2024年新高考数学押题密卷（三）（原卷及解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足（为虚数单位），在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是( )
A．B．
C．D．
7．已知函数，关于的命题：①的最小正周期为；②图像的相邻两条对称轴之间的距离为；③图像的对称轴方程为；④图像的对称中心的坐标为；⑤取最大值时. 则其中正确命题是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③⑤D．①④⑤
8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（ ）
A．4036B．4040C．4044D．4048
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
10．，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是（ ）
A．若，为相互独立事件且，则
B．若，则
C．
D．若，，则
11．已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹为菱形及其内部
B．当时，点的轨迹长度为
C．最小值为
D．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有 种.
13．已知数列的通项公式为，前项和为，则满足不等式的取值的集合为 .
14．在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在中，角所对的边成等比数列，角是与的等差中项.
(1)若，求的面积；
(2)求的值.
16．（15分）
如图，在四棱锥中，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．（15分）
设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.
18．（17分）
已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.
(1)求的方程：
(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：
(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.
19．（17分）
“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．
(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．