湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上.等内容，欢迎下载使用。

（时量：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义可得.
【详解】因为，又，
所以.
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】，所以.
故选：C.
3. 已知，则“”是“”的（ ）.
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得，即“”是“”的充分条件，
反之，当时，或，即“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
4. 函数的图象是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），，可排除C．
故选B．
5. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一个函数括号内的范围必须相同,因为的定义域为,所以函数应满足:,即可求得答案.
【详解】 函数的定义域为
根据同一个函数括号内的范围必须相同
函数应满足:,即

函数的定义域为:.
故选:B
【点睛】本题考查了抽象函数的定义域问题,注意函数定义域指的是范围,再者抽象函数题目中同一个函数括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁.
6. 若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案.
【详解】∵，∴，
∴，，
∴.
故选：B.
7. 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.
方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.
方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.
【详解】［方法一］：特殊函数法
由题意，不妨设，因为，
所以，化简得．
故选：D.
［方法二］：【最优解】特殊值法
假设可取，则有，
又因为，所以与矛盾，
故不是不等式解，于是排除A、B、C．
故选：D.
［方法三］：直接法
根据题意，为奇函数，若，则，
因为在单调递减，且，
所以，即有：，
解可得：.
故选：D.
【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；
方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；
方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题通性通法．
8. 已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
则，即，可得，，
令，
根据对勾函数可得在上单调递增，则．
所以的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数相同的条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项A正确；
对于选项B，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项B正确；
对于选项C，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项C正确；
对于选项D，因为，故与定义域相同，均为，函数表达式相同，所以与是同一函数，选项D错误，
故选：ABC.
10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可得是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可.
【详解】关于x的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
11. 若，则下列结论可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分与同正、同负和异号三种情况讨论即可.
【详解】若与同号，则由得，即，∴，
当与同为正时，，故C正确；
当与同为负时，，故A错，B正确；
若，则，故D正确．
故选：BCD.
12. 在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，
所以的图象关于原点对称，
则，
所以，故错误,正确；
所以对任意，都有，故正确；
在中令得
，且，
所以，故正确.
故选:BCD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 命题：“，”，则为________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可得解.
【详解】根据全称命题的否定可知，
命题：“，”的否定为：，.
故答案为：，
14. 若幂函数的图象过点，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数过点求出解析式即可得解.
【详解】因为幂函数的图象过点
所以因为，解得，
所以，故.
故答案为：
15. 的图象关于对称，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可知函数的对称轴，据此得解.
【详解】作函数，图象，如下，
由图象可知的图象关于对称，
所以.
故答案为：
16. 已知，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题意，得，
；因为，所以若中恰含有一个整数，则，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．
考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合.若，求a的值.
【答案】或5
【解析】
【分析】利用条件得，再列方程并检验即可得到a的值.
【详解】解：因为所以，
故或，
即或.
检验可知，当且仅当或时，，满足题意.
故a的值为或5.
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算即可.
（2）利用对数运算法则计算即可.
【小问1详解】
.
小问2详解】
.
19. 已知集合，.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的范围；
（2）若，求m的范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，即可得答案；（2）由题可得，即可得答案.
【小问1详解】
由题意可得
（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
则，解得，即m的范围为；
【小问2详解】
因为，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，，即m的范围为.
20. （1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
【分析】（1）变形后利用均值不等式求解最小值；
（2）结合“1”的技巧，利用均值不等式求解.
【详解】（1）由于，所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为1.
（2）因为，，且，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为恒成立，
所以，即，解得．
所以实数m的取值范围为．
21. 设函数为偶函数．
（1）求k的值；
（2）写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．
【答案】（1）1 （2）单调性见解析，不等式解集为
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出；
（2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式.
【小问1详解】
∵为定义在R上的偶函数，
∴，即，
故，即，
解得；
【小问2详解】
在上单调递减，在上单调递增，
理由如下：，
设
任取，且，
则
，
因为，且，
所以，，
故，
所以在单调递增，
由复合函数同增异减可得，在单调递增，
又在R上为偶函数，故在上单调递减，
，
∴，
解得或，
∴不等式解集为.
22. 已知函数
（1）若，求不等式的解集;
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；
（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．
【小问1详解】
若，则，
所以，即，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为．
【小问2详解】
若，即，解得．
所以，
令，所以．
当，即时，在上单调递增，
所以，即．
当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以，
即．
综上，．