∴
解得：，
∴ 二次函数的解析式为：，
∵对称轴为：，且抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大.
【点睛】本题考查了用顶点式求抛物线解析式的一般方法，必须熟练掌握抛物线解析式的几种形式，解题的关键是熟记二次函数的性质.
19. 图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称性质即可画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【详解】解：（1）如图1，△DCE即为所求；
（2）如图2，△DCE即为所求．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转和对称的性质．
20. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
【详解】（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
21. 如图①，等腰直角三角形的直角顶点O为正方形的中心，点C，D分别在和上，现将绕点O逆时针旋转α角，连接，（如图②）．
（1）在图②中，＝ ；（用含α的式子表示）
（2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转得，再利用正方形性质求出，进而求出；
（2）由正方形的性质得到，，由等腰直角三角形的性质得，再证明，即可得出
【小问1详解】
解：绕点O逆时针旋转α角，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
，理由如下，
如图②，∵四边形为正方形，
，，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在和中
，
，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键
22. 如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接AD，根据旋转的性质得到DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，根据全等三角形的性质得到∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在△ABC与△ABE中，，
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：连接AD，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝AE＝2．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
（1）求与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价降低元时，每月获得最大利润为元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用；
（1）根据销售单价每降元，则每月可多销售条，写出与函数关系式；
（2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
与的函数关系式为，
故答案为：；
【小问2详解】
由题意得：，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
此时元，
当销售单价降低元时，每月获得最大利润元；
24. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一点， 点为抛物线顶点，连接，若为等腰三角形，求点的坐标；
（3）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式
（2）点坐标为，，
（3）或
【解析】
【分析】（1）由对称轴为，可求点坐标，设：，代入点坐标，即可求解，
（2）求出顶点坐标，根据两点间距离公式，可求长，分①时②③三种情况，分别列式，即可求解，
（3）设点为，作对称轴于，分①点在轴上方②点在轴下方，两种情况，由，求出点，代入抛物线解析式，进而求出的值，即可求解，
本题考查了，求抛物线解析式，等腰三角形存在性，一线三垂直，解题的关键是：牢记等腰三角形存在的三种可能性，一线三垂直全等．
【小问1详解】
解：与轴交于点和点，对称轴为，
点为，，
设：，
，，
点为，
，解得：，
，
故答案为： 抛物线的解析式，
【小问2详解】
解：，
顶点为，，
设，
①当时，，解得：，
，
②当时，，解得：，
，
③当时，，解得：，
，
故答案为：点坐标为，，，
【小问3详解】
解：设点为，作对称轴于，
①如图点在轴上方时，

，，
，
，，
，
，代入
得：解得：（舍），，
，，
②如图点在轴下方时，

同①可得：，
，，
，
，代入
得：解得：，（舍），
，，
故答案为：或．
25. 如图，在等边三角形内有一点．

（1）若，，，求的度数；
（2）若等边三角形边长为，求的最小值；
（3）如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．

【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出；
（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，则，当四点共线时，取得最小值，即的长，勾股定理，即可求解．
（3）如图，延长，过点作于，得到，求出，勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解： 如图所示，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，
，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
【小问2详解】
解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，

则，，，则是等边三角形，
，
再将绕点顺时针旋转得到，则
，，，
当四点共线时，取得最小值，即的长，
设，交于点，
，，
，
，
在中，
，
即的最小值为；
【小问3详解】
如图，将绕点逆时针旋转，得到，

，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，，
如图，延长，过点作于，则，

，，
，
，
，
，即正方形的边长为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．