江西省抚州市临川中阳初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题(原卷版+解析版)
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试卷分值:120分 测试时间:120分钟
一、单选题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
1. 如图,在中,,,,则长为( )
A. 1.5B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质.根据“直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”,即可求解.
【详解】解:在中,,,,
∴.
故选:C
2. 下列不等式的变形正确的是( )
A. 若,则B. 若,且,则
C. 若,则D. 若,则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质,根据不等式的性质:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,进行分析即可.
【详解】解:A、若,则,故原变形错误,故此选项不符合题意;
B、若,且,则,故原变形错误,故此选项不符合题意;
C、若,当时,则,故原变形错误,故此选项不符合题意;
D、若,由题分析得,不等式两边同时除以正数,则,原变形正确,故此选项符合题意.
故选:D.
3. 函数中,自变量x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件,不等式在数轴上的表示.
本题中由,解不等式即可.
详解】解:由题意得:,
解得:,
A、本选项符合题意;
B、表示的解集为,故本选项不符合题意;
C、表示的解集为,故本选项不符合题意;
D、表示的解集为,故本选项不符合题意.
故选:A.
4. 如图,一次函数的图象与轴交于点,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质.根据一次函数的性质得出随的增大而增大,当时,,即可求出答案.
【详解】解:一次函数的图象与轴交于点,且随的增大而增大,
当时,,即,
不等式的解为.
故选:B.
5. 如图,在中,,,垂足为D,则与的数量关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理,根据含30度角的直角三角形的性质先得到,再由三角形内角和定理求出,从而得到,据此可得答案.
【详解】解:∵在中,,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,即,
故选;C.
6. 如图,,点在上,连接,且,以为底边作等腰三角形,连接,则的最小值是( )
A. 3B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据,得到直线是线段的垂直平分线,,故射线是的平分线,直线是定直线,根据得点D是定点,根据垂线段最短,故过点D作于点G,结合,得到,根据,解得,选择即可,本题考查了线段的垂直平分线,角的平分线,勾股定理,垂线段最短,熟练掌握勾股定理,垂线段最短是解题的关键.
【详解】∵,
∴直线是线段的垂直平分线,,
故射线是的平分线,直线是定直线,
∵,
∴点D是定点,根据垂线段最短,
故过点D作于点G,
∵,
∴,
∵,
解得,
故选C.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
7. 不等式的解集为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质,即可求解,
本题考查了,解一元一次不等式,解题的关键是:熟练掌握不等式的基本性质.
【详解】解:,
,
,
故答案为:.
8. 如图,函数和的图象交于点,则关于x的不等式的解集为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系,根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时,自变量的取值范围即可得到答案.
【详解】解:由函数图象可知,当函数的图象在函数的图象上方时,自变量的取值范围为,
∴关于x的不等式的解集为,
故答案为:.
9. 若不等式的解集为,则m的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握一元一次不等式的基本性质.
根据不等式的基本性质求解可得.
【详解】解:不等式的解集为,
,
解得,
故答案为:.
10. 已知不等式组,有四个整数解,则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况,求出参数的范围,先求出不等式组的解集,根据解集得到关于的不等式组,求解即可.
【详解】解:解,得:,
∵不等式组有四个整数解,
∴,
∴不等式组的整数解为,
∴;
故答案为:.
11. 已知:在中,,,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,过点A作交延长线于H,利用平角的定义和三角形内角和定理求出,则,,利用勾股定理得到,代值计算即可.
【详解】解:如图所示,过点A作交延长线于H,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
在中,由勾股定理得,
∴,即,
∴(负值舍去),
故答案为:.
12. 等腰三角形中,高与一腰所夹的锐角是,则等腰三角形底角的度数为 ________________.
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义,分类讨论:为锐角三角形时,①当是等腰底边上的高时,②当是等腰腰上的高时,当等腰为钝角三角形时,则顶角为钝角,此时高只能是腰上的高,利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解,熟练掌握基础知识,利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
【详解】解:依题意有以下两种情况:
(1)为锐角三角形时,
此时又有两种情况:
①当是等腰底边上的高时,如图1所示:
为等腰三角形底边上的高,
,
,
∵高与一腰所夹的锐角是,
,
;
②当是等腰腰上的高时,如图2所示:
为等腰三角形腰上的高,
,
,
∵高与一腰所夹的锐角是,
,
,
,
.
(2)当等腰为钝角三角形时,则顶角为钝角,此时高只能是腰上的高,如图3所示:
为等腰三角形腰上的高,
,
,
∵高与一腰所夹的锐角是,
,
,
,
,
.
综上所述:等腰三角形底角的度数为或或.
故答案为:或或.
三、解答题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分)
13. 解不等式(组)
(1)10-4 (x-3)≤2 (x-1)
(2)
【答案】(1)x≥4;(2)x>6
【解析】
【分析】(1)先去括号,再移项,合并同类项,化系数为1即可;
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【详解】解:(1)去括号得,10-4x+12≤2x-2,
移项得,-4x-2x≤-2-10-12,
合并同类项得,-6x≤-24,
化系数为1得,x≥4;
(2)
由①得,x>-5;
由②得,x>6,
故此不等式组的解集为:x>6.
【点睛】本题主要考查的是解一元一次不等式组,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键.
14. 如图,在中,,直线经过顶点,过,两点分别作的垂线,,,为垂足,且.求证:
(1);
(2).
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型:垂线模型,熟悉模型的构成及相关结论是解题关键.
(1)证即可求证;
(2)由(1)可得,据此即可求证.
【小问1详解】
证明:,,
.
在和中,
,
.
,
,
即.
【小问2详解】
解:,
.
又,,
.
15. 如图,图1、图2分别是的网格,网格中的每个小正方形的边长均为1.请按下列要求分别画出相应的图形,且所画图形的每个顶点均在所给小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出一个斜边长为直角三角形;
(2)在图2中画出一个腰长为5,面积为10的等腰三角形.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】此题考查作图-应用与设计和勾股定理,
(1)根据勾股定理,画出斜边长为的直角三角形即可;
(2)由可以构造等腰三角形的一条边,再利用网格画出5的边即可.
【小问1详解】
(1)如图1中,即为所求.,
【小问2详解】
如图2中,即为所求.,,
16. 如图,直线与轴相交于点,与轴相交于点,直线与直线相交于点,交轴于点.
(1)求直线的解析式;
(2)求直线、直线和轴所围成的三角形的面积;
(3)根据图象,直接写出关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)将,代入直线,求出得值,将点,,代入直线,就出、得值,即可求解,
(2)将,代入,求出点坐标,计算,即可求解,
(3)结合图象,找出直线,在直线下方所对应的得范围,即可求解,
本题考查了,待定系数法求一次函数解析式,求直线围成的图形面积,根据直线交点求不等式的解集,解题的关键是:熟练掌握数形结合的思想.
【小问1详解】
解:将,代入直线,得:,解得:,
将点,,代入直线,得:,解得:,
∴直线的解析式为:,
【小问2详解】
解:当时,,解得:,
∴点,
,
【小问3详解】
解:根据图象得,当时,,
17. 如图,在四边形中,.,,点E在边上,连接,相交于点F,且.
(1)求证:是等边三角形;
(2)若,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)3
【解析】
【分析】(1)先证明是等边三角形,可得,由平行线的性质可得,可得结论;
(2)证明,得.再结合平行线的性质,证得 ,从而得到,即可求解.
【小问1详解】
证明:,,
是等边三角形,
,
,
,,
,
是等边三角形;
【小问2详解】
解: ,
在和中,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,平行线的性质,证明是解题的关键.
四、解答题(本大题共3个小题,每小题8分,共24分)
18. 已知关于的方程组的解均为非负数,
(1)用的代数式表示方程组的解;
(2)求的取值范围;
(3)化简:.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,解一元一次不等式组,化简绝对值,正确求出方程组的解是解题的关键.
(1)利用加减消元法求解即可;
(2)根据(1)所求结合题意可得,解不等式组即可得到答案;
(3)根据(2)所求得到,据此化简绝对值求解即可.
【小问1详解】
解:
得:,解得,
把代入②得:,解得,
∴方程组的解为;
【小问2详解】
解:∵关于的方程组的解均为非负数,
∴,
∴;
【小问3详解】
解:∵,
∴,
∴
.
19. 如图,在中,,垂足为,,延长至,使得,连接.
(1)求证:;
(2)若,,求的周长和面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)周长为,面积为22.
【解析】
【分析】(1)先根据垂直的定义可得,再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证;
(2)先根据全等三角形的性质可得,从而可得,再利用勾股定理可得,从而可得,然后利用勾股定理可得,最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得.
【详解】(1)证明:,
,
在和中,,
,
;
(2),,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
则的周长为,
的面积为.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点,熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键.
20. 已知一次函数(k,b为常数且).
(1)若函数图象过点,求的值.
(2)已知点和点都在该一次函数的图象上,求k的值.
(3)若,点且 在该一次函数的图象上,求证.
【答案】(1)3 (2)
(3)见解析
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质.
(1)把点代入一次函数解析式中即可得到答案;
(2)把点和点代入一次函数解析式中求出k的值即可;
(3)先得到,再把点代入一次函数解析式得到,则可得到,则,解得.
【小问1详解】
解:∵一次函数的图象过点,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:∵点和点都在该一次函数的图象上,
∴,
∴;
【小问3详解】
证明:∵,
∴,
∵点且 在该一次函数的图象上,
∴,
∴,
∴,
∴.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
21. 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表:
(1)甲、乙两种品牌耳机进价各是多少元?
(2)商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个,其中甲品牌耳机数量不少于30个,在采购总价不超过35000元的情况下,最多能购进多少个甲品牌耳机?
【答案】(1)甲品牌耳机的进价是220元,乙品牌耳机的进价是160元
(2)50个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组应用,根据题意列二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键;
(1)根据第一次和第二次的总费用,列方程组求解即可;
(2)根据总价不超过35000,甲品牌耳机数量不少于30个,列不等式组求解即可.
【小问1详解】
解:设甲品牌耳机的进价是x元,乙品牌耳机的进价是y元,
根据题意,得,
解得,
答:甲品牌耳机的进价是220元,乙品牌耳机的进价是160元.
【小问2详解】
设第三次购进甲品牌耳机m个,则购进乙品牌耳机个,
根据题意,得,
解得,
∴m的最大值为50.
答:最多能购进50个甲品牌耳机.
22. 如图,在中,,的垂直平分线交于,交于.
(1)若,求的度数.
(2)连接,若,.
①求的周长;
②在直线上是否有在点,使的值最小,若存在,标出点的位置并求的最小值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)①②存在,见详解,
【解析】
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,可得的度数,根据直角三角形两锐角的关系,可得答案;
(2)①利用线段垂直平分线的性质得,可得答案;
②根据垂直平分线的性质得点B关于直线的对称点为点A,要使的值最小,则连接与直线的交点即为点P,即的最小值即可的长.
【小问1详解】
解:∵,,
∴,
∴,
∵垂直平分,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:①∵垂直平分,
∴,
∵,
∴,
∴的周长,
②如图,
∵垂直平分,
∴点B关于直线的对称点为点A,
∴要使的值最小,则连接与直线的交点即为点P,
∴当点P与点M重合时,最小值
∴最小值为.
【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质等知识,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
六、解答题(本大题共1个小题,每小题12分,共12分)
23. 如图,在△ABC中,∠A=90º,∠B=30º,AC=6厘米,点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动,点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动,两点同时运动,同时停止,运动时间为t秒;过点E作EF//AC交AB于点F;
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?
(3)求证:DC=EF;
【答案】(1)当t为2时,△DEC为等边三角形;(2)当t为1.2或3时,△DEC为直角三角形;(3)见解析
【解析】
【分析】(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC,列方程得到t=2;
(2)根据直角三角形的性质得到CE=DC,列方程得到t=1.2,根据直角三角形的性质还可得到CE=DC,列方程得到t=3;
(3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm,于是得到DC=(6-t)cm,BE=(12-2t)cm,根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°,由直角三角形的性质得到EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm,即可得到结论;
【详解】解:由题意得AD=t cm,CE=2t cm.
(1)若△DEC为等边三角形,则EC=DC,
∴2t=6-t,解得t=2,
∴当t为2时,△DEC为等边三角形.
(2)若△DEC为直角三角形,当∠CED=90°时,
∵∠B=30°,∴∠ACB=60°,∴∠CDE=30°,
∴CE=DC,∴2t=(6-t),解得t=1.2;
当∠CDE=90°时,同理可得∠CED=30°,
∴CE=DC,
∴×2t=6-t,∴t=3,
∴当t为1.2或3时,△DEC为直角三角形.
(3)证明:∵∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,
∴BC=12 cm,
∴DC=(6-t)cm,BE=(12-2t)cm.
∵,
∴∠BFE=∠A=90°.
∵∠B=30°,
∴EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm,
∴DC=EF.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质.
第一次
第二次
甲品牌耳机(个)
20
30
乙品牌耳机(个)
40
50
总费用(元)
10800
14600
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