湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知条件q：“不等式a2−4x2+a+2x−1≥0的解集是空集”，则条件p： “−2≤a<1”是条件q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知z满足z+i=1，则z的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．62 D．2
3．已知函数fx=lgx−1+2x+2−x，则满足不等式fx+1A．−2,−1 B．1,2 C．−∞,−13∪1,+∞D．−∞,−2∪1,+∞
4．已知a=sin0.5,b=30.5,c=lg0.30.5，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a5．已知幂函数fx=xm2+2m−3m∈Z是偶函数，且fx在−∞,0上是增函数，则m=（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．3
6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为R的扇形，它的周长是 4R，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A．12R2 B．12R2sin1cs1C．R2(1−sin1cs1) D．R2(2−sin1cs1)
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acsB，则角B的大小是（ ）
A．π3 B．π6 C．2π3 D．5π6
8．已知函数f(x)=2sinωx+π6ω∈N∗有一条对称轴为x=2π3，当ω取最小值时，关于x的方程f(x)=a在区间−π6,π3上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−2,−1) B．[−1,1) C．[−1,2) D．[1,2)
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知函数fx=sin2x+φφ<π2图象的一条对称轴为直线x=π8，函数gx=cs2x+π4，则（ ）
A．将fx的图象向左平移π2个单位长度得到gx的图象
B．方程fx=gx的相邻两个实数根之差的绝对值为π2
C．函数y=lg12fx在区间7π8,9π8上单调递增
D．fx在区间t,t+π4t∈R上的最大值与最小值之差的取值范围为1−22,2
10．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，下列命题正确的是（ ）
A．若ABAB+ACAC⋅BC=0，则△ABC为等腰三角形
B．若b=3,a=4,B=45°，则此三角形有两解
C．若a⋅csA=b⋅csB，则△ABC为等腰三角形
D．若a+b=ccsA+csB，且c=1，则该三角形内切圆面积的最大值是3−224π
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是（ ）
A．a=23， b=4，A=π6 B．a=23，b=4，csA=35
C．a=23，b=4，C=π6 D．a=23，b=4，B=π6
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．设函数fx=−1−2≤x≤0x−1013．已知a=2，且a与b的夹角为60°，e为与b方向相同的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量为_________________
14．A,B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA=7km,CB=5km，C=60°，则A,B两点之间的距离为____________ km.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知向量p=a,b,q=sinx,csx；定义函数fx=p⋅q，称向量p=a,b为fx的特征向量，fx为p的特征函数．
(1)设gx=2sinπ−x+sin32π−x，求gx的特征向量；
(2)设向量p=3,1的特征函数为fx，求当fx=65且x∈−π6,π3时，sinx的值；
(3)设向量p=−12,32的特征函数为fx，记hx=f2x−14，若hx在区间a,b上至少有40个零点，求b−a的最小值．
16．（15分）已知函数fx=23sinxcsx−2cs2x.
(1)求fx的单调递增区间；
(2)在△ABC中，fA2=0，AB=2，求△ABC周长的取值范围.
17．（15分）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ．

(1)当θ=π6时，求四边形ABCD的面积；
(2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
18．（17分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，asinA+C2=bsinA．
（1）求角B；
（2）证明a+c不可能等于3．
19．（17分）在直角梯形ABCD中，已知AB=2DC，AD⊥AB，AD→=CD→=1，动点E、F分别在线段DC和BC上，且BF=λBC，DE=1−λDC．
(1)当λ=23时，求AC⋅EF的值；
(2)求向量AE，EF的夹角；
(3)求AE+12AF的取值范围．
数学答案及解析
1．【答案】A
【解析】因为不等式a2−4x2+a+2x−1≥0的解集是空集，
所以不等式a2−4x2+a+2x−1<0的解集是R，
当a2−4=0即a=±2 时，
若a=2 ，则 4x−1<0，x<14 (舍)；
若a=−2 ，则 −1<0，x∈R ；
当a2−4≠0时，则a2−4<0Δ<0 ，解得−2综上所述−2≤a<65 ，
所以条件p是条件q的充分不必要条件．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】设z=a+bi，则z+i=a+b+1i=a2+b+12=1，
即a2+b+12=1，由于a2≥0，故1−b+12≥0，解得−2≤b≤0，
则z=a2+b2=1−b+12+b2=−2b∈0,2，
故选：D
3．【答案】D
【解析】由x−1>0，得fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞，
又f−x=lgx−1+2−x+2x=fx，故fx为偶函数，
而当x>1时，易知y=lgx−1=lgx−1单调递增，
而对于y=2x+2−x，y'=2x+2−x=2x+2−xln2>0在1,+∞上恒成立，
所以y=2x+2−x在1,+∞上也单调递增，
故fx在1,+∞上单调递增，
则由fx+11，解得x>1或x<−2.
故选：D.
4．【答案】B
【解析】对x∈0,π2，因为y=sinx−x，则y'=csx−1<0，即函数y=sinx−x在0,π2单调递减，
且x=0时，y=0，则sinx−x<0，即sinx因为>且lg0.30.5<，所以0.5又b=30.5>30=1，所以a故选：B
5．【答案】B
【解析】因为函数fx是偶函数且在−∞,0上是增函数，
所以函数fx在0,+∞上单调递减，
所以m2+2m−3<0，即(m−1)(m+3)<0，解得−3又因为m∈Z，所以m=−2或m=−1或m=0，
当m=0或m=−2时，fx=x−3，此时fx为奇函数，不满足题意；
当m=−1时，fx=x−4，此时fx为偶函数，满足题意；
所以m=−1.
故选：B
6．【答案】C
【解析】l=4R−2R=2R,α=lR=2RR=2,
可得：扇形面积S1=12lR=12×2R×R=R2，
三角形面积S2=12×2Rsin1×Rcs1=sin1⋅cs1⋅R2，
可得弓形面积S=S1−S2=R2−sin1⋅cs1⋅R2=1−sin1cs1R2，
故选：C
7．【答案】A
【解析】在△ABC中，因bsinA=3acsB，由正弦定理可得
sinB⋅sinA=3sinA⋅csB，
因A∈0,π，所以sinA≠0，故sinB=3csB，即tanB=3，
又因B∈0,π，所以B=π3，
故选：A
8．【答案】D
【解析】由正弦函数f(x)=2sinωx+π6ω∈N∗的对称轴可知：
2π3ω+π6=π2+kπk∈Z，ω=12+3k2k∈Z，又因为ω∈N∗，
所以ω的最小值为2，即f(x)=2sin2x+π6.
x∈−π6,π3，则2x+π6∈−π6,5π6，令t=2x+π6，
则有ft=2sint，t∈−π6,5π6，函数图像如图所示：
由于x的方程f(x)=a在区间−π6,π3上恰有两个不相等的实根，
根据ft的图像有实数a的取值范围是[1,2).
故选：D
9．【答案】BD
【解析】因为函数fx=sin2x+φ图象的一条对称轴为直线x=π8，所以2×π8+φ=π2+kπk∈Z，得φ=π4+kπk∈Z，因为φ<π2，所以φ=π4，从而fx=sin2x+π4.
选项A：将fx的图象向左平移π2个单位长度得到y=sin2x+π2+π4=sin2x+54π=−sin2x+π4=−22sin2x−22cs2x
而gx=cs2x+π4=22cs2x−22sin2x，所以平移后得不到函数gx的图象，故A错误.
选项B：令fx=gx，即sin2x+π4=cs2x+π4，所以x=kπ2k∈Z，故B正确.
选项C：由x∈7π8,9π8，令m=2x+π4∈2π,5π2，根据正弦函数单调性知fx在7π8,9π8上单调递增，y=lg12m在定义域上单调递减，根据复合函数单调性，y=lg12fx在7π8,9π8上单调递减，故C错误.
选项D：由x∈t,t+π4t∈R得m=2x+π4∈2t+π4,2t+3π4t∈R，区间长度为π2.
根据正弦函数图象和性质，当区间2t+π4,2t+3π4关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，为1−22;
当区间2t+π4,2t+3π4关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为2，
所以最大值与最小值之差的取值范围为1−22,2，故D正确.
故选：BD.
10．【答案】ABD
【解析】对于A，若ABAB+ACAC⋅BC=0，则−1cBA⋅BC+1bCA⋅CB=0，从而1bCA⋅CB=1cBA⋅BC，即1babcsC=1caccsB，
即csC=csB，故B=C，从而△ABC为等腰三角形，A正确；
对于B，若b=3,a=4,B=45°，则c∈1,7，而b2=a2+c2−2accsB，即9=16+c2−42c，解得c=22+1或c=22−1，故此三角形有两解，B正确；
对于C，注意到a⋅csA=b⋅csB等价于sinAcsA=sinBcsB，而这又等价于sin2A=sin2B，所以A+B=π2或A=B，也就是△ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，已知条件为a+b=ccsA+csB，且c=1，而a+b=ccsA+csB等价于a+bc=csA+csB，即a+bc=b2+c2−a22bc+a2+c2−b22ac，
对该等式通分得到2aba+b=ab2+c2−a2+ba2+c2−b2，即2a2b+2ab2=ab2+ac2−a3+a2b+bc2−b3，即a3+b3+a2b+ab2−ac2−bc2=0.
这即为a+ba2−ab+b2+aba+b−c2a+b=0，由a+b≠0知该等式即为a2+b2−c2=0.
从而条件等价于a2+b2−c2=0且c=1，从而该三角形内切圆半径r=2S△ABCa+b+c=aba+b+c=aba+b+a2+b2=aba+b−a2+b22ab=a+b−c2.
又由于a+b−c=a+b2−c=a2+b2+2ab−c≤2a2+b2−c=2−1，当且仅当a=b=22时等号成立，
从而0验证知当a=b=22时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3−224π，D正确.
故选：ABD.
11．【答案】AB
【解析】A选项，bsinA=4×sinπ6=2，bsinA所以△ABC有两个解，A选项正确.
B选项，a0,A为锐角，
sinA=1−cs2A=45，bsinA=4×45=165，
bsinAC选项，由余弦定理得c=a2+b2−2abcsC=4，
所以△ABC有唯一解.
D选项，asinB=23×12=3，
asinB故选：AB
12．【答案】12,2
【解析】由题意，gx=−12x−1,−2≤x≤0,12x−1,0当0因0则glg2a+g(lg12a)=glg2a+g(−lg2a)=2glg2a≤2g1，
故得glg2a≤g1，即|lg2a|≤1，
故−1≤lg2a≤1，解得12≤a≤2.
故答案为：12,2.
13．【答案】e
【解析】因为a与b的夹角为60°，
所以a在向量b上的投影向量为acs60°e=2×12e=e.
故答案为：e.
14．【答案】39
【解析】
由余弦定理，得AB2=CA2+CB2−2CA⋅CB⋅csC
=72+52−2×7×5×12=39，
∴AB=39 km.
故答案为：39.
15．【解析】（1）由已知得gx=2sinx−csx，
所以gx的特征向量p=2,−1；
（2）因为向量p=3,1的特征函数为fx，
所以fx=3sinx+csx=2sinx+π6，
由fx=65得sinx+π6=35，又x∈−π6,π3，
所以csx+π6=1−sin2x+π6=45，
所以sinx=sinx+π6−π6=35×32−45×12=33−410；
（3）因为p=−12,32，
所以fx=−12sinx+32csx=csx+π6，
则ℎx=f2x−14=cs2x+π6−14=12cs2x+π3+14，
令ℎx=0，则cs2x+π3=−12，
则2x+π3=2π3+2kπ或4π3+2kπ,k∈Z，
则x=π6+kπ或π2+kπ,k∈Z，
由ℎx在区间a,b上至少有40个零点，
不妨取a=π6，
则b≥π6+19T+π2−π6=π2+19T，
则a−b≥π3+19T=π3+19π=58π3，
所以b−a的最小值为58π3.
16．【答案】(1)−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z；(2)4,+∞
【解析】（1）fx=3sin2x−1−cs2x=2sin2x−π6−1，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
故fx的单调递增区间为−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z；
（2）fA2=2sinA−π6−1=0，故sinA−π6=12
因为A∈0,π，所以A−π6∈−π6,5π6，故A−π6=π6，A=π3，
又AB=2，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，即asinπ3=bsinB=2sinC，
故a=3sinC,b=2sinBsinC，
所以a+b=3sinC+2sinBsinC=3+2sinπ3+CsinC=3+3csC+sinCsinC
=31+csCsinC+1=23cs2C22sinC2csC2+1=3csC2sinC2+1=3tanC2+1，
因为A=π3，所以C∈0,2π3，C2∈0,π3，
由于y=tanx在x∈0,π3上单调递增，故tanC2∈0,3，
故a+b=3tanC2+1∈2,+∞，a+b+c∈4,+∞.
所以△ABC周长的取值范围是4,+∞.
17．【解析】（1）连结OD，则∠COD=π6,∠AOD=2π3
∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ6+12×1×1×sin2π3= 2+34km2

（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理
BCsinθ=OBsin(π−θ2)=1csθ2∴BC=CD=sinθcsθ2=2sinθ2
同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理
DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2csθ
∴l=2+4sinθ2+2csθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2
令t=sinθ2(0∴l=2+4t+2(1−2t2)=4+4t−4t2=−4(t−12)2+5
∴t=12时，即θ=π3，l的最大值为5
18．【答案】（1）B=π3；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵asinA+C2=bsinA，∴asinπ−B2=acsB2=bsinA，
由正弦定理可得sinAcsB2=sinBsinA，
sinAcsB2=2sinB2csB2sinA，
∵sinA≠0，∴csB2=2sinB2csB2．
∵锐角△ABC，∴B2∈(0,π4)，∴sinB2=12，
∴B2=π6，故B=π3；
（2）∵b=3，B=π3，由2R=bsinB，得2R=2，∴R=1．
∴a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(23π−A)
=2sinA+2(32csA+12sinA)=3sinA+3csA
=23(sinA⋅32+csA⋅12)=23sin(A+π6)．
∵0∴π3故a+c不可能等于3．
19．【解析】（1）当λ=23时，
依题意知，BF=23BC，DE=13DC，DC=12AB.
则AC=AD+DC=AD+12AB， CB=AB−AC=12AB−AD.
因为EF=AF−AE，
AF=AB+BF=AB+23BC=AB+23(AD−12AB)=23(AD+AB)，
AE=AD+DE=AD+13DC=AD+16AB.
所以EF=AF−AE=−13AD+12AB.
因此AC⋅EF=(AD+12AB)⋅(−13AD+12AB)=−13AD2+14AB2+13AB⋅AD.
因为AB=2DC， AD=CD=1，AD⊥AB，
所以AB=2，AD⋅AB=0，
所以AC⋅EF=23.
（2）由（1）知CB=AB−AC=12AB−AD.
因为BF=λBC，DE=1−λDC，
所以AE=AD+DE=AD+(1−λ)DC=AD+(1−λ)2AB；
AF=AB+BF=AB+λBC=AB+λ(AD−12AB)=λAD+(1−λ2)AB.
则EF=AF−AE=(λ−1)AD+12AB.
因为AB=2，AD=1， AD⋅AB=0，
所以AE⋅EF=(λ−1)AD2+1−λ4AB2+−λ2+2λ2AD·AB=λ−1+1−λ=0，
故向量AE，EF的夹角为90∘.
（3）由（2）可知：
AE=AD+DE=AD+(1−λ)DC=AD+(1−λ)2AB，
AF=AB+BF=AB+λBC=AB+λ(AD−12AB)=λAD+(1−λ2)AB.
则AE+12AF=1+λ2AD+1−3λ4AB.
因为AB=2，AD=1， AD⋅AB=0，
所以AF+12AE2 =1+λ22AD2+41−3λ42AB2+21+λ21−3λ4AD⋅AB
=1+λ22⋅|AD|2+1−3λ42⋅|AB|2 =52λ2−5λ+5 =52(λ−1)2+52,
由题意知，λ∈0,1，
所以AF+12AE2的取值范围是52,5，
∴AE+12AF的取值范围是102,5．