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广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
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这是一份广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A.B.复数在复平面内对应的点在第一象限
C.D.
2.已知向量，，且，则（ ）
A.B.C.D.5
3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°
4.若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等.则（ ）
A.B.
C.D.
7.设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A.B.C.D.
8.如图为五面体，其中四边形为矩形，，，和都是正三角形，则该五面体的体积为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.复数在复平面内对应的点为，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若是关于的方程的一个根，则
D.若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A若，则为锐角三角形
B.若为锐角三角形，则
C.若，则为等腰三角形
D.若，则是等腰三角形
11.在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是（ ）
A.
B.若，则的最小值为2
C.若，设，则的最大值为
D.若在内部（不含边界），且，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若（i为虚数单位，是的共轭复数），则______
13.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某人选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高______m.
14.在等腰梯形中，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在中，，，，为角平分线，D在线段BC上。
（1）求AD的长度；
（2）过点D作直线交AB、AC于不同点E、F，且，，求的值
16.（15分）
将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：.已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且.
（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值：若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角。
17.（15分）
如图，斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对.在斜坐标系xOy中完成下列问题：
（1）若向量的坐标为，计算的大小；
（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若，则；命题②：若，则.
18.（17分）
在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足）.灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.
（1）当时，求四边形的面积：
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式。并求出的最小值.
19.（17分）
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
2023-2024学年度第二学期虎门外语学校3月月考
高一数学答案
1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A
9.BCD10.BD11.BC
12.13.14.
15.解：（1）根据角平分线定理：，，
.
，
，即；
（2）.
∵E、D、F三点共线，，.
16.解：（1）由题意得，
所以.即，
.
所以.
因为为钝角，所以，
故.
故与不可能垂直.
（2）因为，所以.
所以.
当时，，所以，此时.
因为，
所以.
又用为.所以.
17.解：（1）由题知，故
（2）由题知，，
命题①是真命题.
a.当时，即.显然；
b.当时，即，至少一个不为0，不妨设，
若，则存在，使得，故，
即，因为，不共线，所以，
由，带入得，即.
综上所述，命题“若，则”是真命题.
命题②是假命题.
解法1：若，
则
，
当时，结论不成立。
所以，命题“若，则是假命题.
解法2：令的坐标为，的坐标为，则，
因为，所以，
此时所以，命题“若，则”是假命题.
18.解：（1）当时，，所以，
所以是等边三角形，所以.
所以在中，，
即，
所以.
（2），.
.
在中，由正弦定理得
.所以
所以
在中，由正弦定理得，所以，
所以，所以
（3）在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，所以，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于的函数表达式为.
最小值为.
19.解：（1），，
，
又，，
（舍），或.所以；
（2），.
∵为锐角三角形，，.
，，
即，，
令，，，
由于在上单调递减，在上单调递增。
所以当时，；
当或，，则，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A.B.复数在复平面内对应的点在第一象限
C.D.
2.已知向量，，且，则（ ）
A.B.C.D.5
3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°
4.若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等.则（ ）
A.B.
C.D.
7.设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A.B.C.D.
8.如图为五面体，其中四边形为矩形，，，和都是正三角形，则该五面体的体积为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.复数在复平面内对应的点为，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若是关于的方程的一个根，则
D.若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A若，则为锐角三角形
B.若为锐角三角形，则
C.若，则为等腰三角形
D.若，则是等腰三角形
11.在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是（ ）
A.
B.若，则的最小值为2
C.若，设，则的最大值为
D.若在内部（不含边界），且，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若（i为虚数单位，是的共轭复数），则______
13.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某人选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高______m.
14.在等腰梯形中，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在中，，，，为角平分线，D在线段BC上。
（1）求AD的长度；
（2）过点D作直线交AB、AC于不同点E、F，且，，求的值
16.（15分）
将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：.已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且.
（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值：若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角。
17.（15分）
如图，斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对.在斜坐标系xOy中完成下列问题：
（1）若向量的坐标为，计算的大小；
（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若，则；命题②：若，则.
18.（17分）
在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足）.灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.
（1）当时，求四边形的面积：
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式。并求出的最小值.
19.（17分）
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
2023-2024学年度第二学期虎门外语学校3月月考
高一数学答案
1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A
9.BCD10.BD11.BC
12.13.14.
15.解：（1）根据角平分线定理：，，
.
，
，即；
（2）.
∵E、D、F三点共线，，.
16.解：（1）由题意得，
所以.即，
.
所以.
因为为钝角，所以，
故.
故与不可能垂直.
（2）因为，所以.
所以.
当时，，所以，此时.
因为，
所以.
又用为.所以.
17.解：（1）由题知，故
（2）由题知，，
命题①是真命题.
a.当时，即.显然；
b.当时，即，至少一个不为0，不妨设，
若，则存在，使得，故，
即，因为，不共线，所以，
由，带入得，即.
综上所述，命题“若，则”是真命题.
命题②是假命题.
解法1：若，
则
，
当时，结论不成立。
所以，命题“若，则是假命题.
解法2：令的坐标为，的坐标为，则，
因为，所以，
此时所以，命题“若，则”是假命题.
18.解：（1）当时，，所以，
所以是等边三角形，所以.
所以在中，，
即，
所以.
（2），.
.
在中，由正弦定理得
.所以
所以
在中，由正弦定理得，所以，
所以，所以
（3）在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，所以，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于的函数表达式为.
最小值为.
19.解：（1），，
，
又，，
（舍），或.所以；
（2），.
∵为锐角三角形，，.
，，
即，，
令，，，
由于在上单调递减，在上单调递增。
所以当时，；
当或，，则，
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