专题七 不等式（组）——2024届中考数学一轮复习进阶讲义

这是一份专题七 不等式（组）——2024届中考数学一轮复习进阶讲义，共17页。试卷主要包含了不等式的相关概念，不等式的性质，一元一次不等式组的解法等内容，欢迎下载使用。

知识复习
讲解一：不等式及其性质
一、不等式的相关概念
1.不等式：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式.
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个.
3.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
【注意】不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中.
二、不等式的性质
【注意】两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.
命题精练
命题形式1 不等式的性质
1.【2023.四川德阳】如果，那么下列运算正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：D
解析：A、若，则，故A不符合题意；
B、若，则，故B不符合题意；
C、若，则，故C不符合题意；
D、若，则，正确，故D符合题意.
故选D.
2.【2023.浙江嘉兴】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
，，故选项B不符合题意；
，，，故选项C不符合题意；
，，，故选项D符合题意；
故选D.
3.【2023.北京】已知，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：，
，
，
故选B.
4.【2023.山东临沂】在实数a，b，c中，若，，则给出下列结论：
①，
②，
③，
④.
正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
答案：A
解析：，，故结论①错误；，，，则，又，，，故结论②③错误；，，，，即，，故结论④正确.故选A.
知识复习
讲解二：一元一次不等式及其解法
一、一元一次不等式的概念
1一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式必须同时满足三个条件：
（1）不等式的两边都是整式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数是1.
【注意】含有一个未知数隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知（是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了这个条件.
二、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为（）或（）的形式.解一元一次不等式的步骤如下表：
【注意】解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解.
讲解三：一元一次不等式组及其解法
知识梳理
一、一元一次不等式组的相关概念
一元一次不等式组：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组，如
【注意】
（1）一元一次不等式组必须同时满足三个条件：
①每个不等式都是一元一次不等式；
②含有同一个未知数；
③不等式的个数不少于2.
（2）不等式组一般用“{”连接，有的也可以用形如“”方式表示.
二、不等式组的解集
1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.
【注意】
（1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.
（2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式.
2.一元一次不等式组的解集有四种情况：
三、一元一次不等式组的解法
1.解不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.
2.解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集
命题精练
命题形式2 解不等式（组）
5.【2023.辽宁阜新】不等式的解集是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：，移项，合并同类项得:，未知数系数化为1得:，故B正确.故选B.
6.【2023.陕西A】解不等式：.
答案：
解析：，
，
，
，
.
7.【2023.辽宁丹东】不等式组的解集是_______.
答案：
解析：，
由①可得：，
由②可得：，
原不等式组的解集为，
故答案为：.
命题形式3 不等式（组）解集的表示
8.【2023.辽宁沈阳】不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：不等式的解集在数轴上表示为
故选A.
9.【2023.湖北宜昌】解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：D
解析：原不等式两边同乘3，得，移项，得，解得，故选D.
10.【2023.湖北襄阳】如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是，
故选D.
11.【2023.湖南长沙】不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：解①，得，解②，得，故该不等式组的解集是.故选A.
12.【2023.湖北武汉】解不等式组请按下列步骤完成解答.
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是________.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1），
.
故答案为：.
（2），，.
故答案为：.
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）由图可知原不等式组的解集是.
故答案为：.
13.【2023.江苏扬州】解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.
答案：不等式组的解集为，数轴见解析
解析：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以该不等式组的解集为.
该不等式组的解集在数轴上表示如下.
命题形式4 不等式（组）的含参问题
14.【2023.湖北黄石】若实数a使关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为_______.
答案：
解析：，
由①得，；由②得，；
解集为，
，
故答案为：.
15.【2023.四川宜宾】若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为___________.
答案：2或
解析：由①得，由②得，不等式组的解集为.
因所有整数解的和为14，故可分以下2种情况：
i.整数解为5，4，3，2，此时，，又a为整数，；
ii.整数解为5，4，3，2，1，0，-1，，，又a为整数，.
综上所述，整数a的值为2或.
讲解四：一元一次不等式（组）的应用
知识复习
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解.
列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似，即：
命题精练
命题形式5 不等式（组）的实际应用
16.【2023.湖南怀化】某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.
（1）求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人.
（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
答案：（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人
（2）共有3种租车方案：
方案一：租用A种客车18辆，租用B种客车7辆；
方案二：租用A种客车19辆，租用B种客车6辆；
方案三：租用A种客车20辆，租用B种客车5辆
（3）租用A种客车20辆，租用B种客车5辆才最合算
解析：（1）设原计划租用A种客车x辆，
根据题意，得，
解得.
（人）.
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人.
（2）设租用A种客车a辆，则租用B种客车辆，
根据题意，得
解得.
a为正整数，，
共有3种租车方案：
方案一：租用A种客车18辆，租用B种客车7辆；
方案二：租用A种客车19辆，租用B种客车6辆；
方案三：租用A种客车20辆，租用B种客车5辆.
（3）A种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆300元，
B种客车越少，费用越低，
故租用A种客车20辆，租用B种客车5辆才最合算.
17.【2023.山东济宁】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
答案：（1）A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元
（2）共有以下三种方案.
方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个.
方案三所需购买总费用最少
解析：（1）设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为万元.
由题意可得，
解得，
经检验，是原分式方程的解.
.
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.
（2）设购买总费用为w万元，购买A型充电桩a个，则购买B型充电桩个.
由题意可得，.
由题意知，解得.
a为整数，
a可取14，15，16，
共有以下三种方案.
方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个.
，
w随着a的增大而减小.
故方案三所需购买总费用最少.命题点
命题形式
命题热度
命题特点
不等式（组）及其解法
1.不等式的性质
☆
本专题从不等式（组）的解法和含参问题的角度命题，多以选择题和填空题的形式出现，解法题要求学生利用不等式（组）解决实际问题，常与函数和方程结合考查，体现了数学运算的核心素养.
2.解不等式（组）
☆☆☆
3.不等式（组）解集的表示
☆
4.不等式（组）的含参问题
☆☆
5.不等式（组）的特殊解
☆
不等式（组）的实际应用
6.不等式（组）的实际应用
☆☆☆
不等式的性质1
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
如果，
那么
不等式的性质2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
如果，
那么
不等式的性质3
不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
如果，
那么
步骤
具体做法
依据
注意事项
①去分母
不等式两边同时乘各分母的最小公倍数.
不等式的性质2，3
（1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号.
②去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）.
分配律、去括号法则
若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号.
③移项
把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边.
不等式的性质1
（1）所移的项要改变符号，不移的项不变号；（2）移项时，不等号的方向不改变.
④合并同类项
系数相加，字母及字母的指数不变.
合并同类项法则
⑤系数化为1
不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为（）或（）的形式.
不等式的性质2，3
当不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变.
不等式组
不等式组的解集
无解
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀
同大取大
同小取小
大大小小无处找
大小小大中间找
步骤
注意事项
审
认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.
抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“至少”“超过”等
设
设出适当的未知数.
表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现
列
根据题中的不等关系列出不等式.
两边所表示的量应该相同，并且单位要统一
解
解不等式，求出其解集
符号和系数不要出错
验
检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
一满足不等式；二符合实际意义
答
写出答.
应把表示不等关系的文字补上