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江苏省苏州市高新区实验初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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一、单选题（本大题共8小题，共16分）
1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
3. 以下命题中，真命题（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 矩形和等边三角形都是中心对称图形
C. 顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
4. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A. 同旁内角互补的两条直线平行B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角不互补的两条直线平行D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
5. 如图，四边形中，，，连接，的角平分线交，分别于点O、E，若，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
6. 如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点，以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠C＝______．
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____．
11. 如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了80°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为_____．
12. 如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为______．
13. 现有两个直角三角形纸板（一个含45°角，另一个含30°角），如图1叠放．先将含30°角的直角三角形纸板固定不动，再将含45°角的直角三角形纸板绕顶点A顺时针旋转，使得BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为______．
14. 如图，四边形为菱形，，延长到点E，在内作射线，使得，过点D作，垂足为F，若，则的长为____．
15. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，点P是x轴上一动点，四边形是平行四边形，当值最小时，点Q的坐标为___________．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长．
18. 如图，在中，、分别是、的平分线，若，．
（1）求的周长；
（2）求线段的长．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：_________．
20. 如图，在中，∠BAC＝90°，DE是的中位线，AF是的中线．求证DE＝AF．
证法1：∵DE是的中位线，
∴DE＝ ．
∵AF是的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝ ，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，连接EF，DF，试用不同的方法证明DE＝AF
证法2：
21. 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，伸缩电动门中有20个全等的菱形，每个菱形边长为，大门的总宽度为．（门框的宽度忽略不计）（参考数据：）
（1）当每个菱形的内角度数为（如图时，大门打开了多少？
（2）当每个菱形的内角度数张开至为时，大门未完全关闭，有一辆宽的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过．
22. 如图，已知点M直线l外，点N在直线l上，完成下列问题：
（1）请用无刻度的直尺和圆规，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点M到直线l的距离为4，MN的长为5，求这个菱形的边长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，把矩形绕点顺时针旋转角，得到矩形．设与交于点，且，，，．
（1）当时，的形状是_______；
（2）若，在旋转过程中，连接，当为等腰三角形时，求点的坐标．
24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB=5，OE=，求AE长．
25. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度______；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
26. 在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”。请你根据以上定义，回答下列问题：
（1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形
（2）如图①，正方形中，点分别在边 上，连接
，，若，证明：四边形为“双直四边形”；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段
上且，是否存在点在第一象限，使得四边形
为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
27. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
（1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， , 当点E与点A重合时， ；
②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
（2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
一、单选题（本大题共8小题，共16分）
1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
3. 以下命题中，真命题（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 矩形和等边三角形都是中心对称图形
C. 顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
4. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A. 同旁内角互补的两条直线平行B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角不互补的两条直线平行D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
5. 如图，四边形中，，，连接，的角平分线交，分别于点O、E，若，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
6. 如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点，以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠C＝______．
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____．
11. 如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了80°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为_____．
12. 如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为______．
13. 现有两个直角三角形纸板（一个含45°角，另一个含30°角），如图1叠放．先将含30°角的直角三角形纸板固定不动，再将含45°角的直角三角形纸板绕顶点A顺时针旋转，使得BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为______．
14. 如图，四边形为菱形，，延长到点E，在内作射线，使得，过点D作，垂足为F，若，则的长为____．
15. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，点P是x轴上一动点，四边形是平行四边形，当值最小时，点Q的坐标为___________．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长．
18. 如图，在中，、分别是、的平分线，若，．
（1）求的周长；
（2）求线段的长．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：_________．
20. 如图，在中，∠BAC＝90°，DE是的中位线，AF是的中线．求证DE＝AF．
证法1：∵DE是的中位线，
∴DE＝ ．
∵AF是的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝ ，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，连接EF，DF，试用不同的方法证明DE＝AF
证法2：
21. 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，伸缩电动门中有20个全等的菱形，每个菱形边长为，大门的总宽度为．（门框的宽度忽略不计）（参考数据：）
（1）当每个菱形的内角度数为（如图时，大门打开了多少？
（2）当每个菱形的内角度数张开至为时，大门未完全关闭，有一辆宽的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过．
22. 如图，已知点M直线l外，点N在直线l上，完成下列问题：
（1）请用无刻度的直尺和圆规，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点M到直线l的距离为4，MN的长为5，求这个菱形的边长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，把矩形绕点顺时针旋转角，得到矩形．设与交于点，且，，，．
（1）当时，的形状是_______；
（2）若，在旋转过程中，连接，当为等腰三角形时，求点的坐标．
24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB=5，OE=，求AE长．
25. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度______；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
26. 在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”。请你根据以上定义，回答下列问题：
（1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形
（2）如图①，正方形中，点分别在边 上，连接
，，若，证明：四边形为“双直四边形”；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段
上且，是否存在点在第一象限，使得四边形
为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
27. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
（1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， , 当点E与点A重合时， ；
②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
（2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
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