高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课时作业

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课时作业，共12页。试卷主要包含了【考点】直线的方向向量等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥 P−ABCD 中，底面边长为1．侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为（ ）
A．33B．63C．22D．12
2．长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=AA1=2 ， AD=1 ， E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 A1E 所成角的余弦值为（ ）.
A．31010B．−3030C．3030D．3010
3．将边长为1的正方形 AA1O1O （及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 2π3 ， A1B1 长为 π3 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧.则异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
4．已知 △ABC 与 △ACD 所在的平面互相垂直， AC=25 ， AB=AD=20 ， CB=CD=15 ，则直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为（ ）
A．724B．725C．2425D．1225
5．如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（ ）
A．65B．64C．63D．66
6．过点 (2,−1) 且方向向量为 (1,2) 的直线的方程为（ ）
A．2x−y+5=0B．2x+y−5=0C．2x−y−5=0D．2x+y+5=0
7．已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， ∠ABC=60° ， AB=BC=CC1=2 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）
A．−154B．−14C．14D．154
8．如图，在三棱锥 ABC−A1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， AB=4,AA1=6 ．若 E 是棱 BB1 上的点，且 BE=B1E ，则异面直线 A1E 与 AC1 所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．在三棱锥 P−ABC 中， AB=BC=2 ， AC=22 ， PB⊥ 面 ABC ， M ， N ， Q 分别为 AC ， PB ， AB 的中点， MN=3 ，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为（ ）
A．105B．155C．35D．45
10．如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， N 是棱 AD 的中点， M 是棱 CC1 上的点，且 CC1=3CM ，则直线 BM 与 B1N 所成的角的余弦值是（ ）
A．105B．2515C．1020D．1030
二、填空题
11．过不同两点 A(m2+2,m2−3) ， B(3−m−m2,2m) 的直线l的一个方向向量坐标为 (1,1) ，则实数m的值为 ．
12．直线 2x−y+1=0 的一个法向量为 .
13．在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是 AA1，BB1 的中点，则 CM 和 D1N 所成角的余弦值为 ．
14．如图，四棱锥 P−ABCD 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 ABCD 中心，E为 PC 中点，则直线 OE 与直线 PD 所成角的余弦值为 .
15．若直线 l 过点 A(1,0),B(2,3) ，则它的点法向式方程为 .
三、解答题
16．如图，已知四棱锥 P­ABCD 的底面为直角梯形， AB//DC ， ∠DAB=90° ， PA⊥ 底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=1 ， AB=2 ， M 是 PB 的中点．
（1）证明：平面 PAD⊥ 平面 PCD ；
（2）求 AC 与 PB 夹角的余弦值；
17．已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 棱长为1，O为 A1C1 中点，以D为原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz .
（1）求平面 ODC1 的法向量 n ，并证明 B1C// 平面 ODC1 ；
（2）求异面直线 B1C 与 OD 夹角的余弦值.
18．如图，已知长方形 ABCD 中， AB=22 ， AD=2 ， M 为 DC 的中点．将 ΔADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM ⊥平面 ABCM ．
（I）求证： AD⊥BM ；
（II）若点 E 是线段 DB 上的一动点，当二面角 E−AM−D 的余弦值为 22 时，求线段 DE 的长．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
参考答案与试题解析
选择题
1.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】如图所示，以正方形ABCD的中心为坐标原点，DA方向为x轴，
AB方向为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(12,−12,0) ， B(12,12,0) ， C(−12,12,0) ，
由几何关系可求得 OB=22 ， PB=2 ，
又PO=PB2−OB2=142 ， ∴P(0,0,142) ，
∵E 为 PC 中点， ∴E(−14,14,144) ,
则AP→=(−12,12,142) ， BE→=(−34,−14,144) ，
即cs⟨AP→,BE→⟩=38−18+1486=26=63
故答案为：B.
2.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以 D 为原点，以 DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，
由 AB=AA1=2 ， AD=1 ， E 为 CC1 的中点，
可得 A1(1,0,2),B(1,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,1) ，则 A1E=(−1,2,−1),BC1=(−1,0,2) ，
设异面直线 BC1 与 A1E 所成角为 θ ，
可得 csθ=|cs〈BC1,A1E〉|=|BC1,A1E||BC1|⋅|A1E|=|1−2|6⋅5=3030 .
故答案为：C.
3.【考点】空间向量运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】解：以O为坐标原点建系如图，则A(0,1,0)，A1(0，1，1)，B132，12,1，C32，−12,0
所以AA1→=(0,0,1),B1C→=(0,−1,−1)， %
所以cs=AA1→·B1C→AA1→·B1C→=0×0+0×−1+1×−11×02+−12+−12=−22
所以=3π4
所以异面直线B1C与AA1所成的角为 π4
故答案为：B.
4.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】因为 AC2=AD2+CD2=AB2+BC2 ，所以 △ABD 与 △ACD 为全等的直角三角形，
过点 B 作 BO⊥AC ，垂足为 O ，连接 DO ，所以 DO⊥AC ．
因为平面 ABC⊥ 平面 ACD ，所以 BO⊥ 平面 ACD ，故以 O 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 A(0,−16,0) ， B(0,0,12) ， C(0,9,0) ， D(12,0,0) ，
则 AD=(12,16,0) ， BC=(0,9,−12) ，
所以 cs〈AD,BC〉=16×9122+162⋅92+122=16×920×15=1225 ．
故答案为：D．
5.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，可知A1（1, 0, 2），B（0, 1, 0），A（1, 0, 0），C（0, 0, 0），
则 A1B ＝（－1,1，－2）， AC ＝（－1,0,0），cs〈 A1B ， AC 〉＝ AC⋅A1B|AC|⋅|A1B|
＝ 11+1+4 ＝ 66 .
故答案为：D.
6.【考点】直线的方向向量
【解答】因为所求直线的方向向量为 (1,2) ，
所以该直线的斜率为 k=2 ，
又该直线过点 (2,−1) ，
因此所求直线方程为 y−(−1)=2(x−2) ，即 2x−y−5=0 .
故答案为：C.
7.【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 以A为原点，
在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B1（ 3 ，1，2），B（ 3,1,0 ），C1（0，2，2），
AB1=(3,1,2) ， BC1=(−3,1,2)
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则csθ＝ |AB1⋅BC1||AB1|⋅|BC1|=28⋅8=14 ，
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 14 ．
故答案为：C．
8.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，
E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，
∴A1（4，0，6），E（2，2 3 ，3），A（4，0，0）， C1=(0,0,6)
A1E= （﹣2，2 3 ，﹣3）， AC1= （-4，0，6），
设异面直线 A1E 与 AC1 所成角所成角为θ，
则csθ =|A1E⋅AC1||A1E|⋅|AC1|=10202=1313 ．
∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为 1313 ．
故答案为：A．
9.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】∵ AB=BC=2,AC=22,
∴ AB⊥BC ，
以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴ B(0,0,0)，C(2,0,0),A(0,2,0),M(1，1，0),Q(0,1,0) ，
设 P(0，0，2x) ，则 N(0，0，x) ，
∵ MN=3 ，
∴ 1+1+x2=3 ，解得 x=1
∴ PQ=(0,1，−2),MN=(−1，−1,1)
∴ |csPQ，MN|=|PQ⋅MN||PQ|⋅|MN|=35×3=155 ，
∴异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为 155
故答案为：B
10.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以D为坐标原点，以 DA、DC、DD1 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。
设N( 32 ,0,0) B(3,3,0) M(0,3,1) B1 (3,3,3)
BM⇀=(−3,0,1) ， B1N⇀=(−32,−3,−3) .
cs=B1N⇀·BM⇀|B1N⇀||BM⇀|=1030
故答案为：D
二．填空题
11.【考点】直线的方向向量
【解答】由题知， BA=(2m2+m−1,m2−2m−3) ，设直线的方向向量为 a=(1,1) ，则 BA=λa ，
即 (2m2+m−1,m2−2m−3)=λ(1,1) ，得 2m2+m−1=m2−2m−3 ，解得 m=−1 或 −2 ，
当 m=−1 时， A(3,−2),B(3,−2) ，显然不满足题意，排除，当 m=−2 时， A(6,1),B(1,−4) ，符合题意.
故答案为：-2
12.【考点】直线的方向向量
【解答】直线 2x−y+1=0 的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为 −12 ，故直线 2x−y+1=0 的一个法向量为（2，-1）.
故答案为：（2，-1）.
13.【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以 D 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系
设正方体棱长为 2 ，则 C(0,2,0) ， M(2,0,1) ， D1(0,0,2) ， N(2,2,1)
∴CM=(2,−2,1) ， D1N=(2,2,−1)
∴|cs|=|CM⋅D1N|CM|⋅|D1N||=|4−4−1|3×3=19
即异面直线 CM 与 D1N 所成角的余弦值为 19
故答案为： 19
14.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】解： ∵ 四棱锥 P−ABCD 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 ABCD 中心， E 为 PC 中点，
∴AC⊥BD ， PO⊥ 平面 ABCD ，
∴ 以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 O(0,0,0) ， C(−2,0,0) ， P(0,0,2) ， E(−22,0,22) ， D(0,−2,0) ，
∴OE=(−22,0,22) ， PD=(0,−2,−2) ，
设直线 OE 与直线 PD 所成角为 θ ，
则 csθ=|OE·PD||OE|·|PD|=11×4=12 ，
∴ 直线 OE 与直线 PD 所成角的余弦值为 12 ．
故答案为： 12 ．
15.【考点】直线的方向向量
【解答】因为直线 l 过点 A(1,0),B(2,3) ，且 AB=(1,3) ，
所以直线 l 的一个法向量为 n=(−3,1) ，
所以该直线的点法向式方程为-3(x-1)+y=0.
故答案为：-3(x-1)+y=0.
三．解答题
16.【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系
【解答】1）证明：如图，以 A 为坐标原点， AD,AB,AP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12) ．
所以 AP=(0,0,1),DC=(0,1,0) ，
所以 AP⋅DC=0 ，所以 AP⊥DC ．
由题设知， AD⊥DC ，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，
由此得 DC⊥ 平面 PAD ．
又 DC⊂ 平面 PCD ，故平面 PAD⊥ 平面 PCD ．
（2）解：因为 AC=(1,1,0) ， PB=(0,2,−1) ，
故 |AC|=2 ， |PB|=5 ， AC⋅PB=2 ，
所以 cs〈AC,PB〉=AC⋅PB|AC||PB|=105 ．
即 AC 与 PB 夹角的余弦值为 105 ．
17.【考点】直线与平面平行的判定；空间向量运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】1）证明： O(12,12,1),C1(0,1,1) ，故 CO=(12,12,1),DC1=(0,1,1) ，
设平面 ODC1 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，
由 n⋅DO=0n⋅DC1=0 得 12x+12y+z=0y+z=0 ，
令 y=1 ，则 z=−1,x=1 ，所以 n=(1,1,−1) .
又 B1C=(−1,0,−1) ，从而 n⋅B1C=0 .
∵B1C⊄ 平面 ODC1 ，所以 B1C// 平面 ODC1 ；
（2）设 B1C ､ DO 分别为直线 B1C 与 OD 的方向向量．
则由 B1C=(−1,0,−1) ， DO=(12,12,1) ，得 cs〈B1C,DO〉=−1×12−12⋅32=−32 .
所以两异面直线 B1C 与 OD 的夹角 θ 的余弦值为 csθ=32 ．
18.【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】I）证明：∵长方形 ABCD 中， AB=4,AD=2 ，M 为 CD 的中点， AM=BM=22 ，故 AM⊥BM平面ADM⊥平面ABCM平面ADM平面ABCM=AMBM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM .（II）建立如图所示的 O−xyz 直角坐标系，则 A(1,0,0),B(−1,2,0),D(0,0,1),M(−1,0,0)平面 AMD 的一个法向量 n=(0,1,0) ，设 DE=λDBME=MD+λDB=(1−λ,2λ,1−λ)AM=(−2,0,0) ，设平面AME的一个法向量为 m=(x,y,z),{2x=02λy+(1−λ)z=0 取 y=1 ，得 x=0,y=1,z=2λ1−λ, 得 m=(0,1,2λ1−λ) ，而 n=(0,1,0)则 cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=11+(2λ1−λ)2=12 ，得 1+(2λ1−λ)2=2 ，解得 λ=13因为 |BD|=6 ，故 |DE|=63