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    江西省抚州市临川中阳初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题(原卷版+解析版)

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    试卷分值:120分 测试时间:120分钟
    一、单选题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    1. 如图,在中,,,,则长为( )
    A. 1.5B. 3C. 6D. 9
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题主要考查了直角三角形的性质.根据“直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”,即可求解.
    【详解】解:在中,,,,
    ∴.
    故选:C
    2. 下列不等式的变形正确的是( )
    A. 若,则B. 若,且,则
    C. 若,则D. 若,则
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题主要考查了不等式的基本性质,根据不等式的性质:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,进行分析即可.
    【详解】解:A、若,则,故原变形错误,故此选项不符合题意;
    B、若,且,则,故原变形错误,故此选项不符合题意;
    C、若,当时,则,故原变形错误,故此选项不符合题意;
    D、若,由题分析得,不等式两边同时除以正数,则,原变形正确,故此选项符合题意.
    故选:D.
    3. 函数中,自变量x的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了二次根式有意义的条件,不等式在数轴上的表示.
    本题中由,解不等式即可.
    详解】解:由题意得:,
    解得:,
    A、本选项符合题意;
    B、表示的解集为,故本选项不符合题意;
    C、表示的解集为,故本选项不符合题意;
    D、表示的解集为,故本选项不符合题意.
    故选:A.
    4. 如图,一次函数的图象与轴交于点,则不等式的解集为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质.根据一次函数的性质得出随的增大而增大,当时,,即可求出答案.
    【详解】解:一次函数的图象与轴交于点,且随的增大而增大,
    当时,,即,
    不等式的解为.
    故选:B.
    5. 如图,在中,,,垂足为D,则与的数量关系是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理,根据含30度角的直角三角形的性质先得到,再由三角形内角和定理求出,从而得到,据此可得答案.
    【详解】解:∵在中,,,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,即,
    故选;C.
    6. 如图,,点在上,连接,且,以为底边作等腰三角形,连接,则的最小值是( )
    A. 3B. C. D. 2
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据,得到直线是线段的垂直平分线,,故射线是的平分线,直线是定直线,根据得点D是定点,根据垂线段最短,故过点D作于点G,结合,得到,根据,解得,选择即可,本题考查了线段的垂直平分线,角的平分线,勾股定理,垂线段最短,熟练掌握勾股定理,垂线段最短是解题的关键.
    【详解】∵,
    ∴直线是线段的垂直平分线,,
    故射线是的平分线,直线是定直线,
    ∵,
    ∴点D是定点,根据垂线段最短,
    故过点D作于点G,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    解得,
    故选C.
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    7. 不等式的解集为______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据不等式的基本性质,即可求解,
    本题考查了,解一元一次不等式,解题的关键是:熟练掌握不等式的基本性质.
    【详解】解:,


    故答案为:.
    8. 如图,函数和的图象交于点,则关于x的不等式的解集为___________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系,根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时,自变量的取值范围即可得到答案.
    【详解】解:由函数图象可知,当函数的图象在函数的图象上方时,自变量的取值范围为,
    ∴关于x的不等式的解集为,
    故答案为:.
    9. 若不等式的解集为,则m的取值范围为______________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握一元一次不等式的基本性质.
    根据不等式的基本性质求解可得.
    【详解】解:不等式的解集为,

    解得,
    故答案为:.
    10. 已知不等式组,有四个整数解,则的取值范围为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况,求出参数的范围,先求出不等式组的解集,根据解集得到关于的不等式组,求解即可.
    【详解】解:解,得:,
    ∵不等式组有四个整数解,
    ∴,
    ∴不等式组的整数解为,
    ∴;
    故答案为:.
    11. 已知:在中,,,,则_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题主要考查了勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,过点A作交延长线于H,利用平角的定义和三角形内角和定理求出,则,,利用勾股定理得到,代值计算即可.
    【详解】解:如图所示,过点A作交延长线于H,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    在中,由勾股定理得,
    在中,由勾股定理得,
    ∴,即,
    ∴(负值舍去),
    故答案为:.
    12. 等腰三角形中,高与一腰所夹的锐角是,则等腰三角形底角的度数为 ________________.
    【答案】或或
    【解析】
    【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义,分类讨论:为锐角三角形时,①当是等腰底边上的高时,②当是等腰腰上的高时,当等腰为钝角三角形时,则顶角为钝角,此时高只能是腰上的高,利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解,熟练掌握基础知识,利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
    【详解】解:依题意有以下两种情况:
    (1)为锐角三角形时,
    此时又有两种情况:
    ①当是等腰底边上的高时,如图1所示:

    为等腰三角形底边上的高,


    ∵高与一腰所夹的锐角是,


    ②当是等腰腰上的高时,如图2所示:

    为等腰三角形腰上的高,


    ∵高与一腰所夹的锐角是,




    (2)当等腰为钝角三角形时,则顶角为钝角,此时高只能是腰上的高,如图3所示:
    为等腰三角形腰上的高,


    ∵高与一腰所夹的锐角是,





    综上所述:等腰三角形底角的度数为或或.
    故答案为:或或.
    三、解答题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分)
    13. 解不等式(组)
    (1)10-4 (x-3)≤2 (x-1)
    (2)
    【答案】(1)x≥4;(2)x>6
    【解析】
    【分析】(1)先去括号,再移项,合并同类项,化系数为1即可;
    (2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
    【详解】解:(1)去括号得,10-4x+12≤2x-2,
    移项得,-4x-2x≤-2-10-12,
    合并同类项得,-6x≤-24,
    化系数为1得,x≥4;
    (2)
    由①得,x>-5;
    由②得,x>6,
    故此不等式组的解集为:x>6.
    【点睛】本题主要考查的是解一元一次不等式组,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键.
    14. 如图,在中,,直线经过顶点,过,两点分别作的垂线,,,为垂足,且.求证:
    (1);
    (2).
    【答案】(1)见解析 (2)见解析
    【解析】
    【分析】本题考查了全等三角形的常见模型:垂线模型,熟悉模型的构成及相关结论是解题关键.
    (1)证即可求证;
    (2)由(1)可得,据此即可求证.
    【小问1详解】
    证明:,,
    .
    在和中,

    .


    即.
    【小问2详解】
    解:,
    .
    又,,
    .
    15. 如图,图1、图2分别是的网格,网格中的每个小正方形的边长均为1.请按下列要求分别画出相应的图形,且所画图形的每个顶点均在所给小正方形的顶点上.
    (1)在图1中画出一个斜边长为直角三角形;
    (2)在图2中画出一个腰长为5,面积为10的等腰三角形.
    【答案】(1)见解析 (2)见解析
    【解析】
    【分析】此题考查作图-应用与设计和勾股定理,
    (1)根据勾股定理,画出斜边长为的直角三角形即可;
    (2)由可以构造等腰三角形的一条边,再利用网格画出5的边即可.
    【小问1详解】
    (1)如图1中,即为所求.,
    【小问2详解】
    如图2中,即为所求.,,
    16. 如图,直线与轴相交于点,与轴相交于点,直线与直线相交于点,交轴于点.

    (1)求直线的解析式;
    (2)求直线、直线和轴所围成的三角形的面积;
    (3)根据图象,直接写出关于的不等式的解集.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)将,代入直线,求出得值,将点,,代入直线,就出、得值,即可求解,
    (2)将,代入,求出点坐标,计算,即可求解,
    (3)结合图象,找出直线,在直线下方所对应的得范围,即可求解,
    本题考查了,待定系数法求一次函数解析式,求直线围成的图形面积,根据直线交点求不等式的解集,解题的关键是:熟练掌握数形结合的思想.
    【小问1详解】
    解:将,代入直线,得:,解得:,
    将点,,代入直线,得:,解得:,
    ∴直线的解析式为:,
    【小问2详解】
    解:当时,,解得:,
    ∴点,

    【小问3详解】
    解:根据图象得,当时,,
    17. 如图,在四边形中,.,,点E在边上,连接,相交于点F,且.
    (1)求证:是等边三角形;
    (2)若,求的长.
    【答案】(1)见解析 (2)3
    【解析】
    【分析】(1)先证明是等边三角形,可得,由平行线的性质可得,可得结论;
    (2)证明,得.再结合平行线的性质,证得 ,从而得到,即可求解.
    【小问1详解】
    证明:,,
    是等边三角形,


    ,,

    是等边三角形;
    【小问2详解】
    解: ,
    在和中,










    【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,平行线的性质,证明是解题的关键.
    四、解答题(本大题共3个小题,每小题8分,共24分)
    18. 已知关于的方程组的解均为非负数,
    (1)用的代数式表示方程组的解;
    (2)求的取值范围;
    (3)化简:.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,解一元一次不等式组,化简绝对值,正确求出方程组的解是解题的关键.
    (1)利用加减消元法求解即可;
    (2)根据(1)所求结合题意可得,解不等式组即可得到答案;
    (3)根据(2)所求得到,据此化简绝对值求解即可.
    【小问1详解】
    解:
    得:,解得,
    把代入②得:,解得,
    ∴方程组的解为;
    【小问2详解】
    解:∵关于的方程组的解均为非负数,
    ∴,
    ∴;
    【小问3详解】
    解:∵,
    ∴,


    19. 如图,在中,,垂足为,,延长至,使得,连接.
    (1)求证:;
    (2)若,,求的周长和面积.
    【答案】(1)证明见解析;(2)周长为,面积为22.
    【解析】
    【分析】(1)先根据垂直的定义可得,再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证;
    (2)先根据全等三角形的性质可得,从而可得,再利用勾股定理可得,从而可得,然后利用勾股定理可得,最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得.
    【详解】(1)证明:,

    在和中,,


    (2),,









    则的周长为,
    的面积为.
    【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点,熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键.
    20. 已知一次函数(k,b为常数且).
    (1)若函数图象过点,求的值.
    (2)已知点和点都在该一次函数的图象上,求k的值.
    (3)若,点且 在该一次函数的图象上,求证.
    【答案】(1)3 (2)
    (3)见解析
    【解析】
    【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质.
    (1)把点代入一次函数解析式中即可得到答案;
    (2)把点和点代入一次函数解析式中求出k的值即可;
    (3)先得到,再把点代入一次函数解析式得到,则可得到,则,解得.
    【小问1详解】
    解:∵一次函数的图象过点,
    ∴,
    ∴;
    【小问2详解】
    解:∵点和点都在该一次函数的图象上,
    ∴,
    ∴;
    【小问3详解】
    证明:∵,
    ∴,
    ∵点且 在该一次函数的图象上,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    五、解答题(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
    21. 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表:
    (1)甲、乙两种品牌耳机进价各是多少元?
    (2)商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个,其中甲品牌耳机数量不少于30个,在采购总价不超过35000元的情况下,最多能购进多少个甲品牌耳机?
    【答案】(1)甲品牌耳机的进价是220元,乙品牌耳机的进价是160元
    (2)50个
    【解析】
    【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组应用,根据题意列二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键;
    (1)根据第一次和第二次的总费用,列方程组求解即可;
    (2)根据总价不超过35000,甲品牌耳机数量不少于30个,列不等式组求解即可.
    【小问1详解】
    解:设甲品牌耳机的进价是x元,乙品牌耳机的进价是y元,
    根据题意,得,
    解得,
    答:甲品牌耳机的进价是220元,乙品牌耳机的进价是160元.
    【小问2详解】
    设第三次购进甲品牌耳机m个,则购进乙品牌耳机个,
    根据题意,得,
    解得,
    ∴m的最大值为50.
    答:最多能购进50个甲品牌耳机.
    22. 如图,在中,,的垂直平分线交于,交于.

    (1)若,求的度数.
    (2)连接,若,.
    ①求的周长;
    ②在直线上是否有在点,使的值最小,若存在,标出点的位置并求的最小值,若不存在,说明理由.
    【答案】(1)
    (2)①②存在,见详解,
    【解析】
    【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,可得的度数,根据直角三角形两锐角的关系,可得答案;
    (2)①利用线段垂直平分线的性质得,可得答案;
    ②根据垂直平分线的性质得点B关于直线的对称点为点A,要使的值最小,则连接与直线的交点即为点P,即的最小值即可的长.
    【小问1详解】
    解:∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∵垂直平分,
    ∴,
    ∴;
    【小问2详解】
    解:①∵垂直平分,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴的周长,
    ②如图,

    ∵垂直平分,
    ∴点B关于直线的对称点为点A,
    ∴要使的值最小,则连接与直线的交点即为点P,
    ∴当点P与点M重合时,最小值
    ∴最小值为.
    【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质等知识,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
    六、解答题(本大题共1个小题,每小题12分,共12分)
    23. 如图,在△ABC中,∠A=90º,∠B=30º,AC=6厘米,点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动,点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动,两点同时运动,同时停止,运动时间为t秒;过点E作EF//AC交AB于点F;
    (1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?
    (2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?
    (3)求证:DC=EF;
    【答案】(1)当t为2时,△DEC为等边三角形;(2)当t为1.2或3时,△DEC为直角三角形;(3)见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC,列方程得到t=2;
    (2)根据直角三角形的性质得到CE=DC,列方程得到t=1.2,根据直角三角形的性质还可得到CE=DC,列方程得到t=3;
    (3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm,于是得到DC=(6-t)cm,BE=(12-2t)cm,根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°,由直角三角形的性质得到EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm,即可得到结论;
    【详解】解:由题意得AD=t cm,CE=2t cm.
    (1)若△DEC为等边三角形,则EC=DC,
    ∴2t=6-t,解得t=2,
    ∴当t为2时,△DEC为等边三角形.
    (2)若△DEC为直角三角形,当∠CED=90°时,
    ∵∠B=30°,∴∠ACB=60°,∴∠CDE=30°,
    ∴CE=DC,∴2t=(6-t),解得t=1.2;
    当∠CDE=90°时,同理可得∠CED=30°,
    ∴CE=DC,
    ∴×2t=6-t,∴t=3,
    ∴当t为1.2或3时,△DEC为直角三角形.
    (3)证明:∵∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,
    ∴BC=12 cm,
    ∴DC=(6-t)cm,BE=(12-2t)cm.
    ∵,
    ∴∠BFE=∠A=90°.
    ∵∠B=30°,
    ∴EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm,
    ∴DC=EF.
    【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质.
    第一次
    第二次
    甲品牌耳机(个)
    20
    30
    乙品牌耳机(个)
    40
    50
    总费用(元)
    10800
    14600

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    这是一份江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考模拟数学试题(原卷版+解析版),文件包含精品解析江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考模拟数学试题原卷版docx、精品解析江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考模拟数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。

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