2023-2024学年福建省福州十八中八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年福建省福州十八中八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. (−3)2=−3D. 6÷ 3= 2
2.下列各组线段能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 6，8，10C. 5，5，6D. 3，4，6
3.下列式子从左至右变形不正确的是( )
A. −a−2b=a2bB. ab=4a4bC. 2a4ab=12bD. ab=a+2b+2
4.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. A0=CO，BO=DOD. AB=DC，AD//BC
5.最简二次根式 a+1与最简二次根式 2a是同类二次根式，则a的值是( )
A. a=1B. a=−1C. a=2D. a=−2
6.下列分式是最简分式的是( )
A. 9y12xB. x+yx2+y2C. x−y2x−2yD. x+yx2−y2
7.下列命题中，为真命题的是( )
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)对角线互相垂直的四边形是矩形；
(3)对角线相等的平行四边形是菱形；
(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
A. (1)(2)B. (1)(3)C. (1)(4)D. (3)(4)
8.已知aA. −a −abB. −a abC. a abD. a −ab
9.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 6
10.按一定规律排列的代数式：2，−4x2，8x4，−16x6，32x8，……，第n个代数式是( )
A. (−1)n2nx2n−2B. (−1)n−12nx2n−2C. (−1)n−12nx2nD. (−1)n−12nx2n−2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是______.
12.如图，菱形ABCD中，边AB的中点为M，对角线交于点O，OM=3，则菱形ABCD的周长为__________.
13.若|x−2|+ y+3=0，则xy=__________.
14.直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为______.
15.如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为__________cm2.
16.如图，长方形两边长AB=2，AD=1，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(1) 12÷ 3− 13× 27；
(2)(12)−1+(2024−π)0−| 3−2|.
18.(本小题8分)
(1)化简：(a3b2)2⋅(ab3)−3.
(2)解方程：xx+1+1=62x+2.
19.(本小题8分)
已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF=∠DCE.
求证：(1)△ABF≌△CDE.
(2)四边形AECF是平行四边形.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−1a+1)÷aa2−1，其中a= 5+1.
21.(本小题8分)
某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m.
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
22.(本小题10分)
某超市购进A和B两种商品，已知每件A商品的进货价格比每件B商品的进货价格贵2元，用200元购买A商品的数量恰好与用150元购买B商品的数量相等．
(1)求A商品的进货价格；
(2)计划购进这两种商品共30件，且投入的成本不超过200元，那么最多购进多少件A商品？
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点.若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若ED=2AE，AB⋅AD= 3，求EF⋅BD的值.
24.(本小题12分)
【提出问题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和.
【探究问题】小红在探究该问题时从特殊的矩形和菱形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
(1)①如图①，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，则AC2+BD2=______；
②若边长为5的菱形ABCD中，两条对角线的平方和AC2+BD2=______；
【解决问题】(2)如图②，已知▱ABCD.求证：AC6+BD2=2(AB2+BC2)；
【知识应用】(3)如图③，在△ABC中，AB、BC、AC的长分别为7、10、5，AD是BC边上的中线，利用(2)的结论求AD的长.
25.(本小题14分)
阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有下面的不等式：a+b2≥ ab，当且仅当a=b时取等号.它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.
【实例剖析1】已知x>0，求式子y=x+4x的最小值.
解：令a=x，b=4x，则由a+b2≥ ab，得y=x+4x=2 x⋅4x=2× 4=4，当且仅当x=4x时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4.
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”.类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”
【实例剖析2】如：x−1x+1，x2x−1这样的分式就是假分式；如：3x+12xx2+1这样的分式就是真分式，假分数74，可以化成1+34(即12)带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式.如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1x2x−1=(x2−1)+1x−1=(x−1)(x+1)x−1+1x−1=x+1+1x−1.
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知x>0，则当x=______时，式子x+9x取到最小值，最小值为______；
(2)分式3x是______(填“真分式”或“假分式”)；假分式x+6x+1可化为带分式形式______；如果分式x+6x+4的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
(3)用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知x>1，当x取何值时，分式x−1x2−2x+5取到最大值，最大值为多少？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2 3− 3= 3，故B不符合题意；
C、 (−3)2=3，故C不符合题意；
D、 6÷ 3= 2，故D符合题意；
故选：D.
2.【答案】B
【解析】解：A、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意；
C、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组构成直角三角形，故不符合题意；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：B.
根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
此题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、−a−2b=a2b，故A不符合题意；
B、ab=4a4b，故B不符合题意；
C、2a4ab=12b，故C不符合题意；
D、ab≠a+2b+2，故D符合题意；
故选：D.
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D.
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知：a+1=2a，
解得：a=1，
故选：A.
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
6.【答案】B
【解析】解：A、该代数式的分子与分母存在公因式数3，不是最简分式，不符合题意；
B、该代数式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
C、该代数式的分子与分母存在公因式(x−y)，不是最简分式，不符合题意；
D、该代数式的分子与分母存在公因式(x+y)，不是最简分式，不符合题意；
故选：B.
根据最简分式的定义逐项进行分析判断即可．
本题考查了最简分式，分子与分母没有公因式的分式是最简分式．
7.【答案】C
【解析】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
(4)对角线相等且互相垂直平行四边形是正方形形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为(1)(4)，
故选：C.
利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．
8.【答案】A
【解析】【分析】
由于二次根式的被开方数是非负数，那么−a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a本题考查了二次根式的化简与性质．正确得出a，b的取值范围是解题的关键.
【解答】
解：∵ −a3b有意义，
∴−a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a∴a<0，b≥0，
∴ −a3b=−a −ab.
故选A.
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
大正方形的边长为 8=2 2，小正方形的边长为 2，
∴图中阴影部分的面积为： 2×(2 2− 2)=2，
故选：A.
根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数字的变化规律，通过观察所给单项式的分子、分母的规律，探索代数式的一般规律是解题的关键．
通过观察可得：分母的规律是x2(n−1)，分子的规律是(−1)n−12n，即可求解．
【解答】
解：∵2，−4x2，8x4，−16x6，32x8，……，
∴分母的规律是x2(n−1)，分子的规律是(−1)n−12n，
∴第n个代数式是(−1)n−12nx2n−2，
故选：B.
11.【答案】x≠2
【解析】【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．直接利用分式的定义进而分析得出答案．
【解答】
解：∵代数式xx−2有意义，
∴实数x的取值范围是：x−2≠0，即x≠2.
故答案为：x≠2.
12.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键．
由菱形的性质可得AB=AD=CD=BC，BO=DO，再由三角形的中位线定理可得AD=2OM=6，即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，BO=DO，
又∵点M是AB的中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AD=2OM=6，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×6=24，
故答案为：24.
13.【答案】−6
【解析】解：∵|x−2|+ y+3=0，
∴x−2=0，y+3=0，
∴x=2，y=−3，
∴xy=2×(−3)=−6.
故答案为：−6.
先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
14.【答案】5cm
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答．
【解答】
解：由勾股定理得，斜边长为： 62+82=10cm，
则斜边上的中线长为：12×10=5cm，
故答案为：5cm.
15.【答案】49
【解析】【分析】
此题考查勾股定理的几何意义，灵活应用勾股定理以及正方形的性质来解决问题是关键．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】
解：
根据勾股定理可得E面积=A面积+B面积，F面积=C面积+D面积，G面积=E面积+F面积，
∴A、B、C、D的面积和=7×7=49(平方厘米)
故答案为：49.
16.【答案】1+ 2
【解析】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB=4，点E是AB的中点，∠AOB=90∘，
∴AE=BE=1=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，∠DAB=90∘，
∴DE= AE2+AD2= 2，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离=OE+DE=1+ 2，
故答案为：1+ 2.
取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 12÷3− 13×27
= 4− 9
=2−3
=−1；
(2)原式=2+1+ 3−2
=1+ 3.
【解析】(1)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的减法运算；
(2)先根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=a6b4⋅a−3b−9
=a3b−5
=a3b5；
(2)原方程去分母得：2x+2x+2=6，
整理得：4x+2=6，
解得：x=1，
检验：将x=1代入(2x+2)得2+2=4≠0，
故原方程的解为x=1.
【解析】(1)利用积的乘方法则及负整数指数幂计算即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查整式的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，
在△ABF和△CDE中，
∠B=∠DAB=CD∠BAF=∠DCE，
∴△ABF≌△CDE(ASA)；
(2)∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，BF=DE，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】(1)由“ASA”可证△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质可得AF=CE，BF=DE，可得AE=CF，即可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1−1a+1)÷aa2−1
=a+1−1a+1×(a−1)(a+1)a
=a−1，
把a= 5+1代入a−1= 5+1−1= 5.
【解析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
21.【答案】解：(1)连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，
所以∠DBC=90∘，
则S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=3×4÷2+5×12÷2=36(m2).
(2)所需费用为36×200=7200(元).
【解析】(1)直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出∠DBC=90∘，进而得出答案；
(2)利用(1)中所求得出所需费用．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出∠DBC=90∘是解题关键．
22.【答案】解：(1)设A商品的进货价格为x元，则每件B商品的进货价为(x−2)元，根据题意可得：
200x=150x−2，
解得：x=8，
经检验得：x=8是原方程的根，
答：A商品的进货价格为8元；
(2)设购进a件A商品，则购进(30−a)件B商品，根据题意可得：
8a+6(30−a)≤200，
解得：a≤10，
答：最多购进10件A商品．
【解析】(1)直接利用已知表示出两种商品的价格，再利用200元购买A商品的数量恰好与用150元购买B商品的数量相等得出等式求出答案；
(2)根据题意表示出购进两种商品的价格，进而得出不等式求出答案．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE=OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90∘，AD//BC，
∴∠ODE=∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
∠OBF=∠ODE∠BOF=∠DOEOF=OE，
∴△OBF≌△ODE(AAS)，
∴OB=OD，
∵OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
(2)解：∵AB⋅AD= 3，
∴S△ABD=12AB⋅AD=12 3，
∵ED=2AE，
∴ED=23AD，
∴S△BDE：S△ABD=2：3，
∴S△BDE= 33，
∴菱形BEDF的面积=12EF⋅BD=2S△BDE=2 33，
∴EF⋅BD=4 33.
【解析】(1)证明△OBF≌△ODE，得到OB=OD即可得出结论．
(2)由ED=2AE，AB⋅AD= 3，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF⋅BD的值．
本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】104 100
【解析】(1)①解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90∘，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=6，
∴AC2=AB2+BC2=52，
∴BD2=52，
∴AC2+BD2=104；
故答案为：104；
②解：设AC=2a，BD=2b，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=a，OB=OD=b，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵OA2+OB2=AB2，
∴OA2+OB2=25，
即a2+b2=25，
∵AC=2a，BD=2b，
∴AC2+BD2=4a2+4b2=4(a2+b2)=100，
故答案为：100；
(2)证明：过点A作AE⊥BC，垂足为点E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABC=∠DCF，
∵AB=CD，∠AEB=∠DFC=90∘，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴BE=CF，AE=DF，
在Rt△ACM和Rt△BDF中，
∵AC2=AE2+CE2，BD2=DF2+BF2，
∴AC2+BD2=AE2+CE2+DF2+BF2，
=AE2+CE2+DF2+(BC+CF)2，
=AE2+CE2+DF2+BC2+2BC⋅CF+CF2，
=AE2+CE2+DF2+(BE+CE)2+2BC⋅CF+CF2，
=AE2+CE2+DF2+BE2+2BE⋅CE+CE2+2BC⋅CF+CF2
=2AE2+2BE2+2CE2+2BE⋅CE+2BC⋅CF，
=2(AE2+BE2)+2BC⋅CE+2BC⋅BE，
=2AB2+2BC2，
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2)；
(3)解：延长AD，使得DE=AD，连接BE、CE，
∵AD是BC的中线，
∴BD=CD，
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
由(2)得AE2+BC2=2(AB2+AC2)，
∴(2AD)2+102=2(72+52)，
解得AD=2 3，或AD=−2 3(不合题意，舍去)，
∴AD=2 3.
(1)①由四边形ABCD是矩形，得AC=BD，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AC和BD，即可得到结果；
②设AC=2a，BD=2b，由四边形ABCD是菱形，得OA=OC=a，OB=OD=b，在Rt△AOB中，求出a2+b2=25，由AC=2a，BD=2b，即可求出结果；
(2)过点A作AE⊥BC，垂足为点E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，证明△ABE≌△DCF，得BE=CF，AE=DF，在Rt△ACM和Rt△BDF中，有AC2=AE2+CE2，BD2=DF2+BF2，得AC2+BD2=AE2+CE2+DF2+BF2，即可证明结论；
(3)延长AD，使得DE=AD，连接BE、CE，证明四边形ABEC是平行四边形，由(2)得AE2+BC2=2(AB2+AC2)，可得(2AD)2+102=2(72+52)，即可求出结果．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题．
25.【答案】3 6 真分式 1+5x+1 4
【解析】解：(1)由a+b2≥ ab，得：
x+9x≥2 x⋅9x=2× 9=6，
当且仅当x=9x时，即x=3时，式子有最小值，最小值为6.
故答案为：3，6；
(2)3x是真分式；
x+6x+1=(x+1)+5x+1=1+5x+1；
∵1+5x+1的值是整数，且x为整数，
∴x+1为5的因数，
∴x+1的值为1、−1、5、−5，
∴x的值为0、−2、4、−6.
故答案为：真分式；1+5x+1；4；
(3)设这个矩形的长为x m，宽为y m，由题意得：xy=100.
由a+b2≥ ab，得：
x+y≥2 xy=2× 100=20，
当且仅当x=y时，即x=10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m；
(4)设y=x2−2x+5x−1=x−1+4x−1，
由a+b2≥ ab，得：
y=x−1+4x−1≥2 (x−1)⋅4x−1=2× 4=4，
当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时，式子x2−2x+5x−1=最小值，最小值为4，
∴分式x−1x2−2x+5取到最大值，最大值为14.
(1)利用实例剖析中的方法解答即可；
(2)根据真分式的定义判断3x；对分式进行变形，再根据分式的值是整数即可求出整数x的值；
(3)设这个长方形的长为x m，宽为y m，利用实例剖析中的方法解答即可；
(3)取分式x−1x2−2x+5的倒数，将倒数适当整理，利用实例剖析中的方法解答．
本题主要考查了二次根式的应用，分式的加减法，式子的极值，本题是阅读型题目，理解并熟练应用实例剖析中的方法是解题的关键．