2020-2021学年北京市景山学校远洋分校高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市景山学校远洋分校高一（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ＝（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知平面直角坐标系内一点P（2，﹣3），向量，向量，那么MN中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）若tanx≤0，则（ ）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
5．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．若||＝2||，则＝2或＝﹣2
B．若∥，∥，则∥
C．若m＝，m∈R，则m＝0或＝
D．若m＝m，其中m∈R，则＝
6．（4分）设函数（ω＞0）的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，函数f（x）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）＝sin（2x+）B．f（x）＝sin（4x+）
C．f（x）＝cs（2x+）D．f（x）＝cs（4x+）
8．（4分）已知||＝3，||＝2，|﹣2|＝5，则cs＜，＞＝（ ）
A．1B．C．0D．﹣1
9．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（4分）已知向量，，满足++＝，且||＞||＞||，则，，中最小的值是（ ）
A．B．C．D．无法确定
二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分）
11．（3分）cs（﹣）＝ ．
12．（3分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，那么＝ ；若，则x+y＝ ．
13．（3分）若函数f（x）（f（x）值不恒为常数）满足以下两个条件：
①f（x）为偶函数；
②对于任意的x∈R，都有．
则其解析式可以是f（x）＝ .（写出一个满足条件的解析式即可）
14．（3分）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象时，列表如下：
则f（﹣1）＝ ，＝ ．
15．（3分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②y＝10；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ．
三、解答题（共6个小题，共45分）
16．（6分）A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且．
（Ⅰ）求B点坐标；
（Ⅱ）求的值．
17．（7分）已知向量＝（1，2），向量＝（﹣3，2）．
（Ⅰ）求||和||；
（Ⅱ）当k为何值时，向量+k与向量﹣3平行？并说明它们是同向还是反向．
18．（8分）已知﹣π＜x＜0，且．
（Ⅰ）求sinx﹣csx的值；
（Ⅱ）求tanx的值．
19．（8分）将函数y＝sin2x向右平移个单位得到函数y＝f（x）．
（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式；
（Ⅱ）用“五点法”做出函数y＝f（x）在一个周期内的函数图像．
20．（8分）已知函数，且f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（Ⅰ）确定f（x）的解析式：
（Ⅱ）若f（x）图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，求a的取值范围．
条件①：f（x）的最小值为﹣2；
条件②：f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
条件③：f（x）的图象经过点（，﹣1）．
21．（8分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）＝f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．
（Ⅰ）下列函数，①y＝2x，②y＝lg2x，③y＝[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；
（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）＝g（x）﹣x为周期函数；
（Ⅲ）若φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，求k的值．
2020-2021学年北京市景山学校远洋分校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）
1．（4分）角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用任意角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵角α的终边落在射线y＝2x，（x≥0）上，
∴x＝1时，y＝2，r＝，
∴sinα＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查余弦函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．
2．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用诱导公式即可求解．
【解答】解：由题意，
可得sinβ＝sin（α+π）＝﹣sinα＝﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3．（4分）已知平面直角坐标系内一点P（2，﹣3），向量，向量，那么MN中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量的坐标运算求出点M，N的坐标，再利用中点坐标公式即可求出结果．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
由题意可知，，
解得，，
∴M（3，﹣1），N（0，﹣3），
∴MN中点坐标为（，﹣2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．
4．（4分）若tanx≤0，则（ ）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
【分析】根据已知条件，结合正切图象，即可求解．
【解答】解：由图象可知，当x∈（﹣，0]时，tanx≤0，
∵正切函数的图象周期为π，
∴当kπ﹣，（k∈Z），tanx≤0．
故选：C．
【点评】本题主要考查正切图象的应用，属于基础题．
5．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．若||＝2||，则＝2或＝﹣2
B．若∥，∥，则∥
C．若m＝，m∈R，则m＝0或＝
D．若m＝m，其中m∈R，则＝
【分析】由共线向量的性质逐一判断即可．
【解答】解：对于A，模相等，当方向不一定相同，故A错误；
对于B，若＝，则与不一定平行，故B错误；
对于C，若m＝，m∈R，则m＝0或＝，故C正确；
对于D，当m＝0时，则m＝m＝0，此时与不一定相等，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行向量的定义与性质，属于基础题．
6．（4分）设函数（ω＞0）的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用余弦函数的周期性求出ω，再利用它的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：∵函数的最小正周期为 ＝，∴ω＝10，
故f（x）＝cs（10x﹣），令10x﹣＝kπ，k∈Z，求得x＝+，
令k＝﹣1，可得它的一条对称轴方程为x＝﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题．
7．（4分）如图，函数f（x）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）＝sin（2x+）B．f（x）＝sin（4x+）
C．f（x）＝cs（2x+）D．f（x）＝cs（4x+）
【分析】根据周期先求出ω的值，排除B，D，然后在通过f（）＝1，进行排除即可．
【解答】解：函数的周期T＝2×（﹣）＝2×＝π，即＝π，则ω＝2，
排除B，D，
当x＝时，f（）＝1，
若f（x）＝sin（2x+），
则f（）＝sin（2×+）＝sin＝1，
若f（x）＝cs（2x+），
则f（）＝cs（2×+）＝cs＝0，不满足条件．排除C，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，结合条件利用排除法是解决本题的关键．
8．（4分）已知||＝3，||＝2，|﹣2|＝5，则cs＜，＞＝（ ）
A．1B．C．0D．﹣1
【分析】将|﹣2|＝5两边平面，由向量的运算性质可求得•，由向量夹角的运算即可求解cs＜，＞．
【解答】解：因为||＝3，||＝2，|﹣2|＝5，
所以（﹣2）²＝²﹣4•+4b²＝25，
即9﹣4•+16＝25，
解得•＝0，
所以cs＜，＞＝＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量夹角的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出函数f（x）是偶函数的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若f（x）＝Asin（ωx+φ）为偶函数，
则φ＝，
∴“f（x）是偶函数”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．
10．（4分）已知向量，，满足++＝，且||＞||＞||，则，，中最小的值是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【分析】根据题意，可利用坐标法给出三个特殊向量，然后分别计算，，，然后求解．
【解答】解：由向量，，满足++＝，且||＞||＞||，
则，，，
所以，，，
因为，所以，
整理得．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算和性质，以及学生的逻辑推理能力，属于中档题．
二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分）
11．（3分）cs（﹣）＝．
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．
【解答】解：cs（﹣）＝cs＝cs（6π）＝cs＝．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．
12．（3分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，那么＝ ﹣；若，则x+y＝ 4 ．
【分析】可画出图形，根据图形可得出∠BAF＝120°，AB＝AF＝1，从而求出的值；然后得出，进而可求出x+y的值．
【解答】解：如图，∠BAF＝120°，AB＝AF＝1，
∴，
又，
∴根据平面向量基本定理，x＝2，y＝2，
∴x+y＝4．
故答案为：．
【点评】本题考查了正六边形的特点，向量数量积的计算公式，平面向量基本定理，向量数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
13．（3分）若函数f（x）（f（x）值不恒为常数）满足以下两个条件：
①f（x）为偶函数；
②对于任意的x∈R，都有．
则其解析式可以是f（x）＝ cs3x（答案不唯一） .（写出一个满足条件的解析式即可）
【分析】由条件可得f（x）满足是偶函数且图象关于直线x＝对称，可考虑三角函数，可得结论．
【解答】解：对于任意的x∈R，都有，
可得f（x）的图象关于直线x＝对称，
考虑函数f（x）＝cs3x，
满足f（﹣x）＝cs3（﹣x）＝cs3x＝f（x），即f（x）为偶函数；
又f（）＝csπ＝﹣1，即f（x）的图象关于直线x＝对称．
故答案为：cs3x．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，以及函数的对称性和奇偶性，考查定义法的运用，属于基础题．
14．（3分）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象时，列表如下：
则f（﹣1）＝ ﹣2 ，＝ 0 ．
【分析】由“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象时，列表得：A＝2，且，解得ω＝，φ＝，从而f（x）＝2sin（），由此能求出结果．
【解答】解：由“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象时，列表得：
A＝2，且，解得ω＝，φ＝，
∴f（x）＝2sin（），
∴f（﹣1）＝2sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣2，
f（0）＝2sin＝1，
f（﹣）＝2sin[×+]＝﹣2sin＝﹣1，
∴＝1﹣1＝0．
故答案为：﹣2，0．
【点评】本题考查函数值的求法，考查三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（3分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②y＝10；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ②④ ．
【分析】根据题意得到，y的定义域为[0，100]，值域为[0，100]，y≥x对任意的x∈[0，100]成立且在[0，100]上单调递增，由此对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【解答】解：由联合调度要求可知，y的定义域为[0，100]，值域为[0，100]，
y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立且在[0，100]上单调递增．
①在[0，100]上不是单调函数，故选项①错误；
②在[0，100]上单调递增，值域为[0，100]，
又因为对任意的x∈[0，100]恒成立，
所以y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立，故选项②正确；
③对任意的x∈[0，100]不恒成立，比如，故选项③错误；
④在[0，100]上单调递增，值域为[0，100]，
令，则，
令f'（x）＝0，解得x＝x0，
则当x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
当x∈（x0，100）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
又f（0）＝0，f（100）＝0，
所以f（x）≥0在[0，100]上恒成立，
故y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立，故选项④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了利用导数研究函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三、解答题（共6个小题，共45分）
16．（6分）A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且．
（Ⅰ）求B点坐标；
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点B的坐标．
（Ⅱ）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：（Ⅰ）设B点坐标为（x，y），
则，
因为点B在第二象限，x＝csθ＝﹣＝﹣，
即B点坐标为：（﹣，）．
（Ⅱ）＝＝﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．
17．（7分）已知向量＝（1，2），向量＝（﹣3，2）．
（Ⅰ）求||和||；
（Ⅱ）当k为何值时，向量+k与向量﹣3平行？并说明它们是同向还是反向．
【分析】（Ⅰ）根据向量模的坐标运算公式计算即可；
（Ⅱ）由向量共线性质得到k的方程，解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）||＝＝，||＝＝；
（Ⅱ）＝（10，﹣4），
由向量与向量共线可得（1﹣3k）×（﹣4）﹣10（2+2k）＝0，解得k＝﹣3，
代入得，即两个向量同向．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量模的坐标计算，向量共线的性质，属于中档题．
18．（8分）已知﹣π＜x＜0，且．
（Ⅰ）求sinx﹣csx的值；
（Ⅱ）求tanx的值．
【分析】（Ⅰ）将已知等式两边平方利用同角三角函数基本关系式可求得2sinxcsx＝﹣，结合范围﹣π＜x＜0，可得sinx﹣csx＜0，进而可求sinx﹣csx的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，
两边平方得，
整理得2sinxcsx＝﹣．
∵（sinx﹣csx）2＝1﹣2sinxcsx＝，
由﹣π＜x＜0知，sin x＜0，
又sinxcsx＝﹣＜0，
∴csx＞0，
∴sinx﹣csx＜0，
故sinx﹣csx＝﹣．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
所以．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
19．（8分）将函数y＝sin2x向右平移个单位得到函数y＝f（x）．
（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式；
（Ⅱ）用“五点法”做出函数y＝f（x）在一个周期内的函数图像．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数的图象变换求解即可；
（Ⅱ）确定关键的“五点”的坐标，作出函数图象即可．
【解答】解：（Ⅰ）将函数y＝sin2x向右平移个单位得到函数y＝f（x）＝，
所以f（x）＝；
（Ⅱ）五点为：，
作出一个周期的图象如图所示．
【点评】本题考查了三角函数的图象变换的应用，三角函数图象的作法，解题的关键是确定关键的“五点”，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
20．（8分）已知函数，且f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（Ⅰ）确定f（x）的解析式：
（Ⅱ）若f（x）图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，求a的取值范围．
条件①：f（x）的最小值为﹣2；
条件②：f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
条件③：f（x）的图象经过点（，﹣1）．
【分析】（Ⅰ）先根据已知求出f（x）的最小正周期，即可求解ω，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和φ的值，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质可得关于a的不等式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以f（x）的最小正周期，．
此时f（x）＝Asin（2x+φ）．
选条件①②：
因为f（x）的最小值为﹣A，所以A＝2．
因为f（x）图象的一个对称中心为，
所以，
所以，
因为，所以，此时k＝1，
所以．
选条件①③：
因为f（x）的最小值为﹣A，所以A＝2．
因为函数f（x）的图象过点，
则，即，．
因为，所以，
所以，，
所以．
选条件②③：
因为函数f（x）的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，此时k＝1．
所以．
因为函数f（x）的图象过点，
所以，即，，
所以A＝2，
所以．
（Ⅱ）因为x∈[0，a]，所以，
因为f（x）图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，
所以，
得，
所以a的取值范围为．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（8分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）＝f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．
（Ⅰ）下列函数，①y＝2x，②y＝lg2x，③y＝[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是 ③ （直接填写序号）；
（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）＝g（x）﹣x为周期函数；
（Ⅲ）若φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，求k的值．
【分析】（Ⅰ）根据新定义判断即可，
（Ⅱ）根据新定义证明即可，
（Ⅲ）φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）＝sinx+kx+T．即可得到2kT＝2T，解得验证即可．
【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）＝2x+T＝2x2T＝f（x）2T，故不是线周期函数
对于②f（x+T）＝lg2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数
对于③f（x+T）＝[x+T]＝[x]+T＝f（x）+T，故是线周期函数
故答案为：③
（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，
∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）＝g（x）+T恒成立．
∵G（x）＝g（x）﹣x，
∴G（x+T）＝g（x+T）﹣（x+T）＝g（x）+T﹣（x+T）＝g（x）﹣x＝G（x）．
∴G（x）＝g（x）﹣x为周期函数．
（Ⅲ）∵φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，
∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）＝sinx+kx+T．
∴sin（x+T）+kT＝sinx+T．
令x＝0，得sinT+kT＝T；
令x＝π，得﹣sinT+kT＝T；
①②两式相加，得2kT＝2T．
∵T≠0，
∴k＝1
检验：
当k＝1时，φ（x）＝sinx+x．
存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）＝sin（x+2π）+x+2π＝sinx+x+2π＝φ（x）+2π，
∴φ（x）＝sinx+x为线周期函数．
综上，k＝1．
【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．
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2
ωx+φ
0
π
2π
f（x）
0
2
0
﹣2
0
x
2
ωx+φ
0
π
2π
f（x）
0
2
0
﹣2
0