2022年北京人大附中分校中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2022年北京人大附中分校中考数学模拟试卷（4月份）

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列各数中，最小的有理数是

A.  B.  C.  D.

2. 某病毒毒株的直径大约微米，微米米，微米用科学记数法表示为米．

A.  B.  C.  D.

3. 如图是几何体的展开图，这个几何体是

A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，为直线上一点，平分，于点，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，、、、 是五边形的个外角，若，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 已知是整数，当取最小值时，的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知：正方形边长为，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 若在实数范围内有意义，则的取值为______．
10. 分解因式：______．
11. 方程的解是______．
12. 若点在双曲线上，则代数式的值为______．
13. 如图，、分别切于、是的直径，，则______

14. 如图，在正方形中，点、分别在对角线上，请你添加一个条件______，使四边形是菱形．
    
     

15. 一组数据，，，，，，则这组数据的方差是______．
16. 某企业有，两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时：在一天内，生产线共加工吨原材料．加工时间为小时．该企业计划将吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工．若分配到生产线吨，分配到生产线吨，两条生产线同时开工，则该企业的加工时间为______小时：若要使该企业加工这吨原材料的时间最短，则分配到生产线______吨．说明：该企业的加工时间为从由生产线开始加工到两条生产线都停止加工的时间．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共11小题，共88.0分）

18. 解不等式组．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知方程的两个实数根为和．
    求的取值范围；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，则▱的面积是______．

22. 一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的交点为和，且点的横坐标是，
    求反比例函数解析式；
    若轴上存在点，使得，直接写出点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，四边形内接于，，是对角线．点在的延长线上，且．
    判断与的位置关系，并说明理由；
    与的延长线交于点，若，，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知函数，请对该函数及图象进行如下探究：
    填表：

其中______，______．
画出函数图象；
结合函数图象，直接写出方程的所有解：______误差不超过．

25. 第十九届亚运会将于年月日月日中国杭州举行．为了调查学生对亚运知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    ，甲校名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如表：
    甲校学生样本成绩频数分布表

表

表甲校成绩在的这一组的具体成绩是：，，，，，，，
甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如表
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
表中______；表中的中位数______；
补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生填“甲”或“乙”，理由是______；
假设甲校名学生都参加此次测试，若成绩分及以上为优秀，估计成绩优秀的学生人数为______人．






 

26. 已知二次函数的图象与轴交于、两点点在点的左侧，顶点为．
    直接写出函数图象的对称轴；
    若是等腰直角三角形，求的值；
    将的图象向下平移个单位得函数，当时，函数存在两个整数值，直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
27. 中，，，是边上一点，且，射线绕点逆时针方向旋转，射线绕点逆时针方向旋转，两条旋转后的射线交于点，连接．
    补全图形；
    探究线段、和的数量关系，并证明．
    若将线段绕点逆时针方向旋转得，连接，是中点，是中点，，直接写出的最小值为______．
    
    
    
    
    
    
     

在平面直角坐标系中，给出如下定义；为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，则称这个最大值为关于的“远距”，记为；如果，两点间的距离有最小值，则称这个最小值为关于的“近距”，记为，
已知的半径为，
若点，______；______
若的半径为，圆心为，且，求的值
点直线上，：，且，若上只存在两个这样的点，直接写出的取值范围．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
又不是有理数，
最小的有理数是；
故选：．
根据实数大小的比较方法比较即可．
本题考查了实数大小的比较，关键要熟记：正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：微米米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：因为展开图是三个矩形，两个三角形，
所以这个几何体是三棱柱，
故选：．
根据三棱柱的展开图的特征解答即可．
本题考查几何体的展开图，三棱柱等知识，解题的关键是掌握三棱柱的展开图的特征，属于中考常考题型．
 

4.【答案】
 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据多项式乘多项式判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据平方差公式判断选项．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，平方差公式，掌握是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：于点，
，
，
平分，，
，
．
故选：．
直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出，进而得出答案．
此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义，正确得出的度数是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，

又多边形的外角和为，
．
故选：．
根据题意先求出的度数，然后根据多边形的外角和为即可求出的值．
本题考查了多边形的外角和等于的性质以及邻补角的和等于的性质，是基础题，比较简单．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
与最接近的整数是，
当取最小值时，的值是，
故选：．
根据绝对值的意义，由与最接近的整数是，可得结论．
本题考查了实数的性质，算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且，
可证≌≌≌．
设为，则，根据勾股定理，得

即．
，
所求函数是一个开口向上，
对称轴是直线．
自变量的取值范围是大于小于．
故选：．
根据条件可知≌≌≌，设为，则，根据勾股定理，进而可求出函数解析式，求出答案．
本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．
 

9.【答案】
 

【解析】解：依题意得：．
解得．
故答案是：．
二次根式的被开方数是非负数，即．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：

．
故答案为．  

11.【答案】
 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：点在双曲线上，
，


，
故答案为：．
将点代入双曲线可求出，再代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值是正确解答的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：、分别切于、，
，
，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，根据四边形内角和定理、邻补角的概念解答即可．
本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：添加的条件为：，
理由：正方形中，对角线，
，
．
，
≌≌≌．
，
四边形是菱形；
故答案为：．
根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据，可得与与与的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果．
本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
这组数据的方差是


．
故答案为：．
根据方差公式计算即可．
本题考查了平均数和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：当时，，
当时，，
两条生产线同时开工，则该企业的加工时间为小时；
由题意可知：分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，
依题意可得：，
解得：，
分配到生产线的吨数为吨，
当时，，
当时，，
若要使该企业加工这吨原材料的时间最短，则分配到生产线吨．
故答案为：，．
分别将，代入生产线和生产线中的加工时间，可得两条生产线同时开工，则该企业的加工时间小时两个时间中最大的时间；根据分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，同时完成时时间最短，即可得结论．
本题主要考查一元一次方程、列代数式和求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
 

17.【答案】解：


．
 

【解析】先算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、绝对值，再计算加减法即可求解．
本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、绝对值等知识点的运算．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集是．
 

【解析】先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

19.【答案】解：是方程的一个根，
．
．





．
 

【解析】把代入方程求出，整理后代入，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解，能够整体代入是此题的关键．
 

20.【答案】解：方程有两个实数根，
，
解得：且，
的取值范围为且．
，是方程的两个实数根，
，．
又，
，
解得：，，
经检验，，是原方程的解，不符合题意，舍去，
的值为．
 

【解析】利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及根与系数的关系，解题的关键是：利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；利用根与系数的关系结合，找出关于的方程．
 

21.【答案】证明：，
，
即，
，
，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；

 

【解析】见答案
解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
▱的面积，
故答案为：．
根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，
，解得，
一次函数为，
把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
，，
，
或．
 

【解析】把的坐标代入求得的值，进而求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
根据等腰三角形的性质即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质，求得的坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：相切．
理由是：连接，如图．

四边形内接于，，
是的直径，即点在上．
．
．
．
又，
，即．
于点．
是的切线．
如图，与交于点，

，
．
．
．
，．
，，
∽．
．
．
设 ，则．
在中，，
．
解得：，舍．
．
 

【解析】先根据圆周角定理证明是的直径，得，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得，可得是的切线；
先根据平行线的性质得：由垂径定理得，，由垂直平分线的性质得，证明∽，列比例式得，设 ，则，根据勾股定理列方程可解答．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 

24.【答案】    、、
 

【解析】解：当时，，
当时，，
，，
故答案为：，；
如图所示：

由函数图象得：方程的所有解为、、．
故答案为：、、．
把、分别代入解析式即可求得、的值；
描点、连线，画出该函数的函数图象；
根据图象即可求得．
本题考查的是函数的图象和性质，正确画出函数图象、数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】    甲  甲校的中位数是， 
 

【解析】解：，
由频数分布表和频数分布直方图中的信息可知，排在中间的两个数是和，
；
故答案为：，；
补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图如图所示；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生，
理由：甲校的中位数是，；
故答案为：甲，甲校的中位数是，；
，
答：成绩优秀的学生人数为人．
故答案为：．
根据频数分布表和频数分布直方图的信息列式计算即可得到的值，根据中位数的定义求解可得的值；
根据题意补全频数分布直方图即可；
根据甲这名学生的成绩为分，小于乙校样本数据的中位数分，大于甲校样本数据的中位数分可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

26.【答案】解：二次函数的图象对称轴为直线，
函数图象的对称轴是直线；
在中，令得或，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或；
答：的值为或；
将的图象向下平移个单位得函数，
当时，，
当时，，
对称轴为直线，
若，时，随增大而减小，
当时，函数存在两个整数值，
这两个整数值是和，
，
解得，
若，时，随增大而增大而增大，
当时，函数存在两个整数值，
这两个整数值是和，
，
解得，
综上所述，的范围是或．
 

【解析】由二次函数图象的对称轴公式可得函数图象的对称轴是直线；
在中，可得，，，，根据是等腰直角三角形，有，即，即可解得或；
将的图象向下平移个单位得函数，当时，，当时，，分两种情况：若时，由函数存在两个整数值，得，若，由函数存在两个整数值，得，即可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用，抛物线的平移等知识，解题的关键是根据函数存在两个整数值列出不等式．
 

27.【答案】
 

【解析】解：图形如图所示：

结论：．
理由：如图中，如图中，将绕点逆时针旋转得到，

，，
，
≌，
，，，
，
，
，，共线，
，，
，
，
≌，
，
，
；

如图中，连接，，，．

由可知，，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
的最小值为，
根据要求画出图形即可；
结论：如图中，如图中，将绕点逆时针旋转得到，证明≌，推出，可得结论；
如图中，连接，，，证明，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

28.【答案】 
 

【解析】解：过点的直径记作，其中点在延长线上，在的延长线上，
，，
，，
故答案为，；
由题意得：两圆相离，
，，
，
，
如图，

作于交于，，交于，
，，，，
，，
，，
，
由对称性得，，
或．
作出过点的直径，进而得出“远距”和“近距”；
和是相离的，连接，进而表示出“远距”和“近距”，列出的方程，进而求得结果；
计算与相交和相离时，只有一个点的临界值，进而求得结果．
本题考查了点和圆的位置关系及圆与圆，直线和圆的位置关系等知识，解决问题的关键是找出“远距”和“近距”的位置．