2023-2024学年福建省福州八中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州八中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个有理数中，最小的是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
2.围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列各式中，计算结果等于a2的是( )
A. a2⋅a3B. a5÷a3C. a2+a3D. a5−a0
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，BC，BD的中点，若AB=8，则EF的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上情况都有可能
6.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根，则k的值为( )
A. −5B. −7C. 5D. 7
7.如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”.数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为( )
A. 0.46B. 0.50C. 0.55D. 0.61
8.函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是( )
A. y=ax+b(a<0)B. y=ax(a>0)
C. y=ax2+bx+c(a>0)D. y=ax2+bx+c(a<0)
9.如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是( )
A. 6210x=3B. 6210x=3x−1
C. 3(x−1)=6210xD. 3(x−1)=6210x−1
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的最大值为a+b+c，且该二次函数图象经过点P(−1,m2+3)，Q(n,2m)两点，则n的值可能是( )
A. −2B. −1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______．
12.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为______．
13.已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是______Ω.
14.若1a+1b=3，则a+b2a−ab+2b的值为 ．
15.古希腊数学家曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法.如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km.当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°.由此估算地球周长约为______km．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在函数y=kx(k<0)的图象上，点A在点B左侧，延长BA交x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD并延长，交y轴于点E，连接CE.若AB=3AC，S△ACE=8，则k的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.先化简，再求值：2x−1x2−2x+1÷(x2x−1−x+1)，其中x= 2+1．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：|− 3|−2sin60°+(14)−1+(2023−π)0．
19.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，求证：△ADE≌△CDF．
20.(本小题8分)
第31届世界大学生夏季运动会(简称“大运会”)将于2023年7月28日至8月8日在成都举行.某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A(非常关注)、B(比较关注)、C(很少关注)、D(没有关注)四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
(2)求A所在扇形的圆心角度数；
(3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
21.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E．
(Ⅰ)如图1，当点E恰好在AB上时，求∠BDE的大小；
(Ⅱ)如图2，若α=60°，点F是AB中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D(请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法)：
(2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=4，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
请你参与这个项目学习，并完成下列任务
(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB；
(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______(定出一条即可)；
(3)任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下．
24.(本小题13分)
抛物线y=ax2−2ax+c与x轴只有一个交点A(c,0)，与直线y=a交于B，C两点，点C恰好落在y轴上．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)在抛物线y=ax2−2ax+c的对称轴右侧图象上存在两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)(x1①当O、D、B三点共线时，求点Q的坐标；
②若直线EM//QC，求证：△MBD的面积是一个定值．
25.(本小题13分)
如图1，点F在正方形ABCD边AB上，以AF为对线作正方形AEFG，连接CF，点M是线段CF中点，连BM，GM，CG．
(1)试判断线段MB线MG的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)将正方形AEFG；绕点A顺时针转α度(0<α<180°)，连接DM，EM，如图2．
①当E，F，B三点共线时，AB=15，BF=3，求DG的长；
②求证：MB=MG．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了有理数的大小比较，关键用绝对值的大小来判断负数之间的大小比较．首先对负数、正数和零判断出负数最小，然后再对−2和−1进行判断，−2的绝对值大，所以它最小．
【解答】
解：根据有理大小的比较方法可得：−2<−1<0<1，
所以最小的是−2．
故选A．
2.【答案】B
【解析】解：这个立体图形的主视图为：
故选：B．
根据主视图是从物体正面看所看到的图形解答即可．
本题主要考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
3.【答案】B
【解析】解：A.a2⋅a3=a2+3=a5，因此选项A不符合题意；
B.a5÷a3=a5−3=a2，因此选项B符合题意；
C.a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项C不符合题意；
D.a5与a0不是同类项，不能合并，因此选项D不符合题意．
故选：B．
根据同底数幂乘除法的计算方法，同类项、合并同类项法则逐项进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘除法，同类项以及合并同类项，掌握同底数幂乘除法的计算法则以及同类项、合并同类项法则是正确解答的前提．
4.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=8，
则CD=12AB=12×8=4，
∵点E，F分别是BC，BD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12CD=2，
故选：A．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，
∵4<2，即：d>r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选：A．
根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：dr；即可选出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：把x=1代入关于x的一元二次方程x2+kx−6=0得：
1+k−6=0，
k=5，
故选：C．
先根据一元二次方程解的定义，把x=1代入关于x的一元二次方程x2+kx−6=0得关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．
7.【答案】B
【解析】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．
8.【答案】B
【解析】解：由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值4，所以y是x的反比例函数，
故选：B．
根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵这批椽的价钱为6210文，这批椽有x株，
∴一株椽的价钱为6210x文，
又∵每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴3(x−1)=6210x．
故选：C．
利用单价=总价÷数量，可求出一株椽的价钱为6210x文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的最大值为a+b+c，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，
∵yP−yQ=m2+3−2m=(m−1)2+2>0，
∴yP>yQ，
∴|−1−1|<|n−1|，
∴n>3或n<−1
∴n可能是−2．
故选：A．
由题意可得抛物线图象开口方向及对称轴，再由yP−yQ>0得点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离．即可判断n的范围，进而求解．
本题考查二次函数的最值以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，结合图象求解．
11.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分母不为0可得：x−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
12.【答案】2.8×10−9
【解析】解：0.0000000028=2.8×10−9．
故答案为：2.8×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】18
【解析】解：设反比例函数关系式为：I=kR，
把(4,9)代入得：k=4×9=36，
∴反比例函数关系式为：I=36R，
当I=2时，则2=36R，
∴R=18，
故答案为：18．
根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流为2A求得电阻即可．
本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
14.【答案】35
【解析】【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，关键是根据分式的加法整理已知条件整体代入求值.先利用分式的加法整理可得a+b=3ab，然后整体代入所求的分式，化简可得结果．
【解答】
解：∵1a+1b=3，
∴b+aab=3，
即b+a=3ab，
则原式=a+b2a+b−ab=3ab6ab−ab=35．
故答案为35．
15.【答案】40000
【解析】解：设地球的半径是r，
∵太阳的光线是平行的，
∴∠AOB=∠α=7.2°，
∴AB的长=7.2πr180=800，
∴πr=800×1807.2，
∴2πr=800×3607.2=40000(km)，
∴地球周长约是40000km．
故答案为：40000．
设地球的半径是r，由弧长公式得到：AB的长=7.2πr180=800，求出πr=800×1807.2，即可得到地球周长．
本题考查弧长的计算，圆的周长，关键是由弧长公式得到AB的长=7.2πr180=800．
16.【答案】−12
【解析】解：作AF⊥BD，AM⊥CD，垂足分别为F、M，
∵AM/​/BD，
∴△ACM∽△CDB，
∵AB=3AC，
∴AMBD=14，
设A(m,n)，
∴B(14m,4n)，
∴D(14m,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
mk+b=n14mk+b=4n，
解得：k=−4nmb=5n，
∴直线AB的解析式为y=−4nmx+5n，
令y=0，则x=5m4，
∴C(5m4,0)，
设直线AD的解析式为y=px+q，则：
mp+q=n14mP+q=0，
解得p=4n3mq=−n3，
∴直线AD的解析式为y=4n3mx−n3，
∴E(0,−n3)，
∴S△ACE=S△ADC+S△CDE=12(14m−5m4)n+12(14m−5m4)⋅n3=8，
整理得−12mn−16mn=8，
∴−23mn=8，
∴mn=−12．
∴k=mn=−12．
故答案为：−12．
设A(m,n)根据相似三角形的性质可得BD长，得到点B的坐标B(14m,4n)和D(14m,0)，利用待定系数法分别求出直线AB和直线AD的解析式，根据解析式再求出点C、E坐标，利用三角形面积为8建立方程求出mn的值即是k值．
本题考查了反比例函数k值的几何意义及待定系数法求函数解析式，熟练掌握k值几何意义是解答本题的关键．
17.【答案】解：2x−1x2−2x+1÷(x2x−1−x+1)
=2x−1(x−1)2÷x2−(x−1)(x−1)x−1
=2x−1(x−1)2⋅x−1x2−x2+2x−1
=2x−1x−1⋅12x−1
=1x−1，
当x= 2+1时，原式=1 2+1−1=1 2= 22．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：原式= 3−2× 32+4+1
= 3− 3+4+1
=4+1
=5．
【解析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
19.【答案】证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，
∵BE=BF，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF中，
AD=DC∠A=∠CAE=CF
∴△ADE≌△CDF(SAS)．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF．
本题主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
20.【答案】500
【解析】解：(1)本次调查共抽取了50÷10%=500(名)学生．
故答案为：500．
选项B的人数为500−200−100−50=150(人)．
补全条形统计图如图所示．
(2)A所在扇形的圆心角度数为360°×200500=144°．
(3)列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为212=16．
(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查共抽取的学生人数；用本次调查共抽取的学生人数分别减去条形统计图中A，C，D的人数，求出B的人数，补全条形统计图即可．
(2)用360°乘以本次调查中选择A的学生所占的百分比即可．
(3)列表即可得出所有等可能的结果，以及甲、乙同时被选中的结果，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21.【答案】(1)解：如图1，△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点E恰好在AB上，
∴AB=AD，∠EAD=∠CAB=30°，∠DEA=∠BCA=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=12(180°−30°)=75°，
∴∠BDE=90°−75°=15°；
(2)证明：如图2，
∵点F是边AB中点，
∴CF=12BA，
∵∠BAC=30°，
∴BC=12BA，
∴CF=BC，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=60°，AC=AE，DE=BC，
∴DE=CF，△BAD和△CAE为等边三角形，
∴CE=CA，
∵点F为△BA的边AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴△AFD≌△BCA(AAS)，
∴DF=CA，
∴DF=CE，
而CF=DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
【解析】(1)如图1，利用旋转的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和即可得到结论；
(2)如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系以及旋转的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
22.【答案】解：(1)如图所示：

∵OD⊥AC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴OD//BC，
∴∠ODB=∠CBD，
∵∠CBD=∠OBD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OD=OB，
∴边AC与⊙O相切于点D，
故⊙O即为所求作；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，
∵∠ABC=60°，
∴∠OAD=30°
∵⊙O过点B且与边AC相切于点D，
∴∠ADO=90°，
∴AO=2OD=2r，
∴AB=AO+OB=3r=4，
∴r=43．
【解析】(1)作∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作AC的垂线交AB于点O，以点O为圆心，OB长为半径即可作⊙O；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，求出AO即可求解．
本题考查了尺规作图、圆的切线的判定与性质、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形等知识点，根据题意作图是解题关键．
23.【答案】相似三角形对应边成比例
【解析】解：(1)由题知，BC/​/DE
∴△ABC∽△ADE．
∴ABAD=BCDE，
又BC=1.6m，BD=10m，DE=2.0m，
∴ABAB+10=1.62.0
解得：AB=40．
答：河流的宽度AB为40m．
(2)由题意得：相似三角形的对应边成比例(答案不唯一，合理即可)；
(3)(答案不唯一，合理即可).在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达C处，在C处坚立一竹竿，然后继续向东行走到D处，使得CD=BC，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与A、C共线时停下，位置记为E，这时DE的长度即表示河流的宽度．
(1)任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长；
(2)任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
(3)任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵抛物线y=ax2−2ax+c与直线y=a交点C恰好落在y轴上，
∴点C(0,a)，
∴抛物线过点A及点C(0,a)，
把这两点坐标分别代入y=ax2−2ax+c中，得：
ac2−2ac+c=0c=a，
解得：a=c=1，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x+1；
(2)①解：如图所示，过点Q作QF⊥CB于点F，

由(1)得y=x2−2x+1=(x−1)2，
∴对称轴为x=1，
令x=0，y=x2−2x+1=1，
∴C(0,1)，
∵点B和点B关于对称轴对称，
∴B(2,1)，
设直线OB的解析式为y=kx，
∴2k=1，
解得k=12，
∴直线OB的解析式为y=12x，
当O、D、B三点共线时，
将x=1代入y=12x得y=12，
∴D(1,12)，
∴CG=OA=1，AD=12，
∴GD=AG−AD=OC−AD=12，
∴tan∠PCB=GDCG=121=12，
∵∠PCB=∠QCB，
∴tan∠PCB=tan∠QCB=12，
∵Q(x2,y2)，
∴y2=x22−2x2+1，
∴QF=x22−2x2+1−1=x22−2x2，CF=x2，
∴tan∠QCB=QFCF=12，即x22−2xx2=12，
解得x2=52，
∴y2=(52)2−2×(52)+1=94，
∴点Q的坐标为(52,94)；
②证明：设点D的纵坐标为t，直线x=1交QC于点D′，如图2；

∵∠PCB=∠QCB，直线x=1垂直于直线BC，
∴点D与D′点关于直线BC对称，
∴yD′=2−t，
∴D′(1,2−t)，
由C(0,1)，D′(1,2−t)可得CQ：y=(1−t)x+1，
联立解方程组y=(1−t)x+1y=(x−1)2，
得：x1=0y1=1,x2=3−ty2=t2−4t+4，
∴Q(3−t,t2−4t+4)，
由B(2,1)，Q(3−t,t2−4t+4)可得BQ：y=(3−t)x+2t−5，
上式中，令x=1得：y=t−2，
∴E(1,t−2)，
∴ED=t−(t−2)=2；
∵B，C两点关于抛物线对称轴对称，
∴DC=DB，
∴∠PCB=∠DBC，
∴∠PDB=2∠PCB=∠PCQ，
∴BD//CQ，
∵EM//QC，
∴EM//DB，
∴S△MBD=S△EBD=12ED⋅(yB−yD)=12×2×(2−1)=1，
∴△MBD的面积是一个定值．
【解析】(1)由题意知，抛物线过点A及点C(0,a)，把这两点坐标代入二次函数中，即可求得a、c，从而求得解析式；
(2)①过点Q作QF⊥CB于点F，首先求出直线OB的解析式为y=12x，然后求出D(1,12)，然后根据题意得到tan∠PCB=GDCG=121=12，表示出QF=x22−2x2，CF=x2，利用tan∠QCB=QFCF=12代数求解即可；
②设点D的纵坐标为t，直线x=1交QC于点D′，则可得点D′坐标，从而求得CQ的解析式，与二次函数联立，进而求得点Q的坐标；求出直线QB解析式，则可求得点E的坐标，求得ED=2；由抛物线的对称及∠PCB=∠QCB，可得BD//CQ，则可得EM//BD，则S△MBD=S△EBD即可求解．
本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形外接圆，圆周角定理，正切函数等知识，综合性强，难度较大，构造三角形外接圆是关键与难点．
25.【答案】(1)解：∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠FAC=∠FAC=45°，∠AGF=∠ABC=90°，
∴点G在AC上，
∴∠FGC=90°，
∵M是CF的中点，
∴GM=CM=BM=12CF，
∴∠GCM=∠CGM，∠BCM=∠CBM，
∴∠GMF=∠GCM+∠CGM=2∠ACF，∠BMF=2∠BCF，
∴∠GMF+∠BMF=2(∠ACF+∠BCF)，
∴∠BMG=2∠ACB=90°，
∴MB=MG，MB⊥MG；
(2)①解：∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，
∴AD=BB，EF=AE=AG，∠E=∠BAD=∠GAE=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
∴△DAG≌△BAE(SAS)，
∴DG=BE，
设AE=EF=x，则BE=x+3，
∵AE2+BE2+AB2，
∴x2+(x+3)2+152，
∴x1=9，x2=−12(舍去)，
∴BE=x+3=12，
∴DG=BE=12；
②证明：如图，

延长GM至N，是MN=GM，连接CN，延长AG，交BC于点O，交CN于点T，
∵CM=FM，∠FM=∠CMN，
∴△CMN≌△FMG(SAS)，
∴CN=FG=AG，∠CNM=∠BGM，
∴FG//CN，
∵∠AGF=90°，
∴∠ATG=90°，
∴∠ATG=∠ABC=90°，
∵∠COT=∠AOB，
∴∠BCT=∠BAG，
∵AB=BC，
∴△ABG≌△CBN(SAS)，
∴BG=BN，∠CBN=∠ABG，
∴∠CBN+∠CBG=∠ABG+∠CBG=∠ABC，
∴∠GBN=90°，
∴MB=MG=12GN．
【解析】(1)可推出G在AC上，从而得出直角三角形CGF，根据直角三角形性质得出MG=MC=BM，进一步得出结果；
(2)①可证得△DAG≌△BAE，从而DG=BE，设AE=EF=x，则BE=x+3，根据勾股定理DEAE2+BE2+AB2，从而得出x2+(x+3)2+152，求得x的值，进一步得出结果；
②延长GM至N，是MN=GM，连接CN，延长AG，交BC于点O，交CN于点T，可证得△CMN≌△FMG(SAS)，从而CN=FG=AG，∠CNM=∠BGM，进而证得∠BCT=∠BAG，进而得出△ABG≌△CBN，从而得出BG=BN，∠CBN=∠ABG，进而得出∠GBN=90°，从而MB=MG=12GN．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
x
1
2
4
y
4
2
1
题目
测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据
BC=1.6m，BD=10m，DE=2.0m
甲
乙
丙
丁
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
(甲，丁)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
(乙，丁)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)
(丙，丁)
丁
(丁，甲)
(丁，乙)
(丁，丙)