2023-2024学年高一数学下学期期中考试预测卷02（人教A版2019必修第二册）

这是一份2023-2024学年高一数学下学期期中考试预测卷02（人教A版2019必修第二册），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．或
4．已知向量,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
5．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（ ）
A．12B．C．5D．10
6．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ）
A．21尺B．25C．29尺D．33尺
7．如图，是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
A．B．C．D．
8．如图，一块边长为的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若，，则的最小值为
C．若，则
D．若，，则在复平面内对应的点的坐标为
10．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
11．如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（ ）
A．直线与为异面直线
B．正方体过点，的截面为三角形
C．直线垂直平面
D．平面平行于平面
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知向量，满足，，则 ．
13．作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为，两个底面内棱长分别为和，则估计该米斗的容积为 ．
14．已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的 心.
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
16．（15分）已知.求：
(1)与的夹角；
(2)；
(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.
17．（15分）如图所示，已知点是的重心.

(1)求；
(2)若过的重心，且，，，，求证：.
18．（17分）中，为边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的取值范围．
19．（17分）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离
2023~2024学年度第二学期期中考试预测2
高一数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由复数满足可得：，
则，所以，
故选：A.
2．下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【详解】对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．
对于（2）：单位向量只是模均为单位，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确．
对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，
对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；
对于（5）：
如图：若四边形为平行四边形，则，且方向相同，但方向相反，所以与不相等，故（5）不正确；
所以正确的有一个，
故选：A.
3．在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【详解】由正弦定理可知，
所以，
又，
所以或.
故选：D.
4．已知向量,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】，，
，
，
.
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
5．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（ ）
A．12B．C．5D．10
【答案】D
【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽.
故该平面图形的周长为.
故选：D
6．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ）
A．21尺B．25C．29尺D．33尺
【答案】C
【详解】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，
由题意得：2丈=20尺，圆周长BE=3尺，
则葛藤绕圆柱7周后长为尺，
故选：C
7．如图，是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使三点重合于点，
所以两两垂直，且，
所以以为棱构造一个长方体，如图所示，
则四面体的四个顶点在这个长方体的外接球上，
则这个球的半径为，
所以球的表面积为 ，
故选：C.
8．如图，一块边长为的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知正三棱锥的底面边长为，斜高为，侧棱长为，
边长为的等边三角形，一边上的高为，其外接圆半径为，
则正三棱锥的高为，
容积.
解法一：.
当且仅当时等号成立.
解法二：，令，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
，
所以.
故选：A
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若，，则的最小值为
C．若，则
D．若，，则在复平面内对应的点的坐标为
【答案】AC
【详解】对于A：，因为，所以是纯虚数，正确；
对于B：由知，
又，，作出如图阴影部分区域：

表示平面区域内点到原点的距离，由图象可知可行域内A与原点的距离最小，
又点A取不到且，所以的最小值大于，错误；
对于C：因为，所以，所以，所以，正确；
对于D：若，，则，所以，
所以，则在复平面内对应的点的坐标为，错误.
故选：AC
10．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【答案】BCD
【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；
对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；
对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；
对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，
故选：BCD．
11．如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（ ）
A．直线与为异面直线
B．正方体过点，的截面为三角形
C．直线垂直平面
D．平面平行于平面
【答案】AD
【详解】A .由异面直线的定义可知，直线与为异面直线，故A正确；
B.因为点是的中点，所以点在平面,，所以点在平面,所以截面为平行四边形，故B错误；
C．连结，因为,所以四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与也不垂直，由B可知，直线不垂直于平面故C错误；
D.因为，平面，平面,所以平面，同理平面,且，平面，平面，所以平面平行于平面，故D正确.
故选:AD
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
13．作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为，两个底面内棱长分别为和，则估计该米斗的容积为 ．
【答案】
【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：
由题意可知，高，
下底面正方形的变长，其面积，
上底面正方形的变长，其面积，
由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:
.
故该米斗的容积为.
故答案为：.
14．已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的 心.
【答案】内
【详解】分别表示方向的单位向量，
令，，
则，
即.
又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在菱形的对角线上，
所以点P在角平分线上所以动点P的轨迹一定通过的内心.
故答案为：内
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
【答案】（1）1；（2），.
【详解】解：（1）为纯虚数，
且
（2）在复平面内的对应点为
由题意：，．
即实数的取值范围是．
而，
当时，．
16．（15分）已知.求：
(1)与的夹角；
(2)；
(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）因为，
可得，
即，解得，
又因为的取值范围为，可得.
（2）由，且，
可得
所以.
（3）若与夹角为钝角，则满足且与不共线
所以，即，解得，
令，可得，解得，
综上可得且，即求的取值范围.
17．（15分）如图所示，已知点是的重心.

(1)求；
(2)若过的重心，且，，，，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）如图所示，延长交于点，则是的中点，
∴，
∵是的重心，∴，∴；

（2）∵是边的中点，∴，
又∵是的重心， ∴，
∴，
而，
∵、、三点共线，∴有且只有一个实数，使得，
∴，∴，
∵与不共线，∴且消去，得.
18．（17分）中，为边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为为边的中点，所以，
又，即，解得，
在中由余弦定理，
即，所以，
在中由正弦定理，即，解得.
（2）设，，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
因为，所以，则，
所以，
所以，
所以，即.
19．（17分）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：取中点，连接和.
∵为中点，∴且.
∵且，
∴且.
∴四边形为平行四边形，则.
∵面，面，∴面.
（2）连接，取中点，连接.
则等边中，，.
∵面面，面面，
面，∴面，∴.
∵，面，面，，
∴面，，.
∴
因直角梯形中，连接，则，，
∴
∴，，，
∴
∴
设到面的距离为，则，解得.即到面的距离为.