2023年江苏省无锡市梁溪区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省无锡市梁溪区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的(    )

A.  B.
C.  D.

3.  函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的名学生中随机抽取了名学生，下列说法正确的是(    )

A. 此次调查属于全面调查 B. 样本容量是
C. 名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体

5.  下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 圆 D. 线段

6.  如图，一个圆柱体在正方体上表面沿虚线从左向右平移，则该组合体在该平移过程中不变的视图是(    )

A. 主视图和俯视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图

7.  下列命题中：菱形的对角线相等；矩形的对角线互相垂直；平行四边形的对角线互相平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分真命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若直线经过点和，且，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，，点、分别是边、上的动点，将绕点逆时针旋转，使点落在边的点处，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  已知，则的值为______ ．

13.  一粒大米的质量约为千克，数据用科学记数法可表示为______ ．

14.  如果点，在同一反比例函数的图象上，那么的值为______ ．

15.  如果圆锥的母线长为，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为______ ．

16.  “直角三角形两个锐角互余”这个命题的逆命题是：______．

17.  如图，在中，，，则的面积是______ ．

18.  如图，在▱中，，，、分别是、边上的动点，且，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解方程：；
解不等式组：．

21.  本小题分
如图，点在边上，，，．
求证：≌；
若，求的度数．

22.  本小题分
为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从“中国天眼”，“时代”，“夸父一号”，“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题统计同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图如下请根据统计图中的信息解答下列问题：

九班共有______ 名学生；
请以九班的统计数据估计全校名学生大约有多少人选择主题？
甲和乙从，，，四个主题中任选一个主题，请用列表法或画树状图法求出他们选择相同主题的概率．

23.  本小题分
如图，是的直径，点在上，的平分线与相交于点，与过点的切线相交于点．
判断的形状，并证明你的结论；
若，，求的长．

24.  本小题分
我市为了打造湿地公园，今年计划改造一片绿化地种植、两种贵观树种植棵种、棵种景观树需要元，种植棵种、棵种景观树需要元．
种植每棵种景观树和每棵种景观树各需要多少元？
今年计划种植、两种景观树共棵，且种景观树的数量不超过种景观树数量的倍，那么种植这两种景观树的总费用最低为多少元？：
相关资料表明：、两种景观树的成活率分别为和今年计划投入万元种植、两种景观树共棵，要求这两种树的总成活率不低于，投入的钱是否够用？请说明理由．

25.  本小题分
如图，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过线段上两点、分别作轴的垂线，垂足为、，记的面积为，的面积为．
若点的横坐标为，求的值；
若，求证：．

26.  本小题分
定义：如图，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”．
应用：如图，矩形中，，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，说明点为线段的“白银分割点”．
已知线段如图，作线段的一个“白银分割点”要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法

 

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
求抛物线的函数表达式；
当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
若点是抛物线对称轴上一动点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标．

28.  本小题分
已知：在矩形中，，，点是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
如图，当点与点、均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接、、．
求证：四边形是平行四边形；
当时，求四边形的面积．
如图，设，用含的式子表示四边形的面积，并求出的最大值及此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：绝对值最小的数是．
故选：．
根据是绝对值最小的数即可求解．
本题考查了实数大小比较，绝对值，关键是熟悉是绝对值最小的数的知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方的运算法则计算；
B、把多项式合并同类项；
C、用完全平方公式计算；
D、根据同底数的幂相除的运算法则计算．
本题考查了积的乘方、合并同类项、完全平方公式、同底数的幂相除，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故函数中自变量的取值范围是．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于，可以求出的范围．
本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

4.【答案】 

【解析】解：、此次调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是，故B符合题意；
C、名学生的视力情况是总体，故C不符合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、线段既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：．
主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线互相垂直，故是假命题；
矩形的对角线相等，故是假命题；
平行四边形的对角线互相平分，故是真命题；
正方形的对角线相等且互相垂直平分，故是真命题；
真命题有，共个，
故选：．
根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形和特殊的平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟练求出正多边形的中心角是解题的关键．
连接、，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】
解：连接、，

正多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
，，
．
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
，
，
，
，
故选：．
根据题意列方程组得到，由于，于是得到，即可得到结论．
考查了一次函数的图象上点的坐标特征，根据坐标特征列出方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，标记如下：

根据题意可知，为等边三角形，
，，
，
在上取点，使，
，
在和中，
，
≌，
设，
，
，
，
，
，
，
，



，
的最小值为：，
的最小值，
故选：．
由等边三角形的性质可得，在上取点，使，利用全等三角形的判定与性质可得，然后利用勾股定理可得答案．
此题考查的是旋转的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，



．
故答案为：．
先根据幂的乘方进行变形，再整体代入，最后求出答案即可．
本题考查了幂的乘方，能熟记幂的乘方法则是解此题的关键，．
 

13.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可表示为．
故答案为：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示较小数的方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，则，
点，在同一反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次方程，解方程即可解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键为发现反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为定值．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，
圆锥的底面周长为，
这个圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
这个圆锥的侧面积为：．
故答案为：．
根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

16.【答案】如果在三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 

【解析】解：“直角三角形两个锐角互余”这个命题的逆命题是如果在三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；
故答案为：如果在三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
将原命题的条件和结论互换得出逆命题即可．
此题考查命题和定理，关键是写出原命题的条件和结论．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，作交于点，如图，

，，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
，
，
即，
，
在等腰直角中，，
，
在直角中，，
，
解得：，




．
故答案为：．
过点作交于点，作交于点，由三角形的内角和可得，则可判定是等腰直角三角形，则有也是等腰直角三角形，则，再由外角性质可求得，得，利用勾股定理求得，结合三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是作出正确的辅助线．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作，

，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
过点作和的平行线，两线交于点，
则四边形为平行四边形，
，
则，
即求的最小值，可先求出，
只要、、三点在一条直线上即可，
此时，

，
四边形是平行四边形，
，，，
分别过点，作的垂线，，过点，作的垂线，，
，，
，，
同理可得：，
，
在中，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
先求出的长，通过平移将转化为，从而将转化为，再根据垂线段最短，确定出的最小值为点到的垂线段长，从而解决问题．
本题考查最短路径问题，涉及到平移，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，将转化为是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】先根据零指数幂，负整数指数幂和二次根式的性质进行计算，再算乘法即可；
先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解是． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
解：≌，
，，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，进而利用三角形外角性质得出，利用证明三角形全等即可；
根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明三角形全等解答．
 

22.【答案】 

【解析】解：九班的学生人数为名．
故答案为：；
人．
估计全校名学生大约有人选择主题．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中他们选择相同主题的结果有种，
他们选择相同主题的概率为．
用选择的学生人数除以其所占的百分比可得九班的学生人数．
根据用样本估计总体，用乘以本次调查中选择主题的学生所占的百分比即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和他们选择相同主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解折线统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：是等腰三角形，
证明：平分交于点，
，
是的直径，
，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
，，
，
，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
，
，
的长是． 

【解析】由是的直径，得，可证明，由切线的性质得，则，所以，即可证明是等腰三角形；
由，得，由勾股定理得，可求得，则，即可根据勾股定理求得．
此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与角直角三角形等知识，证明是解题的关键．
 

24.【答案】解：设种植每棵种景观树和每棵种景观树各需要元和元，
根据题意，得
解得
答：种植每棵种景观树和每棵种景观树各需要元和元；
不够用．
理由如下：
设种植种景观树棵，则种植种景观树棵，
根据题意，得
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
此不等式组无解，
因此投入的钱不够用． 

【解析】设出未知数，根据“种植棵种、棵种景观树需要元”和“种植棵种、棵种景观树需要元”列二元一次方程组，解出即可；
设出未知数，根据“总成活率不低于”和“种植、两种景观树总投入不超过万元”列出一元一次不等式组，解出，若有解则够用，无解则不够用．
本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，找到题目中的相等关系和不等关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：点的横坐标为，
为．
．
证明：依据题意，可设，，其中，
，．
．
，
．
又，
，
．
，
．
．
又，
．
．
．
． 

【解析】依据一次函数图象上点的坐标特征，求出点的纵坐标，然后利用面积公式求解；
根据题意，设出，两点的坐标，再利用作差法求出的值，然后分析出的符号，即可作出判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及利用作差法比较大小，熟悉一次函数图象上各个点的特征是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，
四边形是矩形，
，
由题意得：，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点为线段的“白银分割点”．
如图所示：
 

【解析】由折叠的性质得到，，由勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，因此，从而推出是等腰直角三角形，得到，即可解决问题；
过作的垂线，在上截取，连接，作的角平分线，交于，即为所求．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，关键是掌握新概念：“白银分割点”，基本作图；由折叠的性质得到是等腰直角三角形．
 

27.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴交于点，

设，则，
，
，
∽，
，
当时，取得最大值，此时，；
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，又，，
当、为菱形的对角线时，，
，
解得：或，
点的坐标为或；
当、为菱形的对角线时，，
，
解得：，
点的坐标为；
当、为菱形的对角线时，，
，
解得：或，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或或． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
运用待定系数法求得直线的解析式为，如图，过点作轴交于点，设，则，可得，证明∽，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
先求出抛物线的对称轴，设，，根据对角线的情况分三种情况讨论，再由中点坐标公式和邻边相等建立方程组求出、的值即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质及判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
 

28.【答案】证明：将矩形沿折叠，
，
即，
，
点是的中点，
，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：如图，连接交于，

将矩形折叠，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
四边形的面积；
解：如图，连接，
由折叠知：点与点关于对称，
，
在中，
，
解得，
在中，
，
在中，
，
即，
解得，
四边形为梯形，



，
，
故四边形的面积存在最大值，
当时，四边形的面积的最大值为． 

【解析】由“”可证≌，可得，由平行四边形的判定可得结论；
连接交于，由折叠的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的中位线定理可得，可求，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求的长，即可求解；
四边形是梯形，利用勾股定理列方程，用表示其两底，，再根据梯形面积公式求出面积关于的函数解析式求解即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数最值等知识，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键．