2023-2024学年高一下学期数学期中测试02（人教A版2019必修第二册）

这是一份2023-2024学年高一下学期数学期中测试02（人教A版2019必修第二册），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知复数，则（ ）
A．10B．C．6D．
3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则函数的所有零点之和等于（ ）
A．7B．9C．10D．12
8．在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
C．若为虚数单位，为正整数，则
D．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限
10．已知的内角的对边分别为为线段上的一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
11．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足的点P必为的中点
B．满足的点P有且只有一个
C．满足的点P有且只有一个
D．满足的点P有且只有一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ．
13．我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量，的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为，，则向量，的夹角的余弦值为 .

14．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．
16．（15分）回答下列问题
(1)已知复数是方程的根（是虚数单位，），求．
(2)已知复数，设复数，（是的共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
17．（15分）已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点.
(1)若，求（用的式子表示）；
(2)求的取值范围.
18．（17分）函数（其中）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.

(1)当时，求函数的解析式；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
19．（17分）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由列方程求得的值，结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由题意，则，而或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．已知复数，则（ ）
A．10B．C．6D．
【答案】B
【分析】先根据复数加减乘除运算化简复数z，再根据共轭复数的概念和复数模长公式得出复数z的共轭复数的模.
【详解】由题复数，则，则.故选：B.
3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.
【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，解
得,
所以圆台的侧面积.
故选：B
4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式将变为正弦型函数，再根据三角函数平移规则判断即可.
【详解】因为，
所以将函数向左平移个单位长度得到：
，故A符合题意；
将函数向左平移个单位长度得到：
，故B不符合题意；
将函数向右平移个单位长度得到：
，故C不符合题意；
将函数向右平移个单位长度得到：
，故D不符合题意；
故选：A
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出，再由同角三角函数的基本关系求出，即可求出，最后由，利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，即，
由余弦定理得，
又，所以，
又，，所以，
则，
所以
.
故选：B
6．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解.
【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，

由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
7．已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则函数的所有零点之和等于（ ）
A．7B．9C．10D．12
【答案】D
【分析】由的值域，结合已知条件知可求，由求，进而得，要确定的所有零点之和，需确定内与在的交点横坐标及对应对称轴即可.
【详解】由题设知：，而，且在上单调.
所以必有，且，所以，则，
所以有，又，所以，所以，
则，所以令有，
故判断与在有几个交点及对应对称轴有哪几条即可，如下图示：

所以共有6个零点且，即.
故选：D.
8．在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，
因为，所以，①
因为，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因为点三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
C．若为虚数单位，为正整数，则
D．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限
【答案】BC
【分析】利用复数的定义，运算法则，几何意义一一判定选项即可.
【详解】由复数的概念可知复数的虚部为，故A错误；
若，则复平面内对应的点位于半径为1的圆上或内部，其面积为，故B正确；
根据复数的运算法则知，所以，故C正确；
易知复数的共轭复数为，其对应点为，显然位于第三象限，故D错误.
故选：BC
10．已知的内角的对边分别为为线段上的一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】BC
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由正弦定理得，
因为，所以，即，所以A错误；
对于B中，由，可得，
可得，
由余弦定理，可得，
解得，所以B正确；
对于C、D中，由，可得，
可得，所以，则的面积为，所以C正确，D错误.
故选：BC.
11．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足的点P必为的中点
B．满足的点P有且只有一个
C．满足的点P有且只有一个
D．满足的点P有且只有一个
【答案】ABD
【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.
【详解】如图建系，取，
，
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，
综上，，
选项A：取，满足，此时，
因此点P不一定是的中点，故A错误；
选项B：当点P为B点或的中点时，均满足，此时点P不唯一，故B错误；
选项C：当点P为点时，且，解得，由上分析可知时为点，故C正确；
选项D：若，
当时，有，故，，此时，
当时，有，故，，
此时点P不唯一，故D错误；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】
根据斜二测画法还原原图形，得出三角形的高，再由斜二测画法可得，即可由面积公式得解.
【详解】如图，所以，
又为正三角形，则，故，
所以.
故答案为：.
13．我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量，的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为，，则向量，的夹角的余弦值为 .

【答案】
【分析】由题意可得，根据向量夹角公式即可求解.
【详解】依题意，，，
所以，
，
，
所以，即向量，的夹角的余弦值为.
故答案为：
14．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】首先由函数的解析式求出函数的最小正周期，可得区间为最小正周期的，当区间关于对称轴对称时，可得取得最小值，令，求出t的值，求出的值，进而求出所求的代数式的值．
【详解】函数的最小正周期为，由于，
则区间的长度是周期的，
要使取最小值，则在上不单调，
所以当区间关于其对称轴对称时，取得最小值，
其对称轴为，
所以当 时，函数取得最值±4，
不妨设，则，
解得，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．
【答案】(1)
(2)4710克
【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.
【详解】（1）
该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，2500个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶100克，
所以总共需要胶的质量为：（克）．
16．（15分）回答下列问题
(1)已知复数是方程的根（是虚数单位，），求．
(2)已知复数，设复数，（是的共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程求出，再根据复数的模长公式求解即可；
（2）根据共轭复数的概念和复数除法运算化简，再根据复数的几何意义列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为复数是方程的根，
所以，整理得，
所以，解得，
所以，.
（2）因为，
所以，
又因为复数所对应的点在第三象限，
所以，解得.
17．（15分）已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点.
(1)若，求（用的式子表示）；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量运算法则得到，从而得到，求出答案；
（2）建立平面直角坐标系，设，由三点共线，可得，从而求出，，从而求出的取值范围.
【详解】（1）由得，解得，
又已知，
∴，故；
（2）以C为原点，CB为轴，CA为轴建立平面直角坐标系，
则，
设，，可得，
由三点共线，可得，即，
代入整理得
，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
又当时，，当时，，
故的取值范围为
18．（17分）函数（其中）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.

(1)当时，求函数的解析式；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式；
（2）依题意可得，由的取值范围求出的范围，由的范围求出的范围，依题意可得，即可得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】（1）由函数图像可知，，
又，，所以，解得，
，当时，，
，所以，又，所以，
，
所以，
再将函数的图像向右平移个单位得到.
（2）由，得，
由得，，
，
又，得，所以，
又在上单调递减，在上单调递增，，，
由的唯一性可得即.
依题意可得，
所以，解得，
所以当时，使成立.
19．（17分）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；
（2）在中，可得，，在中，利用正弦定理结合三角函数可得，进而可得结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，整理得，
由正弦定理可得，即，
且，所以.
（2）在中，由题意可知：，，
可知，
由余弦定理可得，即，
在中，由正弦定理，
可得，
因为且为锐角三角形，则，解得，
则，可得，所以，
且三角形周长为，
所以三角形周长的取值范围为.