福州金山中学2024届九年级上学期月考数学试卷(含解析)

这是一份福州金山中学2024届九年级上学期月考数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
答案：C
解析：
详解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
2. 下列图形中表示的角是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可知，B，C，D项图形中的顶点都不在圆心上，所以它们都不是圆心角．
故选A．
3. 一根排水管的横截面如图所示．已知排水管的横截面圆的半径，圆心O到水面的距离是3，则水面的宽是（ ）

A. 8B. 5C. 4D. 3
答案：A
解析：
详解：解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是3，
∴，
∴，
在中，，，
∴
∴．
4. 如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）

A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°
答案：B
解析：
详解：解：∵AB为⊙O切线，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠AOB=90°-∠B=55°．
故选：B．
5. 如图，在矩形中，，，若以点D为圆心，12为半径作，则下列各点在外的是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
答案：B
解析：
详解：解：由题意可得，
，，
∴ ，
∴点A在圆上，B在圆外，C在圆内，D是圆心，
故选B．
6. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
A. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.6
答案：A
解析：
详解：由旋转的性质可知，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
7. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M
答案：B
解析：
详解：解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
8. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段BC的延长线上，且，则旋转角的度数为（ ）
A. 60°B. 70°C. 100°D. 110°
答案：C
解析：
详解：绕点按逆时针方向旋转，得到
，，
，，
，
，
，
故选：C．
9. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. ∠COM=∠CODB. 若OM=MN，则∠AOB=20°
C. MN∥CDD. MN=3CD
答案：D
解析：
详解：解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )

A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
答案：
解析：
详解：解：点关于原点对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点、且∠D=130°，则∠BAC的度数是_____°．
答案：40°．
解析：
详解：
试题解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=180°-∠D=50°，
∴∠BAC=90°-∠B=40°．
13. 如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为______ ．
答案：3
解析：
详解：解：∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案：3．
14. 如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
答案：1
解析：
详解：解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
15. 如图，已知中，，将绕顶点C顺时针旋转90°得到，F是中点，连接，则的长为 _____．
答案：
解析：
详解：解：作于H，如图，
∵将绕顶点C顺时针旋转90°得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
16. 如图，四边形和四边形均为正方形，点D为的中点，若，连接，则的长为______．

答案：
解析：
详解：解：如图，连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接，
四边形和四边形均为正方形，
，
根据旋转的性质，可得，，，
，
，
，
，
，
，
可得三点共线，
，
，
点D为的中点，
，
设，则，
根据勾股定理可得，，
即，
解得（舍去负值），
，，
，
，
，
，
,
故答案为：．

三、解答题（共9道题，共86分）
17. 解方程：．
答案：
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 已知二次函数的部分图象如图所示．

（1）求这个二次函数的解析式：
（2）直接写出满足时，x的取值范围．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：由图象可知抛物线的顶点是，经过点，
∴可设二次函数的解析式为，把代入得
得，，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
小问2详解：
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴交点坐标为和，
由图象可知：抛物线位于x轴下方的部分，对应的，
此时．
19. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；
（3）连接，求出四边形的面积．
答案：作图见解析；（2）作图见解析；（3）24．
解析：
详解：如图所示
（1）作出点A关于点O的对称点；
（2）连接，画出线段；
（3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；
．
∴四边形的面积是24．
20. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？
答案：寸
解析：
详解：解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以（寸）．
21. 如图，在中，，，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接BE．
（1）根据题意将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图狼迹，不写作法）
（2）求证：．
答案：（1）见解析；
（2）见解析．
解析：
小问1详解：
解：根据题意作图如下：
小问2详解：
证明：将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
22. 如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为1，求的长，
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：连接，如图所示：

，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
∵为半径，
∴是的切线；
小问2详解：
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．
（1）求证：∠A＝2∠BDF；
（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．

答案：（1）见解析；（2）1
解析：
详解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵EF为切线，
∴OD⊥DF，
∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，
∴∠BDF＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠BDF，
∵D是弧BC的中点，
∴∠COD＝∠OAD，
∴∠CAB＝2∠BDF；
（2）解：连接BC交OD于H，如图，
∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BH，
∴OH为△ABC的中位线，
∴，
∴HD＝2.5－1.5＝1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形DHCE为矩形，
∴CE＝DH＝1．
24. 在中，为的平分线，E为边的中点，线段绕点E逆时针旋转得到线段（点F是点A的对应点），旋转角不超过，连接，直线交直线于点G．
（1）如图1，当为边长为a的等边三角形且点G恰好与点B重合时，求的长；
（2）如图2，点G在边上，与交于点D，，，求证：；
（3）如图3，若，过点C作直线于点M，连接，当时，按要求画图并探究与之间的数量关系．
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）数量关系为：
解析：
小问1详解：
∵是等边三角形，点E为边的中点，
∴，，
∴，
由旋转可知，，
∴；
小问2详解：
证明：如图2中，
∵平分，
∴，
设，，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
小问3详解：
如图3中，结论：，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴A，F，M，C四点共圆，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
25. 已知抛物线C：，顶点为．
（1）求b，c的值；
（2）若，抛物线与直线L：相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）点为y轴正半轴上一定点，点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若，求证：直线经过一个定点．
答案：（1），
（2）m的值是或
（3）见解析
解析：
小问1详解：
解：设抛物线表达式为，
∵顶点为，
∴，，
∴，即，；
小问2详解：
解：时，抛物线的表达式为，如图：
∵P为y轴右侧抛物线C上一动点，
∴设点P的坐标为，则点，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去）或或或（舍去），
∴m的值是或；
小问3详解：
证明：作点A关于y轴的对称点M，连接，如图：
∵抛物线关于y轴对称，
∴点M在抛物线上，
∵，
∴M、P、B三点共线，
设点，则点，
联立方程组，
可得，即，
∴此方程的两根是B、M两点的横坐标，
不妨设，
则，
∴，
代入，得，
∴，
设直线的解析式是，
∴，解得：，
∴直线的解析式是，
∴时，，
∴直线过定点．