2024年江西省抚州市八校中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选∶D．
2. 年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可作答．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 如图，如果数轴上A、B两点分别对应实数a、b，那么下列结论正确的是（ ）
A. a＋b＞0B. ab＞0C. a－b＞0D. |a|－|b|＞0
【答案】C
【解析】
【分析】先根据数轴上的位置得出a、b的符号和绝对值大小，再逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴上的位置得：b<−1<1 A、 a+b<0 ，本选项错误，不符合题意；
B、 ab<0 ，本选项错误，不符合题意；
C、 a−b>0 ，本选项正确，符合题意；
D、 |a|−|b|<0 ，本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算，掌握理解数轴的定义是解题关键．
4. 直线经过一、三、四象限，那么点第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】一次函数图象经过一、三象限则，经过三四象限则，所以符号为，据此即可判断该点所在象限．
【详解】有题意得，一次函数图象经过一、三象限则，经过三四象限则，
∴点的符号为，
∴点在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数的系数对图象的影响．
5. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
6. 如图所示的运算程序中．若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，···，第2025次输出的结果为（ ）
A. 6B. 3C. 18D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可．
【详解】解：第1次，把代入得：，
第2次，把代入得：，
第3次，把代入得：，
第4次，把代入得：，
第5次，把代入得：，
第6次，把代入得：，
…
从第4次开始，两次一循环，依次循环，
∵
∴第2025次输出的结果为3．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
8. 2024龙年春节为期8天，号称“史上最长”春节假期，经文化和旅游部数据中心测算，春节全国国内旅游出游人次，数据用科学记数法表示_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：．
9. 一元一次不等式组的解集为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
10. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可．
【详解】解：依题意得：，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
11. 《九章算术》中记载了一种测量井深方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得米，米、米，那么______米．
【答案】7.8
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD//AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴AC=7.8(米)，
故答案为：7.8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝2，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为 _____．
【答案】或1或
【解析】
【分析】分三种情况：，画出图形分类讨论即可
【详解】解：∵AB＝2，AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，DC=AB=2，∠A=90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=1
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△EF，
∴E=AE=1，
连接DE，
∴，
①当D=DC时，如图1，连接ED，
∵D=DC=AB=2，
∴E+D=3=DE，
∴点E，，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FE=∠FD=90°，
设AF=x，则F=x，FD=2-x，
在Rt△FD中，，
解得：，
即；
②当D=C时，如图2，
∵D=C，
∴点在线段CD的垂直平分线上，
∴点在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴E是AB的垂直平分线，
∴∠AE=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△EF，
∴∠A=∠EF=90°，AF=F，
∴四边形AEF是正方形，
∴AF=AE=1，
③当时，连接CE，
∴，
∴E+C=3=CE，
∴点E，，C三点共线，
∴∠FE=∠FC=90°=∠ADC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△EF，
∴F=AF，
∴F=AF=FD，
∵AF+FD=AD=2，
∴AF=，
综上所述，AF的长度为或1或．
故答案为：或1或.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，已知四边形为平行四边形，E，F为对角线上的两点，且，连接，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）首先化简二次根式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）根据平行四边形的性质推出，，推出，根据证，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】解：（1）
；．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，二次根式的化简，负整数指数幂，求特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上知识点．
14. 先化简再求值：，其从，2，，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．
【详解】解：原式
，
由题意可得，和，
当时，原式，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
15. 如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图．
（1）如图1，若点是的中点，试画出的平分线；
（2）如图2，若，试画出的平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义；
（1）连接并延长，交于点，连接，即可求解；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求．
【小问1详解】
如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求；
∵点是的中点，
∴
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求
∵
∴
∴
∴，
连接，
∴垂直平分
∴
∴
16. 魔术师刘谦在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，他创造的“奇迹”给我们带来了很多快乐．很多对此感兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少?
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率；
（1）根据概率公式，即可求解；
（2）根据画树状图法求概率，即可求解．
【小问1详解】
解：共有4种情况，其中黑桃有2张，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为；
【小问2详解】
所有可能出现的结果有，，，，，，，，，，，，由表格(或树状图)可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种．它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种．
∴抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为．
17. 为了推进校园“三大球”体育活动的效果，某学校计划采购个足球，个排球．现有，两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个元，排球每个元，他们的优惠政策是：
公司：足球和排球一律按标价的折销售；
公司：每购买个足球，赠送个排球．（单买按标价计算）
（1）请用含的代数式分别表示出购买，公司体育用品的费用；
（2）当购买，两个公司体育用品的费用相等时，求此时的值．
【答案】（1）元，元
（2）的值为
【解析】
【分析】（1）根据A、B两家公司的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可；
（2）根据购买A、B两个公司体育用品的费用相等，列出方程可求x的值；
【小问1详解】
解：（1）由A公司的优惠方案得，
购买A公司体育用品的费用为：0.8×(100×50+40x)=(32x+4000)元；
购买B公司体育用品的费用为：100×50+40(x-50)=(40x+3000)元；
【小问2详解】
解：依题意有32x+4000=40x+3000，
解得x=125．
故此时x的值为125；
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解两个公司的优惠方案是解决问题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
（1）求k的值．
（2）设点M在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标．
【答案】（1）k=32；（2）点M坐标为（2，16）或（6，）．
【解析】
【分析】（1）如图，延长AD交x轴于E，根据菱形的性质可得AE//OB，即可证明AE⊥x轴，根据点D坐标可得OD的长，即可求出AE的长，可得点A坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案；
（2）由（1）可知k=32，根据点D坐标及OD的长可得菱形ABCD的面积，设M（a，），根据的面积是菱形面积的列方程求出a值即可得答案．
【详解】（1）如图，延长AD交x轴于E，
∵菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
∴AE//OB，AD=OD，
∴AE⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE=4，DE=3，
∴OD==5，
∴AE=AD+DE=8，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴8=，
解得：k=32．
（2）∵OD=AD=5，OE=4，
∴S菱形ABCD=AD·OE=20，
∵k=32，点M在反比例函数图象上，
∴设M（a，），
∵的面积是菱形面积的，
∴S△MAD=AD·=20×，即=2，
解得：a=2或a=6，
∴点M坐标为（2，16）或（6，）．
【点睛】本题考查菱形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．
【小问2详解】
解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
20. 如图，在中，，以为直径作，交线段于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，再结合圆的基本性质得，从而得到，再根据平行线的性质进行证明即可；
（2）连接，由等腰三角形的性质得，，再根据圆周角定理得出，设，根据勾股定理求出半径，最后根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
设，则，
由勾股定理，得，即，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合，熟练掌握切线的证明方法，圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判断与性质，含直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理和弧长公式是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
【答案】（1），80，60；
（2）八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一），理由见解析；
（3）估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据中位数、众数、平均数的概念求解即可．
（2）根据中位数、众数、平均数的大小进行比较，即可得出答案．
（3）用各年级的人数乘以对应比例，然后相加即可．
【小问1详解】
解：将七年级抽样成绩重新排列为：，，，，，，，，，，
∴中位数a=，
八年级抽样成绩为：，，，，，，，，，
∵出现的次数最多，为2次，
∴众数，
，
∴，
故答案为：，，；
【小问2详解】
可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：由题意得：（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有人．
22. 小波在复习时，遇到一个课本上问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．
(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】（1）；（3）四边形PQMN为正方形．见解析；（4）猜想，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据，列比例式求解即可；
（3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明，，从而，可证四边形PQMN为正方形；
（4）可设MN=3k，．则，，．根据两边对应成比例且夹角相等可证，从而．通过证明，可得．
【详解】（1）．
．
即．
解得．
（2）由画法可得．
四边形PQMN为矩形，MN//M′N′．
，
同理可得．
．
，
．
四边形PQMN为正方形．
（3）拓展：猜想，理由如下：
由可设MN=3k，．
则，，．
，，
．
，
，
．
，
．
，
．
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角相等的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；④三边对应成比例的两个三角形相似．
六、解答题（本大题共12分）
23. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是．
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可；
②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是．
【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在中，令得或，
抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
，
解得，
；
∴的值为；
②由①知，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，，
，
抛物线在抛物线上方；
，，
，
的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得，
，
；
在中，令得，
，
在中，令得，
；
，
；
，
线段长的取值范围是．
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
80
a
72
八年级
80
80
b