2022-2023学年北京市丰台区高一上学期期中数学模拟练习试题（B卷）（解析版）

2022-2023学年北京市丰台区高一上学期期中数学模拟练习试题（B卷）

一、单选题

1．设，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出，再利用元素和集合之间的关系判断选项得解.

【详解】因为，，

所以，故选项B错误；

由于元素和集合之间不能用“”连接，所以选项D错误；

由于集合和集合之间不能用“”连接，所以选项A错误；

由于，故选项C正确.

故选：C

2．设a>0，则下列等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.

【详解】 , ,故B，C错误，D正确，

由于 ，所以 ，故A 错误，

故选：D

3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．

【详解】函数的定义域为，值域为，

可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域；C图象满足题目要求；D图象，根据函数定义可知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以不是函数的图象；

故选：C．

4．对于任意实数，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】通过举反例可以得出A、B、D错误，由不等式的性质可得C正确．

【详解】当时，，故A错误；

当时，，故B错误；

若，必有，则，故C正确；

当时，，故D错误．

故选：C．

5．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．

【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；

对于B，，定义域不同，故不为同一函数；

对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：

对于D，，定义域不同，故不为同函数．

故选：C．

6．“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先解出前者范围为或，根据集合间的包含关系即可得到答案.

【详解】由可得或,

因为或,

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

7．不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．

【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.

则有，变形可得，

故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.

对照四个选项，只有C符合.

故选：C．

8．设函数 ，若，则实数（    ）

A．2 B． C．或2 D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式，分段求解方程，可得a的值，即得答案.

【详解】由于，

故当时，，则，

当时，令，则，

故实数或，

故选：C

9．已知在处取得最小值则（    ）

A．10 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【分析】利用基本不等式求解即可

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号，

所以，故

故选：A

10．定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集.

【详解】定义在上的奇函数满足，可得，

当时，，当时，，可得时，；时，，

则等价为或，解得或，即所求解集为.

故选：C.

二、填空题

11．已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______

【答案】

【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.

【详解】若函数在上递减，则.

当时，函数为偶函数，合乎题意；

当时，函数为奇函数，不合乎题意.

综上所述，.

故答案为：.

12．已知集合，，若，则实数的值为________

【答案】或

【分析】由题可得或，并验证是否成立即得.

【详解】集合，，，

则或，解得或，

当时，，则，合乎题意；

当时，，则，合乎题意；

当时，，则，合乎题意.

综上所述，或.

故答案为：或.

13．已知定义在上的函数满足：①；②在区间上单调递减；③的图象关于直线对称，则的解析式可以是________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】取，结合二次函数的基本性质逐项验证可得结论.

【详解】取，则，满足①，

在区间上单调递减，满足②，

的图象关于直线对称，满足③.

故答案为：（答案不唯一）.

14．已知，则______．

【答案】3

【分析】根据指数幂的运算即可求解.

【详解】由，可得，，

．

故答案为：3

15．若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”：若某函数是 “类奇函数”，则下列说法中，正确的有______

①若在定义域中，则

②若，则

③若在上单调递增，则在上单调递减

④若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”

【答案】①②④

【分析】根据“类奇函数”的概念分别判断即可.

【详解】对于①，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故①正确；

对于②，由，即，随的增大而减小，若，则成立，故②正确；

对于③，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故③错误；

对于④，由，，所以，所以函数也是“类奇函数”， 所以④正确；

故答案为：①②④.

三、解答题

16．已知全集为实数集，集合，．

(1)求，

(2)求，

(3)求．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）首先根号下大于等于0，得到集合，再解不等式得到，根据并集的概念得到即可；

（2）根据交集的概念写出即可；

（3）首先根据补集的概念得到，再利用并集的概念写出即可.

【详解】（1）(1)由得

由得

（2）由（1）得

（3）

17．已知关于的不等式，其中为参数.

(1)从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集；

条件①：；条件②：；条件③：.

(2)若不等式的解集为，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）若选条件①：，不等式为，即，求解即可；

若选条件②：，不等式为即，由根的判断式可判断其无解；

若选条件③：，不等式为，求解即可.

（2）分和两种情况讨论可求解答案.

【详解】（1）解：若选条件①：时，不等式为，即，解得，

所以不等式的解集为；

若选条件②：，不等式为，即，其中，所以不等式无解；

若选条件③：，不等式为，解得或，

所以不等式的解集为.

（2）解：当时，不等式为，满足不等式的解集为，故；

当时，要使不等式的解集为，则，解得，

综上得的取值范围为.

18．已知关于 的不等式，其中.

(1)若该不等式的解集为 ，求的值;

(2)解原不等式.

【答案】(1)1；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据不等式的解可知对应方程的根，利用根与系数的关系求解；

（2）分解因式后，分类讨论求解一元二次不等式即可.

【详解】（1）原不等式的解集为 ，所以 1 和 2 是方程的两实根，

所以，解得 .

（2）由原不等式可得，

当时，即时，解得，原不等式的解集为;

当时，即时，原不等式为，解得，原不等式的解集为;

当时，即时，解得，原不等式的解集为

综上，时，；时，；时，.

19．已知函数.

(1)证明函数为奇函数；

(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；

(3)若，求函数的最大值和最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)单调递增，理由见解析

(3)，

【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；

（2）利用函数单调性的定义证明并判断；

（3）结合（1）（2）得函数在上单调递增，进而根据单调性求最值.

【详解】（1）证明：函数的定义域为，关于原点对称，

所以，为奇函数

（2）解： 在上单调递增，理由如下：

在上任取，

则

因为，所以，

故

所以，所以在上单调递增.

（3）解：由（1）（2）得在上单调递增.

所以，

20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）

(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)百辆，最大利润为万

【分析】（1）根据题意分情况列式即可；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值.

【详解】（1）由题意得当时，，

当时，，

所以,

（2）由（1）得当时，，

当时，，

当时，

，当且仅当，即时等号成立，

，时，，，

时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.

21．已知函数．

(1)求的值；

(2)若，求a的取值范围；

(3)画出函数的图象，若方程有三个解，求b的取值范围（直接写出答案）

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由解析式先求，再求的值；（2）分、两种情况解不等式，综合可得出实数的取值范围；（3）作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可得，则.

（2）当时，由，得，解得，此时；

当时，由，可得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

（3）作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，

因此，实数的取值范围是.