北京市延庆区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份北京市延庆区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．按数列的排列规律猜想数列,,,…的第10项是( )
A.B.C.D.
2．已知等差数列中,,,则等于( )
A.13B.14C.15D.16
3．数列满足,且,则( )
A.B.4C.D.2
4．的二项展开式中的常数项为( )
A.1B.6C.15D.20
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则为( )
A.0B.1C.2D.3
6．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,记X为“正面朝上”出现的次数,则随机变量X的均值( )
A.2B.1C.D.
7．从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数,则在第1次抽到奇数的条件下,第2次又抽到奇数的概率是( )
A.B.C.D.
8．第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )
A.150种B.300种C.720种D.1008种
9．为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼,某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为;如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为,则他第球投进的概率为( )
A.B.C.D.
10．身高各不同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相,说法不正确的是( )
A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到短的顺序站,共有120种站法
B.A与C同学不相邻,共有种站法
C.A、C、D三位同学必须站在一起,且A只能在C与D的中间,共144种站法
D.A不在排头,B不在排尾,共有504种站法
二、填空题
11．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是___________.
12．设随机变量X的分布列如下：其中a,b,c成等差数列,若,则方差__________.
13．如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种___________.(以数字作答)
三、双空题
14．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球,从中随机摸取1个球,有放回地摸取3次,记摸取白球的个数为X．若,则___________,_____________．
15．知展开式中,第三项的系数与第四项的系数比为．求n的值___________,展开式中有理项的系数之和____________．（用数字作答）
四、解答题
16．已知数列的前n项和,
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前多少项和最大．
17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256,其中实数a为常数.
（1）求n的值;
（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70,求a的值.
18．某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数;
（2）从初赛得分在区间的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间与各抽取多少人?
（3）从（2）抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列及数学期望．
19．2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”,开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起,地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里,共设10座车站,此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间,地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客,记录了他们的乘车情况,得到下表（单位：人）：
（1）在试运营期间,从在积水潭站上车的乘客中任选一人,估计该乘客在牛街站下车的概率;
（2）在试运营期间,从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人,设其中在牛街站下车的人数为X,求随机变量X的分布列以及数学期望;
（3）为了研究各站客流量的相关情况,用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况,“”表示上车,“”表示下车.相应地,用,分别表示在牛街,草桥站上､下车情况,直接写出方差,,大小关系.
20．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P,Q两点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设点A是椭圆C的左顶点,直线AP,AQ分别与直线相交于点M,N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
21．对于数列,定义设的前n项和为．
（1）设,写出,,,;
（2）证明：“对任意,有”的充要条件是“对任意,有”;
（3）已知首项为0,项数为的数列满足：
①对任意且,有;
②．
求所有满足条件的数列的个数．
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,数列的第1个数为,有,
数列的第2个数为,有,
数列的第3个数为,有,
……
依此类推,数列的第10项为,
故选：D.
2．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,则,
故.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意知,所以,,,,
所以可得是周期为2的周期数列,则．故A正确.
故选：A.
4．答案：D
解析：由题意,二项式展开式的通项为,
令,可得展开式常数项为.
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意,X的可能取值为0,1,2,
由题中数据可得：,
,
,
所以.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意可知,,
所以．
故选：A.
7．答案：C
解析：在第1次抽到奇数的条件下,余下2个奇数和2个偶数,
再次抽取时,抽到奇数的概率为.
故选：C.
8．答案：A
解析：若三个场地分别承担3,1,1个项目,则有种安排,
若三个场地分别承担2,2,1个项目,则有种安排,
综上,不同的安排方法有种.
故选：A.
9．答案：B
解析：记事件A为“第1球投进”,事件B为“第2球投进”,
,,,
由全概率公式可得.
故选：B.
10．答案：C
解析：对于A,6个人的全排列共有种方法,A、C、D全排列有种方法,
所以A、C、D三位同学从左到右按照由高到短的排列有种方法,故A正确;
对于B,先排其余4个人,有种方法,
4个人有5个空,利用插空法将A、C插入5个空中,有种方法,
则共有种站法,故B正确;
对于C,A、C、D三位同学必须站在一起,
且A只能在C与D中间的排法共有2种,
将这3人捆绑在一起,与其余3人进行全排列,共有种方法,
则共有种方法,故C错误;
对于D,6个人全排列共有种方法,
当A在排头时,共有种方法,
当B在排尾时,共有种方法,
当A在排头且B在排尾时,共有种方法,
则A不在排头,B不在排尾的情况共有种方法,故D正确,
故选：C.
11．答案：
解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
.
12．答案：
解析：,b,c成等差数列,,由变量X的分布列,
知：,解得,,
.
故答案为：.
13．答案：72
解析：按照使用颜色的种类分类,
第一类:使用了4种颜色,2,4同色,或3,5同色,则共有(种),
第二类:使用了三种颜色,2,4同色且3,5同色,则共有(种)
所以共有(种)
故答案为:72
14．答案：①.1②.
解析：由题意知．
因为,所以,解得,
所以．
故答案为：;.
15．答案：①7②.702
解析：依题意,展开式的通项公式
,,
因此,
所以;
又,3,6时,对应的项是有理项,
当时,;
当时,;
当时,,
所以有理项的系数之和为,
故答案为：7;702.
16．答案：(1)
(2)前16项的和最大
解析：（1）当时,;当时,;
所以：;
（2）因为;
所以前16项的和最大．
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题知,二项式系数和,故;
（2）二项式系数分别为,,,,根据其单调性知其中最大,
即为展开式中第5项, ,即.
18．答案：（1）20;
（2）5,2;
（3）见解析．
解析：（1）由题意知之间的频率为:,
获得参赛资格的人数为
（2）在区间与,,在区间的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人
分在区间与各抽取5人,2人．结果是5,2.
（3）X的可能取值为0,1,2,则
故X的分布列为：
19．答案：（1）
（2）分布列答案见解析,数学期望：1
（3）
解析：（1）设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件A,
由已知,在积水潭站上车的乘客有60人,其中在牛街站下车的乘客有20人,
所以.
（2）由题意可知,,1,2,3
;
;
;
.
随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望为
.
（3）
（两点分布：,,）
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得,
解得,,,
所以椭圆C的方程为;
（2）,,
设直线l的方程为,
由得
直线l过椭圆C的右焦点,显然直线l椭圆C相交.
设,,
则,,
直线AP的方程为,
令,得,即,
同理,,
所以,
所以
,
所以以MN为直径的圆恒过点F.
21．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
（3）.
解析：（1）因为,,,,,
所以,,,.
（2）证明：必要性：对,有,因此,
对任意,且,有,,两式作差,得,即,因此,
综上,对任意,有.
充分性：若对任意,有,则,
所以,
综上,“对任意,有”的充要条件是“对任意,有”.
（3）构造数列,,
则对任意且,有,,结合（2）知,
,又,因此,
设中有k项为0,
则
,即,
若,则与,,,中有0项为0,即矛盾,不符题意,
若,则,所以当,,,,中有1项为0,其余项为时,数列满足条件.
,,,中有一项为0,共种取法,其余项每项有1或-1两种取法,所以满足条件的数列的个数为.
X
-1
0
1
P
a
b
c
下车站
上车站
牡丹园
积水潭
牛街
草桥
新发地
新宫
合计
牡丹园
///
5
6
4
2
7
24
积水潭
12
///
20
13
7
8
60
牛街
5
7
///
3
8
1
24
草桥
13
9
9
///
1
6
38
新发地
4
10
16
2
///
3
35
新宫
2
5
5
4
3
///
19
合计
36
36
56
26
21
25
200
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P