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    湖北省鄂东南省级示范高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题(Word版附解析)

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    这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题(Word版附解析),共10页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    考试时间:2024年4月15日下午15:00-17:00;试卷满分:150分
    一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.复数的虚部是( )
    A.B.C.D.
    2.下列关于平面向量的说法,其中正确的是( )
    A.若,则B.若且,则
    C.若,则或D.若与不共线,则与都是非零向量
    3.已知平面向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
    A.B.C.D.
    4.已知,则的值为( )
    A.B.C.D.
    5.在中,在边BC上,延长AD到,使得,若(为常数),则PD的长度是( )
    A.9B.8C.7D.6
    6.若实数x,y满足,,则的最小值为( )
    A.2B.8C.9D.12
    7.在中,点E,F分别是线段AB,AC的中点,点在直线EF上,若的面积为4,则的最小值是( )
    A.2B.C.4D.
    8.已知定义在上的函数,对任意的,且,都有,且函数为奇函数.若锐角的三个内角为,则( )
    A.B.
    C.D.的符号无法确定
    二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
    9.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静,它的工作原理是:先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声,已知某噪声的声波曲线函数为,且经过点,则下列说法正确的是( )
    A.函数的最小正周期B.
    C.函数在区间上单调递减D.函数是奇函数
    10.已知复数,则下列结论正确的有( )
    A.B.
    C.D.若,且,则
    11.如图,设是平面内相交成角的两条数轴,其中,,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标,记为,则下列结论正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若对任意的最小值为,则
    D.若对任意的,都有恒成立,则实数
    三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知,则__________.
    13.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角若为的内心,且,则__________.
    14.已知平面向量,,,若存在平面向量,,使得,则的最小值是__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)已知向量,.
    (1)若,求的坐标;
    (2)若,求与夹角的余弦值.
    16.(15分)在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
    (1)求角的大小;
    (2)若,,求的面积.
    17.(15分)已知向量,,,且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
    (1)求函数的解析式;
    (2)若,且函数在区间上单调,求的取值范围.
    18.(17分)如图,在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为BC边上一点,已知,,.
    (1)若AD平分,求AD的长;
    (2)若D为BC边的中点,E,F分别为AB边及AC边上一点(含端点).
    且,,,求的取值范围.
    19.(17分)阅读以下材料并回答问题:①单位根与本原单位根:在复数域,对于正整数,满足的所有复数称为次单位根,其中,满足对任意小于的正整数,都有,则称这种复数为次本原单位根.例如,时,存在四个4次单位根,,因为,,因此只有两个4次本原单位根;
    ②分圆多项式:对于正整数,设次本原单位根为,则多项式称为次分圆多项式,记为;
    例如;回答以下问题:
    (1)直接写出6次单位根,并指出哪些为6次本原单位根(无需证明);
    (2)求出,并计算,由此猜想的结果,(将结果表示为的形式)(猜想无需证明);
    (3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为,两个4次本原单位根在复平面上对应的点为,复平面上一点所对应的复数满足,求的取值范围.
    鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年春季期中联考
    高一数学参考答案
    一、二选择题:
    8.【答案】A
    【详解】由题可知,在区间上单调递增,且函数为奇函数,则,故,当时,有,即,
    又因为图象关于原点对称,则图象关于点对称,所以,在上单调递增.
    ,而为锐角,故,则,
    所以,即,选A.
    11、【答案】ABD
    【详解】,故A正确;
    ,即,故B正确;
    最小值为可知在方向投影向量的长度为,即,可得或,C错误;
    两边平方得对成立,
    则,即,由于,,
    故,解得或,综上所述,故D正确
    三、填空题
    12.13.;(对一个给2分,全对给5分)
    14.
    【详解】设,,,点在单位圆上,点也在圆上,
    则,,由,可得:,
    作矩形,则.下证:.
    设AB,CD交于点,连接OP,因,则,
    同理可得:,两式左右分别相加得:

    即,故.
    又,故的最小值是.
    四、解答题
    15.【答案】(1)或(2)
    【详解】(1)由题意,设,,,
    ,或.
    (2),,
    ,.
    设与的夹角为,则.
    与的夹角的余弦值为.
    16.【答案】(1);(2).
    【详解】(1)在中,由余弦定理,,又,则,而,则.
    (2)由得,
    若,那么,
    由正弦定理,,则,
    因此,
    若,那么(舍),因此.
    注:也可以通过角的大小关系,由,得到,故直接判断出,若无判断且无讨论扣3分.
    17.【答案】(1)(2)
    【详解】(1),
    由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为,有,得,
    故,
    (2)方法一:,由于,则,
    又得到,
    故,则或.
    解得或,所以的取值范围.
    方法二:,令,
    解得单调区间为,
    故,,,
    由于,故或.
    当时,当时,,
    所以的取值范围
    注:两个区间漏写一个扣3分
    18.【答案】(1);(2).
    【详解】(1)在中,,
    因此,
    即.
    (2)由为BC中点得:,

    又,在上单调递增;
    因此时,;时,.
    即.
    19、【解析】(1)的解为,
    故6次单位根为,6次本原单位根为和.
    (6次单位根3分,有漏写酌情扣1-2分,有错误0分,6次本原单位根1个1分)
    (2)
    又;,,
    因此,
    猜想.
    (3)方法一:设12次单位根分别为,其中,
    则不难发现:为12次本原单位根,和为4次本原单位根,其余的根分别为1,2,3,6次本原单位根,因此,

    又,
    又,且,故,
    即.
    (若直接使用第二问的猜想扣2分)
    方法二:求出四个12次本原单位根分别为,,,,
    两个4次本原单位根分别为,,
    又,且,故.
    即.
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    A
    D
    C
    B
    B
    B
    C
    A
    AC
    BCD
    ABD
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