2024年山东省济南市莱芜区初中学业水平考试模拟冲刺卷(二)九年级数学模拟预测题（原卷版+解析版）

这是一份2024年山东省济南市莱芜区初中学业水平考试模拟冲刺卷(二)九年级数学模拟预测题（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省济南市莱芜区初中学业水平考试模拟冲刺卷二九年级数学模拟预测题原卷版docx、2024年山东省济南市莱芜区初中学业水平考试模拟冲刺卷二九年级数学模拟预测题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 相等的两个角是对顶角
B. 相等的圆周角所对的弧相等
C. 若，则
D. 在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．
【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A选项错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；
若，则，故C选项错误，不符合题意；
在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转后，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据该几何体它在水平面内顺时针旋转后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，由此即可解答．
【详解】把该几何体它在水平面内顺时针旋转后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，
∵该几何体的从右面看到的图形为，
∴该几何体它在水平面内顺时针旋转后，旋转后几何体的主视图为 ．
故选C．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知把该几何体它在水平面内顺时针旋转后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样是解决问题的关键．
3. 使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A. x≥4B. x＞4C. x≤4D. x＜4
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则计算即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
5. 如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
A. 114°B. 142°C. 147°D. 156°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. (a－1)2＝a2－1B. 4a·2a＝8a2
C. 2a－a＝2D. a8÷a2＝a4
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案．
【详解】A．，此选项错误，不符合题意；
B．，此选项正确，符合题意；
C．，此选项错误，不符合题意；
D．，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘除法、合并同类项，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
7. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫并积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A. 有症状早就医B. 防控疫情我们在一起C. 打喷嚏捂口鼻D. 勤洗手勤通风
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此作答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
8. 如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A. 每月阅读数量的中位数是58B. 每月阅读数量的众数是42
C. 每月阅读数量的平均数是50D. 每月阅读数量的极差是65
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数的定义，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断C；根据极差的定义，可判断D．
【详解】解：A．将8个数据由小到大排列为：28，36，42，58，58，70，75，83，中位数是，故本选项说法正确，符合题意；
B．出现次数最多的是58，众数是58，故本选项说法错误，不符合题意；
C．该班学生去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是故本选项说法错误，不符合题意；
D．每月阅读数量的极差是故本选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．也考查了极差、平均数、众数与中位数．
9. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交于点P、Q，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，
∴，
∴，
由作图方法可知垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的尺规作图，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到．
10. 已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围．
【详解】抛物线的解析式为，
时，，
将代入得，
，
将代入和中得，，
，
解得，（舍，
当直线与抛物线相切时，
，则，
，
则，
解得，
的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解x3－9x=__________．
【答案】x（x+3）（x－3）
【解析】
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【详解】解：x3－9x，
=x（x2－9），
=x（x+3）（x－3）．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
12. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
13. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．
【答案】140°．
【解析】
【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【详解】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为140°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
14. 估计的值应在_____和_____之间（填写整数）．
【答案】 ①. 6 ②. 7
【解析】
【分析】先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．
【详解】解：，
，
，
，
，
估计的值应在6和7之间，
故答案为：6，7．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
15. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发_____小时与轿车相遇．
【答案】3.9
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇．
【详解】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx，
将（5，300）代入，得：5k＝300，
解得k＝60，
即OA段对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b，
将C（2.5，80），D(4.5，300)代入得
，
解得，
即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令110x﹣195＝60x，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16. 如图，现有边长为的正方形纸片，点为边上的一点不与点点重合，将正方形纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，交于，连结、，下列结论：
；当为中点时，三边之比为：：；；周长等于．其中正确的是______ 写出所有正确结论的序号
【答案】①②③④
【解析】
【分析】过点F作于点M，易得，由折叠可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通过证明，即可判断①；由折叠可知，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角相等即可判断③；过点B作于点N，易通过证明，得到，以此再通过证明，得到，则，即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，

四边形为正方形，
，，
，
四边形为矩形，
，，
由折叠可知，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
由折叠可知，，
设，则，
为中点，
，
在中，，
，
解得：，
，，
：：：：：：，
即三边之比为：：，故②正确；
由折叠可知，，，
，，
，
，故③正确；
如图，过点作于点，

，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，故④正确．
综上，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、平方根、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可．
【详解】解
原式
18. 解不等式组并写出该不等式组的整数解．
【答案】不等式组的解集为，整数解为，0，1
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴ 该不等式组的解集为：，
∴ 该不等式组的整数解为：，0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与分别相交于点．求证：

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D 四类，其中 A类表示“经常整理”；B类表示“有时整理”；C类表示“很少整理”；D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如下所示不完整的扇形统计图和条形统计图：
请你根据上图提供的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为_______°；
（2）请补全条形统计图；
（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
【答案】（1）54 （2）见解析
（3）所选取的2名学生恰好都是男生的概率为．
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法．
（1）由类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用总人数减去其它类别的人数，求出类别的学生人数，用乘以类别人数所占比例即可得；
（2）根据（1）的结论补全图形即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出所选取的2名学生恰好都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：参加这次调查的学生总人数为（人，
类别的学生人数为（人，
类别所对应扇形的圆心角度数为：．
故答案为：54；
【小问2详解】
解：补全统计图如下：
；
【小问3详解】
解：根据题意列表得：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有6种可能．
所以所选取的2名学生恰好都是男生的概率为．
21. 如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上， 测得
（1）连接， 求证：
（2）求雕塑的高（即点E到直线的距离）．
（精确到， 参考数据：
【答案】（1）见详解 （2）雕塑的高约为米
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【小问1详解】
证明∵，
∴
∵
即
∴
即．
【小问2详解】
如图所示，过点作，交的延长线于点，

中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为米．
22. 如图，以的边为直径的半圆O分别交于点D，，过点D作于点F．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求和长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）连接，由题意易得，然后可得是的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；
（2）由（1）知，则根据勾股定理可得然后根据等积法可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵为⊙O的直径，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴
∵，
∴
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
在中，由勾股定理得，
由得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果进价分别是多少？
（2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元
（2）水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键．
（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种水果的进价分别是元和元．
根据题意，得，
解得，
甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元．
【小问2详解】
解：设购进甲水果千克，那么购进乙水果千克，
，
解得，
根据题意，售完这两种水果获得的总利润，
，
随的减小而增大，
当时，最大，此时，
（千克），
水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元．
24. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标；
（2）点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标；
（3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或或
【解析】
【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标．
（2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可．
（3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可．
【小问1详解】
解：把代入，得，
解得：
∴
把代入，得，
解得：，
∴
联立两函数解析式，得
，解得：，，
∴．
【小问2详解】
解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴
设直线为，
将点，代入中，
则解得，
所以直线的解析式为，
设点，过点P作轴交直线于点Q，则
∴
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴或，
解得或（其中，方程无解），
故点P的横坐标为或．
【小问3详解】
解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图，
∵，，
又∵点M在x轴上，
∴点F向上平移3个单位，
∴点E向上平移3个单位，
∴点N纵坐标为9，把代入，得，
∴，
∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合，
∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合，
∴；
同理可得；
连接交于P，
∵，
∴点P为与的中点，
∴，
∴
∴，即，
∴，
把代入，得，
∴
∵，
∴
∴
∴
综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．
25. 在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得，连接，，当最小时，求．
【答案】（1）；（2）HG＝CD，理由见详解；（3）4−4
【解析】
【分析】（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；
（2）延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，构造全等三角形，设AC＝a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；
（3）取BC的中点N，连接A′N，连接DN，构造相似三角形，利用两点之间线段最短，确定A'的位置，继而求得相关三角形的面积．
【详解】解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD＝90°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝30°，
∴在直角△BDG中有DG＝BD＝2，BG＝，
∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
∴BC＝BG＋CG＝2＋2，
∴AC＝BC＝；
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝CD，
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图2：
∴∠END＝90°，
由旋转可知∠EBD＝90°，EB=DB，
∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB＋∠BDN＝180°
∵∠BDC＋∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，
∴∠BEN＝∠BDC，∠BNE＝45°＝∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
，
∴△BEN≌△BDC（AAS），
∴BN＝BC，
∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN中线，
∵∠BAC＝∠END＝90°，
∴EN∥AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG∥BE，FG＝BE，
∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGF＝75°，
设AC＝a，则AB＝a，
在Rt△ABD中，AD＝a，BD＝BE＝a，
∴FG＝BE=a，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰直角三角形，
∴MG＝MB＝BG＝×BC＝××AC＝a，
在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，
∴MF＝MG，
∴MF＝a，
∴BF＝BM＋MF＝a，
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，
∴FH＝BF＝a，
∴HG＝FG−FH＝a-a=，
又∵CD＝a−a=，
∴，
∴HG＝CD；
（3）设AB＝a，则BC＝a，取BC的中点N，连接A′N，连接DN，如图3，
由旋转可知A′B＝AB＝a，
∵，，
∴=，
又∵∠A'BN＝∠CBA'，
∴△A′BN∽△CBA′，
∴，
∴A'N＝A'C，
根据旋转和两点之间线段最短可知，A′D＋ A′C最小，即是A'D＋A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°，
∴四边形A''FAD是矩形，
∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，
又∵A''B＝AB＝4，
设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2＋BF2，
∴42＝22＋（4−x）2，解得x＝4−2，
∴此时S△A''BC＝S△ABC−S△AA''B−S△A''AC＝AB•AC−AB•A''F−AC•A''D＝×4×4−×4×2−×4×（4−2）＝4−4．
【点睛】此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上的动点（不与点重合）．设点的横坐标为，过点作轴，垂足为点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若点在第三象限，且，求的值；
（3）连接，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求的值．
【答案】（1）
（2）m的值是
（3）的值是或
【解析】
【分析】此题考查了二次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数解答即可；
（2）设，过点作于点，得．利用求出m的值；
（3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【小问1详解】
解：把点代入，
得．
把点代入，
得．
抛物线的函数解析式为．
【小问2详解】
设，
如图，过点作于点，
则．
．
轴，
．
又
∴四边形是矩形，
．
，
解得（舍去），
的值是．
【小问3详解】
设．
对于，
当时，，
解得
．
，
由勾股定理得．
当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
．
点与点关于对称，
．
轴，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
，
，
，
即．
设直线的解析式为，
把代入，
得
解得
直线的解析式为．
，
．
又，且，
．
解得（舍去）．当点在第二象限时，如图，
同理可得．解得（舍去）．
综上，的值是或．
男1
男2
男3
女
男1
男2男1
男3男1
女男1
男2
男1男2
男3男2
女男2
男3
男1男3
男2男3
女男3
女
男1女
男2女
男3女