2023-2024学年江苏省南京一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.4的平方根是( )
A. 2B. −2C. 4D. ±2
2.下列式子中，正确的是( )
A. 5−|−5|=10B. (−1)99=−99
C. −102=(−10)×(−10)D. −(−2)2=−4
3.如图，AB/​/CD/​/EF，AF/​/CG，则图中与∠A(不包括∠A)相等的角有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.已知点(−3,y1)、(−1,y2)、(1,y3)在下列某一函数图象上，且y3A. y=3xB. y=3x2C. y=3xD. y=−3x
5.一元二次方程−14x2+2x+12=−53x+15根的情况是( )
A. 有一个正根，一个负根B. 有两个正根，且有一根大于9小于12
C. 有两个正根，且都小于12D. 有两个正根，且有一根大于12
6.如图，在四边形材料ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )
A. 11013cm
B. 8cm
C. 6 2cm
D. 10cm
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.去年大连市接待入境旅游者约876000人，这个数可用科学记数法表示为______．
8.若 xx−3有意义，则x的取值范围是 ．
9.分解因式：2a3−8a2b+8ab2=______．
10.设x1，x2是方程x2−2x−1=0的两个根，则x1(1+x2)+x2= ．
11.一件产品原来每件的成本是100元，由于连接两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降价成本的百分率是______．
12.已知反比例函数y=kx的图象经过点(1,3)、(m,n)，则mn的值为 ．
13.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是______．
14.如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF=30°，则n=______．
15.如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.已知A(2,0)，B(−6,0)，C(0,3)，则点D的坐标为______．
16.函数y=12x2+1x的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x的取值范围是x≠0；②该函数有最小值32；③方程12x2+1x=3有三个根；④如果(x1,y1)和(x2,y2)是该函数图象上的两个点，当x1三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+4)(x−4)+(x−3)2，其中x2−3x+1=0．
18.(本小题8分)
解不等式组2−x>05x+12+1≥x，并写出不等式组的整数解．
19.(本小题8分)
如图，D是△ABC的边AB的中点，DE/​/BC，CE/​/AB，AC与DE相交于点F.求证：△ADF≌△CEF．
20.(本小题8分)
一辆汽车开往距离出发地270km的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶90km，90km后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度．
21.(本小题8分)
为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下(特定微生物、温度、湿度)较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A(不使用)、B(1～3个)、C(4～6个)、D(7个及以上)，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
(1)本次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
(2)已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．
(1)甲的座位靠窗的概率是______；
(2)求甲、乙两人座位相邻(座位C、D不算相邻)的概率．
23.(本小题8分)
图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB=6cm，BC=4cm，∠ABC=85°，∠BCD=120°.求点A到CD的距离．(精确到三位小数，参考数据：sin65°≈0.905，cs65°≈0.423，tan65°≈2.144， 3≈1.732)
24.(本小题8分)
如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，AB=250km，BC=60km，一辆汽车8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12.00准时到达C站．设汽年出发x小时后离A站y km，图2中折线DEFG表示按到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时；
(2)求线段FG所表示的y与x之间的函数关系式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由．
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
(1)求证：AD与⊙O相切；
(2)若DN=1，AD=4，求⊙O的半径r．
26.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−2(p+1)x+q的图象经过(1,0)、(0,−5)两点．
(1)求p、q的值；
(2)点A(x1,y1)、B(x2,y2)是该函数图象上两点，若x1+x2=2，求证y1+y2>0．
27.(本小题8分)
【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆．
【初步思考】
若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为______．
如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆(保留作图痕迹，不写作法)．
【深入研究】
如图③，∠AOB=30°，点C在射线OB上，OC=6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根为±2，
故选：D．
根据平方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根的定义，解题的关键是找出一个数平方后等于4，从而求出4的平方根，本题属于基础题型．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=5−5=0，错误；
B、原式=−1，错误；
C、原式=−10×10，错误；
D、原式=−4，正确．
故选D．
原式各项计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了有理数的乘方，以及有理数的减法，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/CD，∴∠A=∠ADC；
∵AB/​/EF，∴∠A=∠AFE；
∵AF//CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；
∵CD/​/EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；
所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，
故选：D．
由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD．
本题考查了平行线的性质，找到相等关系的角是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断y的大小，根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．
【解答】
解：A.y=3x，因为3>0，所以y随x的增大而增大，所以y1B.y=3x2，当x=1和x=−1时，y相等，即y3=y2，故不符合题意；
C.y=3x，当x<0时，y随x的增大而减小，x>0时，y随x的增大而减小，所以y2D.y=−3x，当x<0时，y随x的增大而增大，x>0时，y随x的增大而增大，所以y3故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：
由题意函数y=−14x2+2x+12，与y交与点(0,12)与x轴交与(−4,0)(12,0)
函数y=−53x+15，与y交与点(0,15)与x轴交与(9,0)
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12
故选：D．
画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．
6.【答案】B
【解析】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时时，⊙O的面积最大．
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AD/​/CB，∠BAD=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠DHB=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=20cm，AD=BH=9cm，
∵BC=24cm，
∴CH=BC−BH=24−9=15(cm)，
∴CD= DH2+CH2= 202+152=25(cm)，
设OE=OF=OG=r cm，
则有12×(9+24)×20=12×20×r+12×24×r+12×25×r+12×9×(20−r)，
∴r=8，
故选：B．
如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.利用面积法构建方程求解．
本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题．
7.【答案】8.76×105
【解析】解：将876000用科学记数法表示为8.76×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】x≥0且x≠3
【解析】解：由题意得，x≥0且x−3≠0，
解得x≥0且x≠3．
故答案为：x≥0且x≠3．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的是二次根式以及分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
9.【答案】2a(a−2b)2
【解析】解：原式=2a(a2−4ab+4b2)
=2a(a−2b)2．
故答案为：2a(a−2b)2．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=−1，然后利用整体代入的方法计算x1(1+x2)+x2的值．
【解答】
解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=−1，
所以x1(1+x2)+x2=x1+x2+x1x2=2+(−1)=1．
故答案为：1．
11.【答案】10%
【解析】解：设该产品成本平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：100(1−x)2=81，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．
故答案为：10%．
设该产品成本平均每次降价的百分率为x，根据该产品的原来成本价及经过两次降低成本后的成本价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．
先将(1,3)代入y=kx，求得k，则mn=k，即可得出答案．
【解答】
解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(1,3)，
∴k=1×3=3，
∴mn=3，
故答案为：3．
13.【答案】左视图
【解析】【分析】
本题考查的是三视图的知识以及学生对该知识点的巩固，难度属简单．解题关键是找到三种视图的正方形的个数．
如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解．
【解答】
解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，
左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图．
故答案为：左视图．
14.【答案】18
【解析】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为：360°n，
则∠ECF=360°n×12，∠AEC=360°n，
∵∠EGF=30°，
∴∠ECF+∠AEC=30°，
∴360°n×12+360°n=30°，
解得：n=18，
故答案为：18．
连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．
15.【答案】(0,−4)
【解析】解：设圆心为P，作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，连接PB、PC，如图
∴EA=EB，FC=FD，
∵A点坐标为(2,0)，B点坐标为(−6,0)，
∴E点坐标为(−2,0)，
设P点坐标为(−2,t)，C点坐标为(0,3)，
在Rt△PBE中，PB2=PE2+BE2=t2+42，
在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2=22+(3−t)2，
∵PB=PC，
∴t2+42=22+(3−t)2，解得t=−12，
∴F点坐标为(0,−12)，
∴FD=FC=3+12=72，
∴OD=12+72=4，
∴D点坐标为(0,−4)．
故答案为(0,−4)．
设圆心为P，作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，连接PB、PC，根据垂径定理得EA=EB，FC=FD，利用A(2,0)，B(−6,0)易得E点坐标为(−2,0)，
设P点坐标为(−2,t)，C点坐标为(0,3)，利用勾股定理有PB2=PE2+BE2=t2+42，PC2=PF2+CF2=22+(3−t)2，利用半径相等得到t2+42=22+(3−t)2，解得t=−12，
则F点坐标为(0,−12)，然后根据F点为C、D的中点即可得到D点坐标．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平方弦，并且平分弦所对的弧．也考查了坐标与图形的性质以及勾股定理．
16.【答案】①③
【解析】解：如图：
①函数y=12x2+1x中，分母不能为0，所以函数自变量x的取值范围是x≠0，故①符合题意．
②如图所示，函数没有最大值，没有最小值，故②不符合题意．
③如图所示，函数y=12x2+1x的图象与直线y=3有3个交点，所以方程12x2+1x=3有三个根，故③符合题意．
④如图所示，当x<0时，y随x的增大而减小，故④不符合题意．
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
根据函数解析式，结合函数图象进行判断．
本题考查了根据函数图象和性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
17.【答案】解：原式=x2−16+x2−6x+9
=2x2−6x−7，
∵x2−3x+1=0，
∴x2−3x=−1，
∴2x2−6x=−2，
∴原式=−2−7=−9．
【解析】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，再将已知条件变形后整体代入即可．
18.【答案】解：由2−x>0得：x<2，
由5x+12+1≥x得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<2，
所以不等式组的整数解为−1、0、1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】【分析】
依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD=CE，依据CE/​/AD，即可得出∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
【证明】
∵DE/​/BC，CE/​/AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD=CE，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=EC，
∵CE/​/AD，
∴∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，
∴△ADF≌△CEF(ASA)．
【解析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD=CE，依据CE//AB，即可得出∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
20.【答案】解：设汽车原计划的行驶速度是x km/h，则提速后的速度为1.5x km/h，
根据题意得：270−90x−270−901.5x=4060，
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意．
答：汽车原计划的行驶速度为90km/h．
【解析】设汽车原计划的行驶速度是x km/h，则提速后的速度为1.5x km/h，利用时间=路程÷速度，结合实际比原计划提前40分钟到达目的地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)100；
C类户数为100×25%=25(户)，B类户数为100−20−25−15=40(户)，
补全条形统计图为：
(2)调查小组的估计合理．
理由如下：
因为1500×15100=225(户)，
所以根据该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．
【解析】【分析】
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
(1)用A类户数除以它所占的百分比得到样本容量：20÷20%=100，所以本次调查的样本容量为100；C类户数为100×25%=25(户)，B类户数为100−20−25−15=40(户)，然后补全条形统计图；
(2)利用样本估计作图，由于1500×15100=225(户)，则可估计该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户，从而可判断调查小组的估计合理．
【解答】
解：
(1)本次调查的样本容量是：20÷20％=100，
所以本次调查的样本容量为100；
条形统计图见答案；
故答案为：100．
(2)见答案．
22.【答案】解：(1)25；
(2)根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，
∴甲、乙两人座位相邻的概率为620=310．
【解析】【分析】
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)甲的座位靠窗的概率是25，
故答案为：25；
(2)见答案．
23.【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，过点A作AG⊥BF，交FB于点G，则AE=FG，∠BFC=∠AGB=90°，
∵∠BCD=120°．
∴∠BCF=180°−∠BCD=60°，
∴∠FBC=90°−∠BCF=30°，
在Rt△BCF中，BC=4cm，
∴BF=BC⋅sin60°=4× 32=2 3(cm)，
∵∠ABC=85°，
∴∠ABG=180°−∠ABC−∠FBC=65°，
在Rt△ABG中，AB=6cm，
∴BG=AB⋅cs65°≈6×0.423=2.538(cm)，
∴AE=FG=BG+BF=2.538+2 3≈6.002(cm)，
∴点A到CD的距离约为6.002cm．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，过点A作AG⊥BF，交FB于点G，根据题意可得AE=FG，∠BFC=∠AGB=90°，先利用平角定义求出∠BCF的度数，从而求出∠FBC的度数，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数定义求出BF的长，再利用平角定义求出∠ABG的度数，最后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
24.【答案】80
【解析】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：90−10=80(千米/小时)；
故答案为：80；
(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为：(250−90)÷80=2(小时)，
1.5+2=3.5(小时)，
∴点G的坐标为(3.5,250)，
设线段FG所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，则：
1.5k+b=903.5k+b=250，解得k=80b=−30，
∴线段FG所表示的y与x之间的函数关系式为：y=80x−30(1.5≤x≤3.5)；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：(250−10+60)÷80+(1.5−1)=4.25(小时)，
12：00−8：00=4(小时)，
4.25>4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
(2)根据题意求出点G的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
(3)求出到达C地所行驶的时间即可解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25.【答案】(1)证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD//BC，∠A=∠D=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE．
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴EB=EC，
∵OB=OC，
∴EF垂直平分BC，即∠EFC=90°，
∴∠DEF+∠EFC=180°，
∴∠DEF=180°−∠EFC=180°−90°=90°，
即EF⊥AD．
∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
(2)解：过点O作OP⊥CD，垂足为P，连接OC、ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°．
∵AD切⊙O于点E，
∴∠OED=90°．
∵∠OPD=90°，
∴四边形OEDP是矩形，
∴OP=ED，DP=OE=r，
∵E是AD的中点，
∴OP=ED=12AD=2．
在Rt△OPN中，由勾股定理得：OP2+NP2=ON2，
即22+(r−1)2=r2．
∴解得r=2.5，
故⊙O的半径r为2.5．
【解析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
(1)连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，根据矩形的性质得到，AD//BC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到EB=EC，求得∠EFC=90°，得到EF⊥AD.根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)过点O作OP⊥CD，垂足为P，连接OC、ON，先证明四边形OEDP是矩形．求得OF=ED，DF=OE=r，得到OF=ED=12AD=2.在Rt△OPN中，根据勾股定理即可得到结论．
26.【答案】解：(1)将(1,0)、(0,−5)代入y=x2−2(p+1)x+q得，
0=1−2(p+1)+q−5=q，解得p=−3q=−5．
(2)由(1)得y=x2+4x−5，
∵点A(x1,y1)、B(x2,y2)是该函数图象上两点，
∴y1=x12+4x1−5，y2=x22+4x2−5，
∴y1+y2=x12+x22+4(x1+x2)−10，
∵x1+x2=2，
∴x2=2−x1，y1+y2=x12+x22−2，
∴y1+y2=x12+(2−x1)2−2=2x12−4x1+2=2(x1−1)2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2=2(x1−1)2>0．
【解析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，偶次方的非负性，待定系数法求函数解析式．
(1)将(1,0)、(0,−5)代入函数解析式求解．
(2)由抛物线解析式及x1+x2=2，可得y1+y2=2(x1−1)2>0．
27.【答案】解：(1) 34．
(2)如图，半圆O即为所求．
(3)当 r=1 时，OQ 取得最小值．
如图③中，半圆P与OQ、QC 分别相切于点 M、N，连接 PQ．
设 QM=x，则 QN=QM=x．
在 Rt△OPM 中，∵∠OMP=90°，∠AOB=30°，PM=1，
∴OP═2PM=2，OM= 3PM= 3，
在 Rt△PCN 中，∠PNC=90°，PN=1，PC=4，
∴CN= PC2−PN2= 15，
∴OQ=OM+MQ= 3+x，CQ=CN+NQ= 15+x．
∵S△OPQ：S△CPQ=OP：PC=1：2，且 PM=PN，
∴OQ：QC=1：2．
∴QC=2OQ．
∴ 15+x=2( 3+x)，解 得 x= 15−2 3．
∴OQ= 15− 3．
当 r=2 时，半圆P经过点 C．
如图②，过点 C 作 OB 的垂线交 OA 于点 D．
由(2)知，当 Q 在射线 DA 上时，
∵OD=2CD=4 3，
∴OQ≥4 3，均符合题意．
综上所述，当 1≤r≤2 时，OQ≥ 15− 3．
【解析】【分析】
本题考查作图−复杂作图，等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
(1)如图1中，设边BC关联的极限内半圆与AC相切于点T，连接OT，AO，求出OT即可．
(2)过C作CT⊥BC交AB于T，作∠BTC的角平分线交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作半圆O即可．
(3)当 r=1 时，OQ 取得最小值．如图③中，半圆P与OQ、QC 分别相切于点 M、N，连接 PQ. 设 QM=x，则 QN=QM=x.构建方程求出OQ.当 r=2 时，半圆P经过点 C.如图③−1中，过点 C 作 OB 的垂线交 OA 于点 D.利用(2)中结论求解即可．
【解答】
解：(1)如图，设边BC关联的极限内半圆与AC相切于点T，连接OT，AO．
∵OB=OC=12，∠C=60°，∠OTC=90°，
∴CT=14，
∴OT= 34，
故答案为 34．
(2)(3)见答案．