北京市延庆区第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份北京市延庆区第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设集合,,则 ( )
A.B.
C.D.
3．若全集且,则集合A的真子集的个数为( )
A.3B.6C.7D.8
4．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
6．下列命题中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
7．已知关于的方程两个实数根一个小于0,另一个大于0,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知集合,,则集合A,B的关系是( )
A.B.
C.D.以上答案都不对
9．若“”是“”的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10．设集合,,且M,N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合的“长度”的最小值是( )
A.B.C.D.
二、填空题
11．设集合,,若,则_____________.
12．若关于x的不等式的解集为R,则a的一个取值为___________.
13．已知a，b为不相等的实数，记，，则M与N的大小关系为______.
14．已知集合,,若,则实数m组成的集合为_______________.
15．已知关于x的不等式的解集为,
①
②
③
④ 关于x的不等式的解集为
则上述结论正确的序号是______________.
三、双空题
16．已知集合,,则_________,___________.
四、解答题
17．设全集为R,集合,,.
(1)求,,;
(2)若,求实数a的取值范围.
18．求下列方程（组）或不等式的解集.
(1)
(2)
(3)
(4)
19．已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素,求实数k的取值范围;
(2)若集合A最少有一个真子集,求实数k的取值范围.
20．已知，是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数k的整数值.
21．对于正整数集合,如果去掉其中任意一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）.
(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”,并证明此集合为“和谐集”.
(3)当时,集合,求证：集合A不是“和谐集”.
参考答案
1．答案：B
解析：集合A是自然数集,所以
故选：B.
2．答案：C
解析：
故选：C.
3．答案：C
解析：全集且,
,
由于集合A中有3个元素,故集合A的真子集共有个.
故选：C.
4．答案：B
解析：由可得或,
所以是的必要不充分条件,
故选：B.
5．答案：D
解析：命题“,”,
则其否定为“,”.
故选：D.
6．答案：D
解析：对于A,若取,,
则,即,故A错误;
对于B,令,则有,故B错误;
对于C,令,,则有,故C错误;
对于D,根据不等式性质可知D正确,
故选：D.
7．答案：B
解析：由题可得,
解得.
故选：B.
8．答案：A
解析：对于集合B,当时,;
当时,,
所以,
故选：A.
9．答案：B
解析：因为,则
因为,则
即是的充分而不必要条件,
所以,
故选：B.
10．答案：C
解析：易得：集合的“长度”为,
集合的 “长度”为.
因为它们都是的子集,要使“长度”最小,
集合M、N应该在的两端.
若集合M在左,集合N在右,则,,
此时,,,
所以的 “长度”为：.
若集合N在左,集合M在右,则,,
此时,,,
所以的“长度”为：.
综上可知,“长度”的最小值为.
故选：C.
11．答案：2
解析：依题意,集合,,
由于,所以,解得.
故答案为：2.
12．答案：1（答案不唯一,只需满足即可）
解析：依题意当时,不等式的解集为,不合题意;
当时,由不等式对应的二次函数图象开口向下可知其解集不可能为R,不合题意;
当时,若不等式的解集为R需满足,
解得或（舍）
综上可知,.
所以可得a的一个取值为1.
故答案为：1（答案不唯一,只需满足即可）
13．答案：
解析：因为，则，
所以，，故.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,
当时,,满足,
当时,,
,或,解得：或,
实数m组成的集合为,
故答案为：.
15．答案：②③
解析：因为关于x的不等式的解集为,
所以,且,是方程的两根,
所以,
所以,
所以,,
故①错,②,③正确;
对于④,等式,即有,
所以,解得,
所以不等式的解集为,故④错误.
故答案为：②③.
16．答案：或;R
解析：,,
故或,
故答案为：或,R
17．答案：(1),,或
(2)
解析：(1)因为,,
根据并集、补集的概念可得,或,
或,
所以,或.
(2)若,则,解得,
若,则,且或,解的,
综上所述.
18．答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)由
因为,所以或.
所以原方程的解集为：.
(2)将代入得：,
整理得：,解得：或;
当时,;当时,.
所以原方程组的解集为：
(3)由或或.
所以原不等式的解集为：.
(4)由
所以.
所以原不等式的解集为：.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,即,符合题意;
当时,,解得：.
综上所述,实数k的取值范围为.
(2)集合A最少有一个真子集,则集合A中至少有一个元素,
当时,,即,符合题意;
当时,,解得：且.
综上所述,实数k的取值范围为.
20．答案：(1)不存在，理由见解析；
(2)
解析：（1）假设存在实数k，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)，
由韦达定理得，
，
但，
不存在实数k，使得成立.
（2），
要使其值是整数，只需要能被4整除，
故，即，
，
.
21．答案：(1)集合不是“和谐集”.
(2) 集合是“和谐集”;证明见解析.
(3)证明见解析.
解析：(1)集合不是“和谐集”.
(2)集合,
证明：,
,
,
,
,
,
,
集合是“和谐集”.
(3)证明：不妨设,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有①,或者②,
将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有③,或者④,
由①③得,矛盾,由①④得,矛盾,由②③得矛盾,由②④得矛盾,
故当时,集合A一定不是“和谐集”.