湖南省慈利县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

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1.已知复数(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为( )
A.B.C.D.
3．在中,点在直线上,且满足,则( )
A.B.
C.D.
4.下面说法不正确的是( )
A.多面体至少有四个面B.平行六面体六个面都是平行四边形
C.棱台的侧面都是梯形D.长方体、正方体都是正四棱柱
5.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知则该青铜器的体积为( )
A.B．
C．D．
6.如图,在中,是的中点,是的中点，过点作直线分别交于点且则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．在中，分别为角的对边),则的形状可能是( )
A.正三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形
8.青花瓷（blue and white prcelain）,又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为,圆的圆心为正六边形的中心,半径为,若点在正六边形的边上运动,动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量下列说法正确的是（ ）
A.B.
C．与向量平行的单位向量仅有D．向量在向量上的投影向量为
10.设为复数(为虚数单位),下列命题正确的有（ ）
A．复数的共轭复数的虚部为B．若则
C．若则D．若则
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心､内心､外心､垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点,的面积分别为，且.以下命题正确的有( )
A.若,则为的重心
B.若为的内心,则
C.若为的外心,则
D.若为的垂心,,则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在中,角的对边分别是则
13. 定义：两个向量的叉乘的模为表示向量与的夹角.若点为坐标原点,则 ．
14.如图所示,在棱长为的正方体中,设分别是线段上的动点,若平面则线段长的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知向量是同一平面内的三个向量，其中
(1)若且,求向量的坐标；
(2)若是单位向量,且求与的夹角
16.(15分)在如图所示的多面体中，平面
(1)在上求作点使平面请写出作法并说明理由；
(2)求三棱锥的高．
17. (15分)中,为边的中点,
(1)若的面积为且求的值；
(2)若求的取值范围
18.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为且
(1)求；
(2)若设点为的费马点,求的值；
(3)设点为的费马点,求实数的最小值．
19. (17分)对于数集其中定义向量集，，若对任意存在使得则称具有性质．
(1)设请写出向量集并判断是否具有性质(不需要证明)．
(2)若且集合具有性质,求的值；
(3)若具有性质,且为常数且求证: