2021-2022学年福建省福州十八中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2021-2022学年福建省福州十八中九年级（下）月考数学试卷（4月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 截止年月日，全球新冠肺炎确诊病例超过例，将用科学记数法表示为(    )

A. 亿 B.  C.  D.

3. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 函数中，自变量的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

6. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 从小明家到学校有米上坡，米平路和米下坡，小明上学时上坡的速度为米分钟，平路上的速度为米分钟，下坡速度为米分钟，则小明上学时的平均速度是(    )

A. 米分钟 B. 米分钟
C. 米分钟 D. 无法求出平均速度

9. 如图，是的外接圆，，，于点且，则的半径为(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点，与对角线交于点，过点作与的延长线交于点恰好满足，连接、、若的面积为，：：，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 不等式组的解集是______．
12. 因式分解：______．
13. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______．
14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
15. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为______ 点，，，都在同一平面上，结果保留根号
16. 对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    如图，正方形中，是边上任意一点不与、重合，于点，，且交于点求证：．

20. 本小题分
    在全球新冠疫情大爆发时期，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出若干人组成的专家组，分别赴、、、四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图不完整所示：
    这次派出的专家总人数为______人；
    计算赴国女专家人数为______人，赴国男专家人数为______人，并将条形统计图补充完整；
    根据需要，从赴国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
     

21. 本小题分
    尺规作图只保留作图痕迹，不要求写出作法如图，已知，且．
    在边上求作点，使；
    在边上求作点，使∽．

22. 本小题分
    如图，是的直径，点是上一点与点，不重合，过点作直线，使得．
    求证：直线是的切线．
    过点作于点，交于点，若的半径为，，求图中阴影部分弓形的面积．

23. 本小题分
    某超市从厂家购进、两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

求、两种型号的水杯进价各是多少元？
在销售过程中，型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢为了增大型水杯的销售量，超市决定对型水杯进行降价销售，当销售价为元时，每天可以售出个，每降价元，每天将多售出个，请问超市应将型水杯降价多少元时，每天售出型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？

24. 本小题分
    如图所示，矩形中，点，分别为边，的中点，将绕点逆时针旋转，直线、相交于点．
    若，将绕点逆时针旋转至如图所示的位置，则线段与的数量关系是______ ．
    若，将绕点逆时针旋转，则中的结论是否仍然成立？若成立，请就图所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
    若，，将旋转至，请算出的长．
     

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象过点，，点是抛物线在第一象限部分上一个动点，连接，交于点，连接，，是常数．
    求二次函数的表达式；
    当点恰好是抛物线的顶点时，求点的坐标，并直接写出此时的值；
    当最大时，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，旋转后点的对应点为点，连接，如果，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选B．
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
B、根据完全平方公式计算；
C、根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算；
D、把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握公式、运算性质和法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】】解：从正面看，共有四列，从左到右每列的正方形的个数分别为：、、、，
故选：．
根据主视图是从正面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

7.【答案】 

【解析】过点作，利用两直线平行，内错角相等即可求出的度数，
本题主要考查了平行线的性质，构建合适的平行线是本题解题的关键．

解：如图：过点作，

，

，
．
故选B．
 

8.【答案】 

【解析】解：米分钟．
故选：．
利用小明上学时的平均速度小明家到学校的路程小明从家到学校的时间，即可求出小明上学时的平均速度
本题考查了有理数的混合运算，利用平均速度路程时间，列式计算．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，
，
，，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为，
故选：．
连接，，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出，由圆周角定理得，再利用勾股定理求出．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由：：，设，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
点、均在反比例函数图象上，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点，然后设，，然后利用得证，进而证明∽，利用相似三角形的性质得到、、的长，然后利用得到∽，进而得到和的长，然后利用三角形的面积之间的关系得到，然后结合反比例系数的几何意义求得的取值．
本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的比例系数的几何意义、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出相关的线段长度．
 

11.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：条，
故答案为：．
根据多边形的外角和等于计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

15.【答案】米 

【解析】解：过点作于点，过点作于点．

由题意得，，，，．
在中，，
，
即，
，
，
，
四边形是矩形，
．
在中，，
．
，
米．
答：教学楼高约米．
故答案为：米．
过点作于点，过点作于点根据题意可得，，，再根据四边形是矩形知进而可得教学楼的高度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，可得，
则，
当时，取得最大值，此时；
当时，可得或，，
则，
当时，取得最大值，此时；
由上可得，该函数的最大值为，
故答案为：．
根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质、二次函数的性质，可以求得该函数的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由得，由得，则，由正方形的性质得，，根据同角的余角相等可以证明，于是可以证明≌，得．
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角或等角的余角相等、平行线的性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：这次派出的专家总人数为：人；
故答案为：；

赴国女专家人数为人，
赴国男专家人数为人，
条形统计图补充为：

故答案为：，；

解：根据题意列表如下：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为，
所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率是．
根据国建的人数和所占的百分比即可得出答案；
先计算出赴国女专家人数和赴国男专家人数，然后补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】解：如图，点即为所求．
如图，点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可．
作，射线交于点，点即为所求．
本题考查作图相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】证明：连接．

，
，，
为直径，
，
，
，
，即，
，
为半径，
直线是的切线．
解：过点作于，连接．

，
，
，
由得，
，
又，
，
，
，
，且，
为等边三角形，即，
． 

【解析】连接，由直径所对的圆周角为直角，可得；利用等腰三角形的性质及已知条件，可求得，根据切线的判定定理可得结论．
过点作于，连接由，可得，从而可得的度数，进而判定为等边三角形，则的度数可得出；利用，可求得答案．
本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：设种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元；
设超市应将型水杯降价元时，每天售出型水杯的利润为元，根据题意，
得：

，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：超市应将型水杯降价元时，每天售出型水杯的利润达到最大，最大利润为元；
设总利润为元，购进种水杯个，
依题意，得：，
捐款后所得的利润始终不变，
值与值无关，
，解得：，
，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 

【解析】设种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据：利润每台实际售价每台进价销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
设总利润为元，购进种水杯个，根据总利润单个利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，由值与值无关可得出的值，再代入值即可求出的值．
本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图中，结论：．

理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
．
故答案为．

如图中，结论不成立．结论：，理由如下：

，，，
，
：：，
，
，
∽，
：：，
．

如图中，当点在的延长线上时，

在中，，，，
，
∽，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；

如图中，当点在线段上时，同法可得，，

，
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，结论：，证明≌，利用全等三角形的性质可得结论．
结论：，，证明∽，利用相似三角形的性质可得结论．
分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故二次函数的表达式为；

由抛物线的表达式知，点，
设直线、的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
联立和并解得，故点的坐标为，
则，
同理可得：，则，
：；

设点的坐标为，
则，

由点、的坐标得，直线的表达式为，
而直线的表达式为，
联立上述两个表达式并解得，故点的坐标为，
则，
则：，
当时，最大，则点的坐标为，
由点、的坐标得，，
设直线交于点，
则，即，解得，
则，
在中，，
即． 

【解析】用待定系数法即可求解；
求出点的坐标为，则，同理可得：，则，即可求解；
求出点的坐标为，得到：，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．