2024届山西省平遥县第二中学校高三冲刺调研押题卷数学（三）（原卷版+解析版）

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（120分钟 150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数是方程的根，则（ ）
A. B. 4C. D.
3. 若二项式的展开式中所有的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A 15B. 60C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法错误的是（ ）
A. 丙与丁是互斥事件B. 甲与丙是互斥事件
C. 甲与丁相互独立D. （乙丙）（乙）+（丙）
6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
7. 已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（ ）
A. 0B. 4C. 2023D. 2024
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 学校“校园歌手”唱歌比赛，现场8位评委对选手A的评分分别为15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委评分中的最高分和最低分，则（ ）
A. 剩下6个样本数据与原样本数据的平均数不变
B. 剩下的6个样本数据与原样本数据的极差不变
C. 剩下的6个样本数据与原样本数据的中位数不变
D. 剩下的6个样本数据的35%分位数大于原样本数据的35%分位数
10. 已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A. B. 点的坐标为
C. 的方程可以是D. 的方程可以是
11. 已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 设到直线的距离分别为，则
D. 若直线的斜率分别为，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为______.
13. △ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = _____；的最小值为 ______.
14. 随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）设的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.
16. 如图1，在等边三角形中，，点分别是的中点.如图2，以为折痕将折起，使点A到达点的位置（平面），连接.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 比亚迪，这个中国品牌的乘用车，如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地.这一成就是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国.现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据.
（1）通过调查研究发现，其他新能源汽车崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了该款汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量y（单位：万辆）和月份编号x的成对样本数据统计.
请用样本相关系数说明y与x之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出y关于x的经验回归方程；若不能，请说明理由.（运算过程及结果均精确到0.01，若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）
（2）为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.
①从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立；
②活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的期望（精确到元）.
参考公式：样本相关系数，
，.
参考数据：，.
18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，为直线上的一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点.是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19. 若定义在上的函数满足对任意实数恒成立，则我们称为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；
（2）在（1）的条件下，定义，求的值；
（3）若为“类余弦型”函数，且对任意非零实数，总有，求证：函数为偶函数.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.
月份
2022年8月
2022年9月
2022年12月
2023年1月
2023年2月
2023年3月
2023年4月
2023年6月
2023年7月
2023年8月
月份编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月销量（单位：万辆）
4.25
4.59
4.99
3.56
3.72
3.01
2.46
2.72
3.02
3.28
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
20
10
米色内饰
15
5