2024年陕西省西安市未央区经开第二学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市未央区经开第二学校中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12B．12C．﹣2D．2
2．（3分）2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为（ ）
A．64°B．66°C．84°D．86°
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．2B．3C．D．
6．（3分）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠C＝120°，AB＝AD＝8，则点O到BD的距离是（ ）
A．B．C．3D．4
8．（3分）抛物线（x为自变量）经过点，B（4b+c，m），且该抛物线与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．2B．4C．5D．7
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，无理数有 个．
10．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 度．
11．（3分）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝ ．
12．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且 AD＝，反比例函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为2，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰Rt△BAE，顶点E恰好落在CD边上，若CE＝6，则AD的长是 ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：2÷（﹣）﹣|﹣|﹣（）﹣1．
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）计算：（+）÷．
17．（5分）如图，Rt△ABC的斜边AB在直线l上，将△ABC绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），使得点C的对应点C′落在直线l上．请用尺规作图法，作出点A的对应点A′．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．
19．（5分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
20．（5分）一家商店将某种服装按进价提高20%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件仍获利18元，这种服装每件的进价是多少？
21．（6分）如图，堤坝AB长为15m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高25m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′，求山高DE的长．（sin26°35′≈0.45，cs26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计）
22．（7分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
（1）根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
23．（7分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八﹣九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
24．（8分）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若⊙O的半径为6，tanB＝，求AD的长．
25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（﹣3，8），求抛物线L2对应的函数关系式；
（2）连接BC．设点Q是抛物线L1上且位于其对称轴右侧的一个动点，若△DPQ与△BOC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，若，则MN的长为 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，AD＝6，点E为AD上的靠近点A的三等分点，点F为AB上的动点，将△AEF折叠，点A的对应点为点G，求CG的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE，已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AE＝40m，BC＝CD＝80m，点C处为参观入口，DE的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
2024年陕西省西安市未央区经开第二学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12B．12C．﹣2D．2
【分析】利用有理数的减法法则运算即可．
【解答】解：原式＝（﹣7）+5
＝﹣2．
故选：C．
2．（3分）2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为（ ）
A．64°B．66°C．84°D．86°
【分析】根据对顶角相等结合已知可求出∠1的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠2＝232°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝116°，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝64°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝64°，
故选：A．
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则及平方差公式将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．x3•x3＝x6，
则A不符合题意；
B．2x3+3x3＝5x3，
则B不符合题意；
C．（2x2）3＝8x6，
则C不符合题意；
D．（2+3x）（2﹣3x）
＝22﹣（3x）2
＝4﹣9x2，
则D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得OA的长，继而可求得AC的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．
【解答】解：如图，设BD与AC的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，，AC⊥BD，
∴，
∴AC＝2OA＝6，
∵，
∴，
故选：C．
6．（3分）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】首先根据一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，得k＞0，然后再根据题目中的四个选项即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴x＝2时，y＞1，
故选：D．
7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠C＝120°，AB＝AD＝8，则点O到BD的距离是（ ）
A．B．C．3D．4
【分析】连接AO并延长交BD于E，连接OB，先求出∠BAD＝60°，进而得△ABD为等边三角形，根据⊙O是等边△ABD的外接圆得AE⊥BD，BE＝DE＝BD＝4，OB平分∠ABD然后解Rt△OBE求出OE即可．
【解答】解：连接AO并延长交BD于E，连接OB，如下图所示：

∵点A、B、C、D在⊙O上，∠C＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠C＝60°，
∵AB＝AD＝8，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝8，∠ABD＝60°
又∵⊙O是△ABD的外接圆，
∴AE⊥BD，BE＝DE＝BD＝4，OB平分∠ABD
∴∠OBE＝∠ABD＝30°，
在Rt△OBE中，tan∠OBE＝，
∴OE＝BE•tan∠OBE＝4×tan30°＝．
故选：A．
8．（3分）抛物线（x为自变量）经过点，B（4b+c，m），且该抛物线与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．2B．4C．5D．7
【分析】根据二次函数的性质可知＝﹣，再根据经过，B（4b+c，m）两点的抛物线（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4××（b2﹣c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
【解答】解：∵经过，B（4b+c，m）两点的抛物线（x为自变量）与x轴有交点，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4××（b2﹣c）≥0，
∴b＝c+，b2≤2c，
∴（c+）2≤2c，
∴（c﹣）2≤0，
∴c﹣＝0，
解得c＝，
∴b＝c+＝1，
∴AB＝|（4b+c）﹣（﹣3b）|
＝|4b+c﹣+3b|
＝|7b+c﹣|
＝|7×1+﹣|
＝7．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，无理数有 2 个．
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：，π是无限不循环小数，它们均为无理数，共2个，
故答案为：2．
10．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 45 度．
【分析】由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B＝∠BAE＝108°，
由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，
∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，
∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．
故答案为：45．
11．（3分）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝ 39 ．
【分析】设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m＝3x．
【解答】解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，
∴16+4＝7+x，
∴x＝13，
根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，
∴m＝3x＝39，
故答案为：39．
12．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且 AD＝，反比例函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为2，则k的值为 ．
【分析】根据△ODM的面积和△BDM的面积求出△ODA的面积，再根据三角形的面积来求出k的值．
【解答】解：∵点M矩形OABC的对称中心，
∴沿长OM，则交于点B，
∴△ODM的面积＝△BDM的面积＝2；
又∵AD＝，
∴AD＝BD，
∴△ODA的面积＝（△ODM的面积+△BDM的面积）＝．
∴|k|＝，
解得k＝±，
∵反比例函数在第一象限，
∴k＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰Rt△BAE，顶点E恰好落在CD边上，若CE＝6，则AD的长是 3 ．
【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点E作EH⊥BC于H，HE的延长线角AD的延长于G，先证四边形AFHG为矩形，再证△ABF和△AEG全等得AF＝AG，进而得矩形AFHG为正方形，然后证△DGE和△HCE均为等腰直角三角形，进而可得AD＝EH，最后再解直角三角形求出EH即可得解．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，过点E作EH⊥BC于H，HE的延长线交AD的延长线于G，如图所示：
则∠AFH＝∠GHF＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠FAG＝∠G＝90°，
∴四边形AFHG为矩形，
∴△ABE为等腰直角三角形，且AB＝AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAF+∠FAE＝90°，
∵∠FAG＝90°，
∴∠EAG+∠FAE＝90°，
∴∠BAF＝∠EAG，
∵∠AFH＝90°，
∴∠AFB＝∠G＝90°，
在△ABF和△AEG中，
，
∴△ABF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴矩形AFHG为正方形，
∴AG＝GH，
∵AD∥BC，∠C＝45°，
∴∠EDG＝∠C＝45°，
又∵EH⊥BC，∠G＝90°，
∴△DGE和△HCE均为等腰直角三角形，
∴GD＝GE，HC＝HE，
∴AG﹣DG＝GH﹣GE，
∴AD＝EH，
在等腰直角△HCE中，EH＝CE，
∵CE＝6，
∴EH＝3，
∴AD＝3，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：2÷（﹣）﹣|﹣|﹣（）﹣1．
【分析】利用有理数的除法法则，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2×（﹣3）﹣2﹣4
＝﹣6﹣2﹣4
＝﹣10﹣2．
15．（5分）解不等式组．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜2.5，
解不等式②，得：x≤，
∴该不等式组的解集是x≤．
16．（5分）计算：（+）÷．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝．
17．（5分）如图，Rt△ABC的斜边AB在直线l上，将△ABC绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），使得点C的对应点C′落在直线l上．请用尺规作图法，作出点A的对应点A′．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【分析】以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交直线l于点C'，再根据作一个角等于已知角的方法作∠ABQ＝∠CBC'，最后以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与射线BQ的交点即为点A'．
【解答】解：如图，以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交直线l于点C'，再根据作一个角等于已知角的方法作∠ABQ＝∠CBC'，最后以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，交射线BQ于点A'，
则点A'即为所求．
18．（5分）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．
【分析】根据平行线的判定和性质定理以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠B＝∠AGF，
∴BC∥EG，
∴∠BCA＝∠EFD，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．（5分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）＝；
（2）画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）＝．
20．（5分）一家商店将某种服装按进价提高20%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件仍获利18元，这种服装每件的进价是多少？
【分析】根据售价﹣进价＝利润列出方程求解即可．
【解答】解：设这种服装每件的进价是x元，
根据题意得，（1+20%）x×0.9﹣x＝18，
解得x＝225，
答：这种服装每件的进价是225元．
21．（6分）如图，堤坝AB长为15m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高25m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′，求山高DE的长．（sin26°35′≈0.45，cs26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计）
【分析】过B作BH⊥AE于H，设BH＝4x m，AH＝3x m，根据勾股定理得到AB＝＝5x＝15m，求得AH＝9m，BH＝12m，过B作BF⊥CE于F，则EF＝BH＝12m，BF＝EH，设DF＝a m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作 BH⊥AE于H，
∵坡度i为1：0.75，
∴设 BH＝4x m，AH＝3x m，
∴AB＝＝5x＝15m，
∴x＝3，
∴AH＝9m，BH＝12m，
过B作BF⊥CE于F，则四边形BHEF是矩形，
则 EF＝BH＝12m，BF＝EH，
设 DF＝a m，
∵α＝26°35'；
∴BF＝＝＝2a m，
∴AE＝（9+2a）m，
∵坡度i为1：0.75，
∴CE：AE＝（25+a+12）：（9+2a）＝1：0.75，
∴a＝15，
∴DF＝15（米），
∴DE＝DF+EF＝15+12＝27（米），
答：山高DE为27米．
22．（7分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
（1）根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
【分析】（1）由反比例函数，一次函数的性质，即可判断，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）把t＝20，代入一次函数的关系式，求出y＝4.5×20+3＝93，即可得到答案．
【解答】解：（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少4.5毫升的水，而1分钟后的水量不是4.5毫升，故可得y＝kt+b能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
把t＝1代入y＝kt+b，可得7.5＝k+b，把t＝2代入y＝kt+b得12＝2k+b，解得k＝4.5，b＝3，
∴y关于t的表达式 y＝4.5t+3；
（2）当 t＝20 时，y＝4.5×20+3＝93，
∴小明在第20分钟测量时量筒的总水量是93毫升．
23．（7分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八﹣九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 84 ，b＝ 87 ，c＝ 100 ．
（2）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84；
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100；
九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为×100%＝80%，即c＝80%；
故答案为：84，87，100；
（2）600×＝240（人），
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约240人．
24．（8分）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若⊙O的半径为6，tanB＝，求AD的长．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得出∠OAB＝90°，再由平行线的性质得出∠AOC＝90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）设OA与BC交于点E，根据平行线的性质得出∠B＝∠OCE，根据tan∠OCE＝，求得OE＝2，进而勾股定理求得BE，过点A作AF⊥BC于点F，等面积法求得AF，进而根据△ADF为等腰直角三角形，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA，如图所示：

∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝45°，
∴∠OCA＝∠ADC；
（2）解：如图，设OA与BC交于点E，
∵OC∥AB，
∴∠B＝∠OCE，
∵tanB＝，
∴tan∠OCE＝，
∵⊙O的半径为6，
∴OC＝OA＝6，
∴tan∠OCE＝，
∴OE＝2，
∴AE＝OA﹣OE＝6﹣2＝4，
在Rt△ABE中，tanB＝，
∴AB＝12，
∴BE＝，过点A作AF⊥BC于点F，
∴，
由（1）得∠OCA＝∠ADC＝45°，
∴△ADF为等腰直角三角形，AD＝AF＝．
25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（﹣3，8），求抛物线L2对应的函数关系式；
（2）连接BC．设点Q是抛物线L1上且位于其对称轴右侧的一个动点，若△DPQ与△BOC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线L2的函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），将点（﹣3，8）代入y＝a（x+1）（x﹣5）求出a的值，即可求函数的解析式；
（2）根据题意可知△DPQ也是等腰直角三角形，分两种情况讨论：①当∠DPQ＝90°时，②当∠DQP＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：（1）当﹣x2+4x+5＝0时，解得x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设抛物线L2的函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
将点（﹣3，8）代入得 8＝a（﹣3+1）×（﹣3﹣5），
解得a＝，
∴抛物线L2的函数解析式为y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5交y轴于点C，
∴C（0，5），顶点为D（2，9），
∴OB＝OC＝5，
∴△BOC 为等腰直角三角形，
∴△DPQ也是等腰直角三角形，
由题意可知∠PDQ不可能为直角，
①当∠DPQ＝90°时，如图①，△DPQ∽△BOC或△DPQ∽△COB，则DP＝QP，
设Q（m，﹣m2+4m+5），
∴QP＝m﹣2，DP＝9﹣（﹣m2+4m+5），
∴m﹣2＝9﹣（﹣m2+4m+5），解得m1＝2（舍去），m2＝3，
∴当m＝3 时，﹣m2+4m+5＝8，
∴P的坐标为（2，8）；
②当∠DQP＝90°时，如图②，△DPQ∽△BCO或△DPQ∽△CBO，过点Q作QM⊥DP，垂足为点M，则DM＝QM＝MP，
由①可知M（2，8），
∴MP＝DM＝1，
∴P（2，7），
综上所述：点P的坐标为（2，8）或（2，7）．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，若，则MN的长为 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，AD＝6，点E为AD上的靠近点A的三等分点，点F为AB上的动点，将△AEF折叠，点A的对应点为点G，求CG的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE，已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AE＝40m，BC＝CD＝80m，点C处为参观入口，DE的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得出答案；
（2）由折叠得：AE＝EG，得出点G在以点E为圆心，AE长为半径的⊙E上运动，由勾股定理求出CE的长，则可得出答案；
（3）延长DC至点F，使CF＝CD，连接EF，求出AG＝AB+BG＝120m．过点F作FH⊥AG交AG延长线于点H，由勾股定理求出AF的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN＝BC，
∵BC＝2，
∴MN＝，
故答案为：；
（2）∵在正方形ABCD中，AD＝6，点E为AD上的靠近点A的三等分点，
∴AE＝2，DE＝4，
由折叠得：AE＝EG，
∴点G在以点E为圆心，AE长为半径的⊙E上运动，
如图①，作⊙E，连接CE交⊙E于点H，
∴CG≥CE﹣EG，
∴当点C，E，G三点共线，即点G和点H重合时，CG取得最小值，最小值为CH的长．
∵在Rt△CDE中，，
∴CG的最小值为；
（3）如图②，延长DC至点F，使CF＝CD，连接EF，
∵点P为DE的中点，点C为DF的中点，
∴PC为△DEF 的中位线，
∴，
∴当EF最小时，PC最小，
由AB＝AE，可看作点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，连接AF，
设AF与⊙A的交点为点E'；则EF的最小值为E'F的长．过点F作FG∥BC交AB的延长线于点G，
∴∠ABC＝∠FGB＝120°，
∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴CF∥BG，
∴四边形BCFG为平行四边形，
∴CF＝BG＝80m，BC＝FG＝80m，
∴AG＝AB+BG＝120m．
过点F作FH⊥AG交AG延长线于点H，
∴∠FGH＝60°，
∴在Rt△FHG中，，，
∴AH＝AG+HG＝160m，
∴，
∴E'F＝AF﹣AE'＝40﹣40（m），
∴CP的最小值＝E'F＝（40﹣40）＝20﹣20，
∴点C与点P之间的最小距离为 ．
时间t（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y（单位：毫升）
7.5
12
16.5
21
25.5
…
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
b
98
60%
九
a
86
c
80%
时间t（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y（单位：毫升）
7.5
12
16.5
21
25.5
…
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
b
98
60%
九
a
86
c
80%