广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

虎门外语学校2023-2024学年度第一学期10月月考

高二数学试题

考试时间：120分钟，满分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.

1.已知，，，则，的值分别为（    ）

A. B.5，2 C. D.

2.如图在四面体中，M，N分别在棱，上且满足，，点G是线段的中点，用向量，，表示向量应为（    ）

A. B.

C. D.

3.如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（    ）

A. B. C. D.

4.若向量垂直于向量和，向量（，，且），则（    ）

A.  B.

C.不平行于，也不垂直于 D.以上都有可能

5.若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

6.如图，在正四面体中，D，E，F分别是，，的中点，下面四个结论不成立的是（    ）

A.平面  B.平面

C.平面平面 D.平面平面

7.已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（    ）

A. B. C.2 D.3

8.在正方体中，在正方形中有一动点P，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（    ）

A.1 B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得２分，有选错的得０分．

9.已知：为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），下列说法中正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，M、N分别为、的中点.则（    ）

A.  B.

C.平面  D.与平面所在的角为

11.在正方体中，有下列说法，其中正确的有（    ）

A. B.

C.与的夹角为 D.正方体的体积为

12.如图，正方体中，E为的中点，P为棱上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A.存在点P，使平面 B.存在点P，使

C.四面体的体积为定值 D.二面角的余弦值取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在空间直角坐标系中，已知点，，则______

14.已知，，，，，若，则的值为______

15.在正四面体中，M，N分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______

16.已知等腰直角三角形的直角顶点为，点A的坐标为，则点B的坐标可能为______

四、解答题：共6小题，17小题10分，其它小题均为12分，共70分.

17.已知点、.

（1）求直线的倾斜角；

（2）过点的直线m与过、两点的线段有公共点，求直线m斜率的取值范围.

18.如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是，的中点.

（1）用向量，，表示，；

（2）若，求实数x，y，z的值.

19.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.

（1）证明：；

（2）若，设Q为中点，求直线与平面所成角的余弦值.

20.如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，M是线段的中点.已知，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）直线上是否存在点N，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由

21.如图，在三棱锥中，，，O为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若点M在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.

22.如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转，得到四棱锥.

（1）若，求证：平面平面；

（2）是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

虎门外语学校2023-2024学年度第一学期10月月考

高二数学答案

一、单项选择题AABB  CDBD

二、多项选择题AB  CD  AB  BC

三、填空题13.  14.  15.  16.或

四、解答题

17.（1）由已知得：直线的斜率，又，

（2）直线的斜率直线的斜率

过点直线m与过A，B两点的线段有公共点，

直线m斜率的取值范围为

18.（1）

（2）

，，

19.（1）依题意，面面，，

面，面面，

面.又面，.

（2）解法一：向量法

在中，取中点O，，，面，

以O为坐标原点，分别以为x轴，过点O且平行于的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设，，，

，，，，，

，，.

设面法向量为，

则，解得.

设直线与平面所成角为，

则因为，.所以直线与平面所成角的余弦值为.

（2）解法二；几何法

过P作交于点O，则O为中点，过A作的平行线，过P作的平行线，交点为E，连结，过A作交于点H，连结，连结，取中点M，连结，，

四边形为矩形，所以面，所以，

又，所以面，

所以为线与面所成的角.

令，则，，，

由同一个三角形面积相等可得，

为直角三角形，由勾股定理可得，

所以，又因为为锐角，所以，

所以直线与平面所成角的余弦值为.

20.（1）因为底面，底面，CD⊂底面，

所以，.因为底面是矩形，所以.

如图，以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则，，，，.

因为M是线段的中点，故，，.

设平面的法向量为，则，即

令，则，，于是.因为底面，所以为平面的法向量.

又，所以.

由题知二面角是锐角，所以其余弦值为.

（2）因为N为直线上一点，，其中，.

又，且与垂直，解得.

所以存在点，使得与垂直，

此时，，的长为.

21.（1）证明：连接，，O是的中点，，且，

又，，，则，则，，平面；

（2）建立以O坐标原点，，，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

，，，，，

设，

则，

则平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，

则，

令，则，，即，

二面角为，，即，解得或（含），

则平面的法向量，

与平面所成角的正弦值.

22.（1）证明：若，则平面、平面为同一个平面，

连接，，则M是中点，是中点，

故是的中位线，所以，.

因为，，所以平面四边形是平行四边形，所以.

又平面，平面，所以平面.

同理平面，且平面，平面，，

所以，平面平面.

（2）假设存在，使得直线平面.

以C为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，故，.

设是平面的法向量，则，

所以，取，得是平面的一个法向量，

取中点P，中点Q，连接，，

则，，.

于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，

是二面角的平面角，于是，，

所以，且平面，，

故，同理，

所以，

因为，，

所以.

若直线平面，是平面的一个法向量，则.

即存在，使得，则此方程组无解，

所以，不存在，使得直线平面.