2022-2023学年北京市丰台区高一下学期期中练习数学试题（B卷）含解析

2022-2023学年北京市丰台区高一下学期期中练习数学试题（B卷）

一、单选题

1．下列各角中，与60°角终边相同的角是（    ）

A．－300° B．－60° C．120° D．240°

【答案】A

【分析】根据题意得到与角终边相同的角为，结合选项，即可求解.

【详解】由题得角在第一象限，角在第四象限，角在第三象限，

120°角在第二象限，故B，C，D不正确.

根据终边相同角的表示，可得与角终边相同的角为，

当时，可得，即角与角终边相同.

故选：A.

2．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量的加减法求解.

【详解】向量，则

 则 .

故选：C.

3．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆O交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求出.

【详解】因为角的终边与单位圆O交于点，所以，，

根据任意角的三角函数的定义知，.

故选：B

4．已知向量，，且，则（    ）

A．1 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】由向量平行的坐标运算求解即可.

【详解】向量，，

，

故选：C.

5．若，则所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由的范围，求出的正负，从而可确定点所在象限．

【详解】∵，∴，

∴点在第二象限．

故选：B．

6．若为第二象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据求出，再利用倍角公式可得答案.

【详解】因为为第二象限角，且，所以；

所以.

故选：D.

7．在矩形中，，，为上的动点，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】把拆解，利用平面向量数量积运算进行求解.

【详解】因为是矩形，为上的动点，所以；

因为,所以.

故选：D.

8．已知函数（）的部分图像如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的图象求得，得到，结合，求得的值.

【详解】由函数的图象，可得，所以，

则，所以，

又由，可得，

所以，又因为，所以.

故选：A.

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．的最小正周期为

C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值

【答案】C

【分析】根据余弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由，所以函数为偶函数，所以A不正确；

由函数，可得函数的最小正周期为，所以B不正确；

又令，解得，

所以函数单调递增区间为，，

令，的其中一个单调递增区间为，所以C正确.

因为，所以当时，，故D不正确.

故选：C.

10．半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（    ）

A．s B．s C．s D．10 s

【答案】B

【分析】由题意求得周期，进而得到，由水轮的圆心距离水面m，可求出，，即可知，令，解得即可得出答案.

【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则，

由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m，

因为，可得，，

所以，

当水轮上点P从水中浮出时x= 0s开始计时，

令，解得，点P第一次到达最高点需要.

故选：B.

二、填空题

11．已知向量，，且与的夹角为45°，则=________.

【答案】1

【分析】利用向量数量积计算即可.

【详解】因为，所以，

且，与的夹角为45°，

所以，

故答案为：1.

12．已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________.

【答案】/

【分析】根据扇形弧长公式进行求解

【详解】若扇形的圆心角为，半径为，

则扇形弧长公式，代入，

得：.

故答案为：.

13．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】定义域满足 .

【详解】的定义域满足 ，即 .

故答案为：.

14．设函数 ．若对任意实数都成立，则的值可以为________.

【答案】（答案不唯一，符合即可）

【分析】利用已知条件转化为函数的最大值，然后列出关系式求解即可得出答案.

【详解】对任意实数都成立，则时，，

所以，则，解得，

因为，取，则.

故答案为：（答案不唯一，符合即可）

15．已知函数，给出下列结论：

①为的一个零点；

②为周期函数；

③在区间上单调递增；

④的最大值为．

其中所有正确结论的序号是_________.

【答案】①②④.

【分析】求出可判断①；由可判断②；求出，可判断③；将的解析式变形为，令，由二次函数的性质求出的最大值可判断④.

【详解】对于①，，故①正确；

对于②，，

所以为周期函数，故②正确；

对于③，，

，故③不正确；

对于④，，

令，，

当，，故④正确.

故选：①②④.

三、解答题

16．已知向量，.

(1)求的坐标；

(2)设的夹角为，求的值；

(3)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案；

（2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案;

（3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案.

【详解】（1）因为，，

所以

（2）

（3）因为，所以，

所以，

解得：.

17．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)求的值；

(2)求的面积.    

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选条件①，由余弦定理可求出，再由正弦定理即可得出答案；选条件②，由余弦定理结合同角三角函数的基本关系即可得出答案；

（2）选条件①或②，由三角形的面积公式直接求解即可；

【详解】（1）选条件①：

在中，因为，

所以. 因为， 所以. 所以.     

选条件②：

在中，因为，

所以

（2）选条件①：

因为，所以

选条件②：

因为，所以

.

18．已知，为第四象限角．

(1)求的值；

(2)设,求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，再根据求解即可；

（2）利用诱导公式化简得，则有，利用两角和的余弦公式求解即可.

【详解】（1）解：因为，为第四象限角，

所以，

所以.

（2）解：因为，

所以

19．在中，角所对的边分别为，向量，，且．

(1)求的大小；

(2)若，，求边上的高．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简即可得出答案；          

（2）由余弦定理求出，设边上的高为，由三角形的面积公式带入计算即可得出答案.

【详解】（1）因为，，且，所以.

由正弦定理得，因为，所以，

所以，所以.

因为，所以.

（2）在中，因为，                       

所以， 所以.

解得，或（舍），设边上的高为，

因为，

所以.

20．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求的单调递增区间；

(3)求在区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简即可得出，再由周期公式求解即可；

（2）解不等式即可得出答案；

（3）由，可得，结合正弦函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）因为

所以的最小正周期为.

（2）因为，，

所以，.

所以的单调递增区间为.

（3）因为，所以.

当，即时，取得最大值.

所以在区间上的最大值为.

21．已知函数（）．用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：

(1)求的解析式；

(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图像．若为偶函数，求的最小值；

(3)在中，角所对的边分别为，若，求周长的最大值．

【答案】(1)

(2)

(3)6

【分析】（1）利用三角函数的性质可得出函数的解析式；

（2）利用三角函数的平移变换原则可得，根据整体代入法可得，解方程即可求解.

（3）由余弦定理结合基本不等式即可得出答案.

【详解】（1）由题意得.

因为，所以.

因为，，所以.

所以.

（2）由题意得，

.因为为偶函数，所以，，.

因为，所以当时，的最小值为.

（3）由题意得.

在△中，因为，所以.

因为

，

所以 ， 所以，，即.

所以△周长的最大值为6.