湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的虚部是( )
A.B.C.D.
2．下列关于平面向量的说法,其中正确的是( )
A.若,则B.若且,则
C.若,则或D.若与不共线,则与都是非零向量
3．已知平面向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
4．已知,则的值为( )
A.B.C.D.
5．在中,D在边BC上,延长AD到P,使得,若（m为常数）,则PD的长度是( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
6．若实数x,y满足,,则n的最小值为( )
A.2B.8C.9D.12
7．在中,点E,F分别是线段的中点,点在直线上,若的面积为4,则的最小值是( )
A.2B.C.4D.
8．已知定义在R上的函数,对任意的,且,都有,且函数为奇函数．若锐角的三个内角为A,B,C,则( )
A.B.
C.D.的符号无法确定
二、多项选择题
9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静,它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声,已知某噪声的声波曲线函数为,且经过点,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期B.
C.函数在区间上单调递减D.函数是奇函数
10．已知复数,,则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.若,且,则
11．如图,设,是平面内相交成角的两条数轴,其中,,分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标,记为,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若对任意的,最小值为,则
D.若对任意的,都有恒成立,则实数
三、填空题
12．已知,则__________．
13．已知平面向量,,,若存在平面向量,,使得,则的最小值是__________．
四、双空题
14．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角_______,若为的内心,且,则_____________．
五、解答题
15．已知向量,．
（1）若,求的坐标;
（2）若,求与夹角的余弦值．
16．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且．
（1）求角A的大小;
（2）若,,求的面积．
17．已知向量,,,且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式;
（2）若,且函数在区间上单调,求a的取值范围．
18．如图,在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为BC边上一点,已知,,．
（1）若AD平分,求AD的长;
（2）若D为BC边的中点,E,F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且,,,求的取值范围．
19．阅读以下材料并回答问题：
①单位根与本原单位根：在复数域,对于正整数n,满足的所有复数称为次单位根,其中,满足对任意小于n的正整数m,都有,则称这种复数为n次本原单位根．例如,时,存在四个4次单位根,,因为,,因此只有两个4次本原单位根;
②分圆多项式：对于正整数n,设n次本原单位根为,,,则多项式称为n次分圆多项式,记为;例如;
回答以下问题：
（1）直接写出6次单位根,并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）;
（2）求出,并计算,由此猜想的结果,（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）;
（3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为,,,两个4次本原单位根在复平面上对应的点为,,复平面上一点P所对应的复数满足,求的取值范围．
参考答案
1．答案：B
解析：由,所以其虚部为．
故选：B．
2．答案：D
解析：对于A项,若与是一对相反向量,满足,但,故A项错误;
对于B项,若与一对相反向量,满足且,但,故B项错误;
对于C项,当时,满足,但是不满足或,故C项错误;
对于D项,运用反证法,假设与不都是非零向量,即与中至少有一个是零向量,
则与共线,与题设矛盾,故原命题正确,即D项正确.
故选：D.
3．答案：C
解析：由向量,,可得且,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为,可得,
由
.
故选：B.
5．答案：B
解析：设,则,
因为,所以,
即,
因为D,B,C三点共线,可得,解得,
所以,因为,所以,
所以的长度为8.
故选：B.
6．答案：B
解析：由
因,当且仅当时取等号,此时.
由解得,即当,时,n的最小值为8.
故选：B.
7．答案：C
解析：如图,分别过点A,P作于H,于N,取中点M,连接.
易得,因,,
则,
故①
又的面积为4,因点E,F分别是线段,的中点,易得,
故的面积 ,即得,由图知,,
则由①可得：,当且仅当且时等号成立,
即的最小值是4.
故选：C.
8．答案：A
解析：由题可知,在区间上单调递增,且函数为奇函数,
则,故,
当时,有,即,
又因为图象关于原点对称,则图象关于点对称,
所以,在上单调递增．
,而为锐角三角形,故,则,
所以,即.
故选：A．
9．答案：AC
解析：由题意知,某噪声的声波曲线函数为,且经过点,
可得,即,
因为,可得,所以,
对于A中,函数的最小正周期为,所以A正确;
对于B中,因为,所以B不正确;
对于C中,当时,可得,
根据正弦函数的性质,可得在为单调递减函数,所以C正确;
对于D中,由,可得,
此时函数偶函数,所以D不正确.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：对于A项,当时,,而,故A项错误;
对于B项,设,,其中,,
则,则;
而
,故B项正确;
对于C项,设,其中,,
,则,而,故C项正确;
对于D项,设,,其中,a,b,c,d,依题,a,b不全为零,
则由可得,化简得
,即
因a,b不全为零,不妨设,则有,即,
故得,,即,故D项正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：对A：
,故A正确;
对B：,
即,故B正确;
对C：最小值为可知在方向投影向量的长度为,即,
可得或,故C错误;
对D：两边平方得,
即对,,即,
由于,,
故,解得或,
综上所述,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：或0.625
解析：由,平方可得,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：设,,,点C在单位圆上,
则,,由,可得：,
作矩形,则．下证：．
设AB,CD交于点P,连接OP,因,则,
同理可得：,两式左右分别相加得：
．
即,故．
又,
故的最小值是．
故答案为：.
14．答案：①.或②.
解析：
解析：因为,由正弦定理得,
又因为,
可得,解得,
因为,所以;
如图所示,设,延长交于点D,
则,
所以,同理可得,
过点D作,,
则
又由,所以,
所以,可得,
即,
因为为的外心,设的内切圆的半径为r,
可得,
可得,即,
又因为,即,可得,
由正弦定理得,
又因为,可得,因为且,所以,可得,
所以,可得.
故答案为：;.
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）由,设,,,
,或．
（2）,,
,,
,．
设与的夹角为,则．
与的夹角的余弦值为．
16．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）在中,由余弦定理得,又,则,
而,则．
（2）因为,所以,所以,从而,
,
由正弦定理,则,
因此.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）
由向量,
则
,
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为,可得,
所以,所以.
（2）解法一：由（1）知,
因为,则,
又因为,可得,所以,
则或,
解得或,所以a的取值范围．
解法二：由（1）知,
令,,解得,,
所以函数的单调区间为,,
因为函数在区间上单调,
则满足,,可得,,
解得,,
由于,,所以或,
当时;当时,,
所以实数a的取值范围.
18．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）
中,,
因此,
即．
（2）由D为BC中点得,
故
又,在上单调递增;
因此时,;时,．
即．
19．答案：（1）6次单位根为1,-1,,,,,,6次本原单位根为和
（2）,,
猜想
（3）
解析：（1）的解为,
所以6次单位根为1,-1,,,,,
而,所以6次本原单位根为和．
（2）,
又;,,
因此,
猜想．
（3）设12次单位根分别为,,其中,
则不难发现：,,,为12次本原单位根,和为4次本原单位根,
其余的根分别为1,2,3,6次本原单位根,
因此,
,
又,
又,且,于是,
所以．