山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分）
1．已知AB=(3，−4)，则|AB|=（ ）
A．25B．1C．5D．12
2．已知向量a=(2，1)，b=(−1，4)，则2a−3b=（ ）
A．(7，−10)B．(1，14)C．(−7，10)D．(7，6)
3．已知向量a，b的夹角为2π3，且|a|=3，|b|=4，则|a+2b|=（ ）
A．49B．7C．85D．97
4．如图，在矩形ABCD中， AO+OB+AD =（ ）
A．ABB．ACC．ADD．BD
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知csA=cb，则B=（ ）
A．π6B．π4C．π2D．π3
6．若点 (sin5π6,cs5π6) 在角 α 的终边上，则 sinα 的值为（ ）
A．32B．12C．−12D．−32
7．已知tan(α+β)=2，tan(α−β)=3，则tan2β=（ ）
A．17B．-1C．1D．−17
8．下列函数中，最小正周期为 π ，且图象关于直线 x=π3 对称的是（ ）
A．y=sin(2x−π3)B．y=sin(2x−π6)
C．y=sin(2x+π6)D．y=sin(x2+π6)
二、多选题(每小题5分)
9．已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ）
A．a与b相等 B．如果a与b同向，那么a与b相等
C．a+b=2 D．|a|=|b|
10．已知角θ的终边经过点(−2，−3)，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ）
A．sinθ=−217 B．α为钝角 C．csα=−277 D．点(tan θ，tan α)在第四象限
11．已知向量a=(1，−2)，b=(t，1)，则下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，则t的值为−12 B．与a垂直的单位向量一定为(255，55)
C．|a−b|的最小值为3
D．若b在a上的投影向量为5e（e为与向量a同向的单位向量），则t=5
12．已知函数f(x)=cs2x−2sinx+1 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小值为−2
C．函数f(x)的图像关于直线x=π2对称 D．函数f(x)在(0，π2)上单调递减
三、填空题（每小题5分）
13．已知e1，e2为单位向量，它们的夹角为60，若a=e1−2e2，b=3e1+e2，则a⋅b= ．
14．在△ABC中，若b= 1，c = 3 ， ∠C=2π3 ，则a =
15．函数 y=2sinx−1+csx 的定义域是 ．
16．已知函数 y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π) 为偶函数，其图象与直线 y=2 的两个交点横坐标为 x1 、 x2 ，若 |x2−x1| 的最小值为 π ，则函数的解析式为 ．
四、解答题
17．已知向量a=(1，1)，b=(3，−1)．
（1）若有(a−2b)⊥(λa+b)，求(λa+b)2值；（5分）
（2）若c=(2，m)，向量a−2b与c的夹角为钝角，求实数m的取值范围．（5分）
18．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=π2，D是线段BC上一点，且BD=14DC，点M在线段AB上移动（包括端点）．
（1）若AD=xAB+yAC，求实数x−y的值；（6分） （2）求CM⋅MA的取值范围．（6分）
19．在平面直角坐标系中，已知三点A(2，0)，B(t，1)，C(3，t)，t∈R，O为坐标原点．
（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；（6分）
（2）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．（6分）
20．已知 tanα=12 ，求下列各式的值：
（1）2csα−3sinα3csα+4sinα ； （6分）
（2）sin2α−3sinαcsα+4cs2α . （6分）
21．如图，平行四边形ABCD中，BM=2MC．
（1）若AN=3NB，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；（6分）
（2）若∠DAB=60°，AB⋅AD=1，求|AM|的最小值，以及此时|AD|的值．（6分）
22．已知函数 f(x)=sin(2x+π6)+12.
（1）试用“五点法”画出函数 f(x) 在区间 [−π12,11π12] 的简图； （6分）
（2）若 x∈[−π6,π3] 时，函数 g(x)=f(x)+m 的最小值为 2 ，试求出函数 g(x) 的最大值并指出 x 取何值时，函数 g(x) 取得最大值． （6分）
高一数学答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,D
12．【答案】B,D
13．【答案】−32
14．【答案】1
15．【答案】[2kπ+π6,2kπ+π2] ， k∈Z
16．【答案】y=2cs2x
17．【答案】（1）解：由题可得：a−2b=(1，1)−2(3，−1)=(−5，3)，
λa+b=λ(1，1)+(3，−1)=(λ+3，λ−1)，
因为(a−2b)⊥(λa+b)，所以有(a−2b)⋅(λa+b)=0，
所以−5λ−15+3λ−3=0，解得λ=−9，
λa+b=λ(1，1)+(3，−1)=(λ+3，λ−1)=(−6，−10)
故(λa+b)2的值为136．
（2）解：a−2b=(1，1)−2(3，−1)=(−5，3)
向量a−2b与c的夹角为钝角，
首先满足(a−2b)⋅c<0，得：3m−10<0，所以m<103．
其次当(a−2b)与c反向时，6+5m=0，所以m=−65．
所以m<103且m≠−65，即m的取值范围是(−∞，−65)∪(−65，103)．
18．【答案】（1）解：由BD=14DC可得CD=45CB，
AD=AC+CD=AC+45CB=AC+45(AB−AC)=45AB+15AC
所以x=45，y=15，
故x−y=35．
（2）解：
根据条件得|CB|=3，
点M在线段AB上移动（包括端点），则设AM=tAB，(0≤t≤1)，
CM=CA+AM=CA+tAB=CA+t(CB−CA)=(1−t)CA+tCB，
MA=−AM=tCA−tCB，
∴CM⋅MA=[(1−t)CA+tCB]⋅(tCA−tCB)=t(1−t)CA2−t2CB2=−4t2+t，(0≤t≤1)，
所以CM⋅MA的取值范围为[−3，116]．
19．【答案】（1）解：由题意得，AB→=(t−2，1)，AC→=(1，t)，BC→=(3−t，t−1)，
若∠A=90°，则AB→⋅AC→=(t−2，1)⋅(1，t)=t−2+t=0⇒t=1；
若∠B=90°，则AB→⋅BC→=(t−2)(3−t)+(t−1)=0⇒t2−6t+7=0⇒t=3±2；
若∠C=90°，则AC→⋅BC→=3−t+t(t−1)=t2−2t+3=0，方程无解．
∴t的值为1或3±2．
（2）解：若四边形ABCD是平行四边形，则AD→=BC→，设点D的坐标为(x，y)，
即(x−2，y)=(3−t，t−1)，所以x−2=3−t，y=t−1⇒D(5−t，t−1)，
则|OD→|=(5−t)2+(t−1)2=2t2−12t+26=2(t−3)2+8，
所以当t=3时，|OD→|的最小值为22．
20．【答案】（1）解：原式 =2−3tanα3+4tanα=2−323+4×12=110 ．
（2）解：原式 =sin2α−3sinαcsα+4cs2αsin2α+cs2α =tan2α−3tanα+41+tan2α =14−32+41+14 =115 ．
21．【答案】（1）证明：因为DE=DA+AE=DA+12AM=DA+12(AB+23BC)=12AB−23AD，
DN=DA+AN=DA+34AB=34AB−AD，
所以DE=23DN，
所以D、E、N三点共线．
（2）解：AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23AD．
设|AD|=t(t>0)，
因为AB⋅AD=|AB|⋅|AD|cs60°=12|AB|⋅|AD|=1，所以|AB|=2|AD|=2t
所以|AM|2=AM2=(AB+23AD)2=AB2+49AD2+43AB⋅AD
=|AB|2+49|AD|2+43AB⋅AD=4t2+49t2+43
所以|AM|2=4t2+49t2+43≥24t2⋅49t2+43=83+43=4，所以|AM|≥2．
当且仅当4t2=49t2，即t=3=|AD|时，所以|AM|取得最小值2．
22．【答案】（1）解：先列表，再描点连线，可得简图．
（2）解： g(x)=f(x)+m=sin(2x+π6)+12+m ，
∵x∈[−π6 ， π3] ，
∴2x+π6∈[−π6 ， 5π6] ，
∴sin(2x+π6)∈[−12 ， 1] ，
∴g(x)∈[m ， 32+m] ，
∴m=2 ，
∴g(x)max=32+m=72 ，当 2x+π6=π2 即 x=π6 时 g(x) 最大，最大值为 72 ．x
−π12
2π12
5π12
8π12
11π12
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
sin(2x+π6)
0
1
0
−1
0
y
12
32
12
−12
12