2022-2023学年山西省大同市浑源县第七中学校高二下学期第三次月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省大同市浑源县第七中学校高二下学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．已知数列满足且，则（    ）

A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列

【答案】D

【分析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.

【详解】由，可得，所以，

又由，，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以，，，

，所以不是等差数列；

不等于常数，所以不是等比数列.

故选：D.

2．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

3．已知数列满足，，则数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得.

【详解】已知数列满足，，

在等式两边同时取倒数得，，

所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，，

，

因此，.

故选：B.

【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

4．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（    ）

A．恰有1只坏的概率 B．恰有2只好的概率

C．4只全是好的概率 D．至多2只坏的概率

【答案】B

【分析】根据题意计算随机地抽取4只的总事件数，再根据组合的方法分别计算各选项中的事件数再判断即可

【详解】盒中有10只螺丝钉，

盒中随机地抽取4只的基本事件总数为，

其中有3只是坏的，

所以恰有1只坏的的取法有种，

恰有2只坏的的取法有种，

4只全是好的的取法有种，

至多2只坏的取法有种，

恰有1只坏的概率为：；

恰有2只好的概率为：；

4只全是好的概率为:；

至多2只坏的概率为:；

故选：B．

5．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：

根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是（    ）

A．焦虑 B．说谎 C．懒惰 D．以上都不对

【答案】B

【分析】分别求出三种关系的观测值，比较后可得结论.

【详解】解：对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为，

由表中数据可得：

，

，

，

因为的值最大，所以说谎与性别关系最大.

故选：B.

【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查理解能力和计算能力.

6．有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是（    ）．

A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大

B．对分类变量X与Y的随机变量来说，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大

C．由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95％的可能患有心脏病

D．依据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关

【答案】C

【分析】根据列联表、独立性检验等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，根据列联表的知识可知，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，

说明两个变量有关系成立的可能性就越大，A选项正确.

B选项，根据的知识可知，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大，B选项正确.

C选项，由独立性检验可知，有的把握认为秃顶与患心脏病有关，

并不是秃顶的人患心脏病的概率，所以C选项错误.

D选项，由独立性检验可知，的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，

是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关，所以D选项正确.

故选：C

7．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（　　）

A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大

B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等

【答案】D

【分析】由正态分布的特征，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.

【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误，

故选：D．

8．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】A

【分析】根据古典概型的概率计算公式，分别求出包含事件的基本事件数与基本事件总数即可求得结果.

【详解】由于珠子在每个岔口处有“向左”和“向右”两种情况，因为基本事件总数为，

而从出口3出来的每条路线中有2个“向右”和3个“向左”，即共有条路线，

故所求的概率为.

故选: A.

二、多选题

9．已知在等比数列中，满足，，是的前n项和，则下列说法正确的是（    ）．

A．数列是等比数列

B．数列是递增数列

C．数列是等差数列

D．数列中，，，仍成等比数列

【答案】AC

【分析】根据等比数列、递增数列、等差数列等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】依题意可知，

所以，所以数列是等比数列，A选项正确.

，所以，且，所以数列是递减数列，B选项错误.

设，则，

所以数列是等差数列，C选项正确.

，因为，故数列{}中，不成等比数列，所以D选项错误.

故选：AC.

10．若，则下列说法正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用赋值法确定正确答案.

【详解】依题意，，

令，得，A选项正确.

令，得，B选项错误.

则，C选项正确.

，则，D选项错误.

故选：AC

11．对于经验回归方程，下列说法正确的是（    ）．

A．直线必经过点

B．x增加1个单位时，y平均增加个单位

C．样本数据中时，可能有

D．样本数据中时，一定有

【答案】ABC

【分析】根据经验回归方程的定义判断即可.

【详解】A选项：回归方程必过样本中心点，故A正确；

B选项：经验回归方程中，增加1个单位时，平均增加个单位，故B正确；

CD选项：样本数据中时，可能有，也可能有，故C正确，D不正确.

故选：ABC.

12．设随机变量X的分布列为

则下列选项正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据分布列的性质求得，根据分布列、期望、方差的知识确定正确答案.

【详解】依题意，，A选项正确.

，B选项正确.

，C选项错误.

，D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有         种.（用数字作答）

【答案】180

【分析】由派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，分别求得两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解．

【详解】由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有种；第二类有种，

由分类计数原理，可得共有种不同的方案.

【点睛】本题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

14．等差数列中，，，则          ．

【答案】

【分析】根据等差数列的求和公式列式求出和，再根据求和公式可求出.

【详解】设公差为，

则，解得，

所以.

故答案为：

15．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表所示：

根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中m的值为      .

【答案】5.9

【分析】由残差的意义得到回归直线方程，进而根据回归直线方程过样本中心点，得到m的值.

【详解】根据样本处的残差为，即，可得，

即回归直线方程为，

又由样本数据的平均数为，，

得，解得.

故答案为：

16．一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，则m的值为        .

【答案】14

【分析】利用计算即可.

【详解】由题意，知，则，解得.

故答案为：14

【点睛】本题考查二项分布的期望，考查学生对常见分布的期望公式的掌握情况，是一道容易题.

四、解答题

17．（1）已知等差数列中，，，，求d和n．

（2）在等比数列中，，，求．

【答案】（1），；

（2）.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式计算即可；

（2）利用等比数列的求和公式计算即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

，解得，

所以，.

（2），所以.

18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．

(1)完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层随机抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，求选出的2人中至少有一个是女生的概率．

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，能认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关

(2)

【分析】（1）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此作出判断.

（2）根据分层抽样以及古典概型概率计算公式求得正确答案.

【详解】（1）个人中，男生有人，女生有人，

对冰壶运动有兴趣的人数有，由此填写列联表：

，

所以能认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.

（2）在抽取的人中，男生有人，女生有人，

从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，

选出的2人中至少有一个是女生的概率为

19．已知数列和满足：，，数列的前项和为.

(1)求数列和的通项公式：

(2)设数列，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）构造等比数列，求解的通项公式；利用 求解的通项公式；（2）根据第一问的求解，得到，其中利用错位相减法求和，进而求出数列的前项和

【详解】（1）∵

∴设，整理：

∴

∴

∴公比是2的等比数列

∴

∴

当时

当时，，符合

故的通项公式为：

（2）

∴设的前n项和为

则①

②

①-②得：

∴

∴

20．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．

(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列；

(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(3)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．

【答案】（1）见解析（2）（3）

【详解】试题分析：(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2，再求出ξ取每一个值的概率,可得ξ的分布列.(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,求得P(C)＝,则所求概率为P()＝1－P(C)可得结果.

(2)求出男生甲被选中、女生乙被选中的概率和男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结论.

试题解析：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.

∴ξ的分布列为

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，

则P(C)＝＝＝.

∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.

(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.

21．为了研究昼夜温差与引发感冒的关系，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．

表1

表2

(1)写出m，n，p的值；

(2)依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；

(3)根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若，则认为y与x线性相关性很强；若，则认为y与x线性相关性一般；若，则认为y与x线性相关性较弱）．

附表：

参考公式及数据：，其中．

，，，．

【答案】(1)，，

(2)不能认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性

(3)很强

【分析】（1）根据表1计算可得结果；

（2）先零假设，再计算，结合临界值表可得结论；

（3）根据公式计算可得结论.

【详解】（1），，.

（2）零假设：在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”不具有相关性，

，

因为，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即不能认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性.

（3），，

，

所以，

所以y与x线性相关性很强.

22．已知的展开式的各项二项式系数之和为512.

（1）求展开式中所有的有理项；

（2）求展开式中系数最大的项.

【答案】（1），，，（或）；（2）

【解析】（1）根据二项式定理求出通项，处理指数幂的指数即可得解；

（2）设第项的系数最大，则，解不等式组即可得解.

【详解】（1）由题意可得，则

故通项，

由题意可得为整数，则是3的倍数，

因为，所以的值为0或3或6或9，

则有理项为，，，（或）.

（2）设第项的系数最大，则

因为，

所以，

则解得，

因为为整数，所以

故展开式中系数最大的项

【点睛】此题考查二项式定理的应用，涉及求指定项和求解系数最大的项，关键在于熟练掌握通项，根据通项进行计算.