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高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第五节 机械能守恒定律学案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第五节 机械能守恒定律学案，共23页。
知识点一 动能与势能的转化
1．机械能
动能与势能(包括重力势能和弹性势能)统称机械能。
2．重力势能与动能
物体下落的过程中，重力做正功，重力势能转化为动能；物体离开地面至上升到最高点的过程中，重力做负功，动能转化为重力势能。
3．动能、重力势能、弹性势能的相互转化
物体与地面接触至下落到最低点的过程中，重力做正功，弹力做负功，动能和重力势能转化为弹性势能；物体从最低点上升至离开地面的过程中，重力做负功，弹力做正功，弹性势能转化为动能和重力势能。
说明：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。( × )
(2)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。( √ )
(3)通过弹力做功，动能和弹性势能可以相互转化。( √ )
知识点二 机械能守恒定律的理论验证
1．机械能守恒定律的内容
在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量保持不变，这就是机械能守恒定律。
2．机械能守恒定律的表达式
Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2或mgh1+12mv12＝mgh2+12 mv22
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
说明：“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。( × )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。( × )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。( √ )
3：填空
如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面。若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能为(不计空气阻力)_________。
提示：由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为12mv02。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变。
考点1 机械能守恒条件及判断
1．机械能守恒的几种常见情况
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
分析物体受力⇒明确各力做功情况 ⇒只有重力对物体做功或者有其他力对物 体做功，但其他力 做的总功为0 ⇒物体机械能守恒
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
分析能量种类⇒只有动能、重力势能及弹性势 能的相互转化 ⇒系统机械能守恒
【典例1】 如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物体的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D [甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，系统的机械能总量保持不变。
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
(3)机械能守恒是根据除重力及系统内弹力以外的力(不是合力)的功判断的，除重力及系统内弹力以外的力不做功，机械能就守恒。
[跟进训练]
1．如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小。
[解析] (1)从A至B的过程中，物体受到重力、支持力作用。重力做正功，支持力不做功。
(2)EA＝mgh1+12mv1 2
EB＝mgh2+12mv2 2。
(3)由动能定理得：WG＝12mv22-12mv12
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得：12mv22＋mgh2＝12mv12＋mgh1
即EB＝EA。
[答案] 见解析
考点2 机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
角度1 单个物体的机械能守恒
【典例2】 假设运动员从雪道的最高点A(如图所示)由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度有多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2)
[解析] 方法一 由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2解(必须选择参考平面)
滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得：12mvB2＝mgh1
h1＝5 m－1 m＝4 m
得vB＝2gh1＝45 m/s≈8.9 m/s；
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
12mvB2＝-mgh2+12 mvC2
其中h2＝10 m，故vC＝2gh1+h2＝270 m/s≈16.7 m/s。
方法二 由ΔEk＝－ΔEp解(不需要选择参考平面)
滑雪过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒
由A到B过程中，由机械能守恒定律得：
mghAB＝12mvB2
hAB＝5 m－1 m＝4 m
得vB≈8.9 m/s；
由B到C过程中，由机械能守恒定律得：
mghBC＝12mvC2-12mvB2
hBC＝10 m
得vC≈16.7 m/s。
[答案] 8.9 m/s 16.7 m/s
角度2 多个物体组成的系统的机械能守恒
【典例3】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m，求：(g取10 m/s2)
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？
思路点拨：(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
[解析] (1)方法一 由E1＝E2解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋12(mA＋mB)v2，解得v＝2mB-mAghmA+mB＝2×5-3×10×0.83+5 m/s＝2 m/s。
方法二 由ΔEk＝－ΔEp解
对于A、B组成的系统，有12(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，解得v＝2 m/s。
方法三 由ΔEA＝－ΔEB解
对A、B组成的系统，有
mAgh＋12mAv2＝－12mBv2-mBgh，
解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝12mAv2，
解得h′＝v22g＝222×10 m＝0.2 m。
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
[跟进训练]
2．(角度1)(多选)如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。不计空气阻力，则小球( )
A．下落至C处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至D的过程中，动能先增大后减小
D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
ACD [小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以小球由B至D的过程中，动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。]
3．(角度2)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度。
[解析] 把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置为零势能位置，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，
末状态(即到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝12mvA 2+12mvB 2，
重力势能为Ep2＝mgL2，
由机械能守恒定律得2mgL＝12mgL+12mvA 2+12mvB 2，
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB 2，
联立解得vA＝215gL5，vB＝15gL5。
[答案] 215gL5 15gL5
1．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能参考平面的选取有关
[答案] D
2．(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
B [铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D错误。故选B。]
3．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R3 C．4R3 D．2R3
C [A、B的质量分别记为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝12(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，上升的高度为h′＝v22g，解得h′＝13R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝43R，选项C正确。]
4．如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C。已知重力加速度为g。求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小。
[解析] (1)小车恰能通过圆形轨道的最高点C，则有mg＝mvC2R，解得vC＝gR
选C点为零势能点，由A运动到C，根据机械能守恒定律得：mg(h－2R)＝12mvC2，解得h＝2.5R。
(2)选B点为零势能点，由A运动到B，根据机械能守恒定律得：mgh＝12mvB2，解得：vB＝5gR
小车在B点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝mvB2R 解得：FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，运动到B点时小车对圆形轨道的压力大小为6mg。
[答案] (1)2.5R (2)6mg
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹簧弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
提示：12mv1 2＋mgh1＝12mv2 2＋mgh2
课时分层作业(十六) 机械能守恒定律
题组一 机械能守恒条件及判断
1．奥运会比赛项目撑竿跳高如图所示，下列说法不正确的是( )
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横竿后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加
B [加速助跑过程中速度增大，动能增加，A对；撑竿从开始形变到撑竿恢复形变时，先是运动员部分动能转化为竿的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，竿的弹性势能不是一直增加，B错；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增加，所以运动员的重力势能增加，C对；当运动员越过横竿下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D对。]
2．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
D [重物由A点摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。]
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
C [斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
4．如图所示，上表面有一段光滑圆弧且质量为M的小车A置于光滑水平面上。在一质量为m的物体B自圆弧上端自由滑下的同时释放A，则( )
A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒
B．轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A和地球组成的系统的机械能守恒
D．A、B和地球组成的系统的机械能守恒
D [B下滑时对A有压力，A对B有支持力。A向左滑动，水平方向发生位移，B对A做正功，A对B做负功，因而A、B各自的机械能不守恒，A、B、C错；A、B和地球组成的系统没有与外界发生机械能的转移，也没有摩擦，机械能没有转化为其他形式的能，系统的机械能守恒，D对。]
题组二 机械能守恒定律的应用
5．一物体由h高处自由落下，以地面为参考平面，当物体的动能等于势能时，物体经历的时间为( )
A．2hg B．hg
C．h2gD．以上都不对
B [设物体动能等于势能时速度为v，根据机械能守恒12mv2＋Ep＝mgh，又12mv2＝Ep，解得v＝gh，而物体做自由落体运动，v＝gt，解得t＝hg，B正确。]
6．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3h2
D [竖直上抛和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝12mv0 2，所以h＝v0 22g，斜上抛运动物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝12mv0 2-12mv1 2，所以h27．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hA．gh2 B．2gh
C．gh3D．gh6
A [A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝12(m＋3m)v2，解得v＝gh2，A球落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为gh2，选项A正确。]
8．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体到海平面时的重力势能为mgh
B．物体到海平面之前任一位置机械能为12mv02－mgh
C．物体在海平面上的动能为12mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为12mv02
CD [物体到达海平面时位于参考平面以下，重力势能为－mgh，A错误；物体运动过程中，只有重力做功，机械能为12mv02，B错误，D正确；根据机械能守恒定律，可知物体在海平面上的动能Ek＝12mv2＝mgh+12mv02，C正确。]
9．蹦极是一项极限运动。为了研究蹦极过程，可将人视为质点，人的运动沿竖直方向，人离开蹦极台时的初速度、弹性绳的质量、空气阻力均可忽略。某次蹦极时，人从蹦极台跳下，到a点时弹性绳恰好伸直，人继续下落，能到达的最低位置为b点，如图所示。已知人的质量m＝50 kg，弹性绳的弹力大小F＝kx，其中x为弹性绳的形变量，k＝200 N/m, 弹性绳的原长l0＝10 m，整个过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内。取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求人第一次到达a点时的速度大小v；
(2)求人的速度最大时，弹性绳的长度；
(3)已知弹性绳的形变量为x时，它的弹性势能Ep＝12kx2，求人的最大速度大小。
[解析] (1)选a点为零势能点，人由蹦极台第一次到达a点的运动过程中，根据机械能守恒定律有mgl0＝12mv2，解得v＝102 m/s。
(2)人的速度最大时，重力等于弹力，即kx＝mg，解得x＝2.5 m，此时弹性绳的长度l＝l0＋x＝12.5 m。
(3)选速度最大处为零势能点，设人的最大速度为vm，根据人和弹性绳组成的系统机械能守恒得
mgl＝12kx2+12 mvm2
解得vm＝15 m/s。
[答案] (1)102 m/s (2)12.5 m (3)15 m/s
1．在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角的位置释放后小球绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有A、B两小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动。则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
A [甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时系统的机械能守恒；丙图中细绳绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图中细绳会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的运动轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒。]
2．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A的质量是B质量的6倍，A、B均可看成质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )
A．4v2g B．3v2g C．3v24g D．4v23g
B [将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两滑块沿绳方向的速度相等，有vBcs 60°＝vAcs 30°，所以vA＝33v；设A的质量为6m，B的质量为m，A、B组成的系统机械能守恒，有mgh＝12×6mvA2＋12mv2，所以有h＝3v22g，绳长l＝2h＝3v2g，故B正确，A、C、D错误。]
3．如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
[解析] (1)木块压缩弹簧的过程中，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能最大时，对应木块的动能为零，故有
Epm＝12mv02＝12×4×52 J＝50 J。
(2)由机械能守恒有
12mv02＝Ep1+12mv1 2
得Ep1＝32 J。
[答案] (1)50 J (2)32 J
4．如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45 m，末端与桌面相切。将质量m＝0.1 kg 的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧轨道的两端点，其连线水平，O为圆弧轨道的最低点。已知圆弧轨道对应圆心角θ＝106°，半径r＝1 m。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时，小球的速度大小；
(2)桌面离水平地面的高度h；
(3)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。
[解析] (1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端过程中机械能守恒，有mgR＝12mv12
解得v1＝3 m/s。
(2)小球离开桌面后以3 m/s的初速度做平抛运动，竖直方向有h＝12gt2，
小球恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，则tan 53°＝gtv1，
解得t＝0.4 s，h＝0.8 m。
(3)小球由A点到O点，由机械能守恒定律得
mg(h＋r－rcs 53°)＝12mvO2-12mv12，
在O点，由牛顿第二定律得F－mg＝mvO2r，
代入数据解得F＝4.3 N，
根据牛顿第三定律，小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小为4.3 N。
[答案] (1)3 m/s (2)0.8 m (3)4.3 N
学习任务
1．知道什么是机械能，理解机械能守恒定律的内容及条件，体会物理概念的重要意义。
2．会用能量观念分析具体实例中动能与势能之间的相互转化。
3．会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，并能运用机械能守恒定律解决有关问题。
4．认识机械能守恒定律对日常生活的影响，体会守恒思想对物理学的推动作用。
做功情况
例证
只有重力做功
所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒；物体沿固定的光滑平面或曲面运动时机械能守恒
只有弹力做功
轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块和弹簧组成的系统机械能守恒
只有重力和系统内的弹力做功
如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒
如图，所有摩擦不计，A在B上自由下滑的过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做正功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒
有其他力
做功，但
做功代数
和为0
如图，忽略绳的质量与摩擦，在A、B运动过程中，只有重力和细绳的拉力FA和FB做功，FA做负功，FB做正功，且WA＋WB＝0，故A、B组成的系统机械能守恒。但A(或B)的机械能不守恒，A的机械能减小，B的机械能增加
项目
表达式
物理意义
说明
从不同
状态看
守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须选零势能面
从转化
角度看
转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选零势能面
从转移
角度看
增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝-ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
知识点一 动能与势能的转化
1．机械能
动能与势能(包括重力势能和弹性势能)统称机械能。
2．重力势能与动能
物体下落的过程中，重力做正功，重力势能转化为动能；物体离开地面至上升到最高点的过程中，重力做负功，动能转化为重力势能。
3．动能、重力势能、弹性势能的相互转化
物体与地面接触至下落到最低点的过程中，重力做正功，弹力做负功，动能和重力势能转化为弹性势能；物体从最低点上升至离开地面的过程中，重力做负功，弹力做正功，弹性势能转化为动能和重力势能。
说明：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。( × )
(2)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。( √ )
(3)通过弹力做功，动能和弹性势能可以相互转化。( √ )
知识点二 机械能守恒定律的理论验证
1．机械能守恒定律的内容
在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量保持不变，这就是机械能守恒定律。
2．机械能守恒定律的表达式
Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2或mgh1+12mv12＝mgh2+12 mv22
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
说明：“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。( × )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。( × )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。( √ )
3：填空
如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面。若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能为(不计空气阻力)_________。
提示：由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为12mv02。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变。
考点1 机械能守恒条件及判断
1．机械能守恒的几种常见情况
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
分析物体受力⇒明确各力做功情况 ⇒只有重力对物体做功或者有其他力对物 体做功，但其他力 做的总功为0 ⇒物体机械能守恒
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
分析能量种类⇒只有动能、重力势能及弹性势 能的相互转化 ⇒系统机械能守恒
【典例1】 如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物体的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D [甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，系统的机械能总量保持不变。
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
(3)机械能守恒是根据除重力及系统内弹力以外的力(不是合力)的功判断的，除重力及系统内弹力以外的力不做功，机械能就守恒。
[跟进训练]
1．如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小。
[解析] (1)从A至B的过程中，物体受到重力、支持力作用。重力做正功，支持力不做功。
(2)EA＝mgh1+12mv1 2
EB＝mgh2+12mv2 2。
(3)由动能定理得：WG＝12mv22-12mv12
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得：12mv22＋mgh2＝12mv12＋mgh1
即EB＝EA。
[答案] 见解析
考点2 机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
角度1 单个物体的机械能守恒
【典例2】 假设运动员从雪道的最高点A(如图所示)由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度有多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2)
[解析] 方法一 由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2解(必须选择参考平面)
滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得：12mvB2＝mgh1
h1＝5 m－1 m＝4 m
得vB＝2gh1＝45 m/s≈8.9 m/s；
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
12mvB2＝-mgh2+12 mvC2
其中h2＝10 m，故vC＝2gh1+h2＝270 m/s≈16.7 m/s。
方法二 由ΔEk＝－ΔEp解(不需要选择参考平面)
滑雪过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒
由A到B过程中，由机械能守恒定律得：
mghAB＝12mvB2
hAB＝5 m－1 m＝4 m
得vB≈8.9 m/s；
由B到C过程中，由机械能守恒定律得：
mghBC＝12mvC2-12mvB2
hBC＝10 m
得vC≈16.7 m/s。
[答案] 8.9 m/s 16.7 m/s
角度2 多个物体组成的系统的机械能守恒
【典例3】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m，求：(g取10 m/s2)
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？
思路点拨：(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
[解析] (1)方法一 由E1＝E2解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋12(mA＋mB)v2，解得v＝2mB-mAghmA+mB＝2×5-3×10×0.83+5 m/s＝2 m/s。
方法二 由ΔEk＝－ΔEp解
对于A、B组成的系统，有12(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，解得v＝2 m/s。
方法三 由ΔEA＝－ΔEB解
对A、B组成的系统，有
mAgh＋12mAv2＝－12mBv2-mBgh，
解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝12mAv2，
解得h′＝v22g＝222×10 m＝0.2 m。
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
[跟进训练]
2．(角度1)(多选)如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。不计空气阻力，则小球( )
A．下落至C处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至D的过程中，动能先增大后减小
D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
ACD [小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以小球由B至D的过程中，动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。]
3．(角度2)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度。
[解析] 把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置为零势能位置，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，
末状态(即到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝12mvA 2+12mvB 2，
重力势能为Ep2＝mgL2，
由机械能守恒定律得2mgL＝12mgL+12mvA 2+12mvB 2，
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB 2，
联立解得vA＝215gL5，vB＝15gL5。
[答案] 215gL5 15gL5
1．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能参考平面的选取有关
[答案] D
2．(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
B [铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D错误。故选B。]
3．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R3 C．4R3 D．2R3
C [A、B的质量分别记为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝12(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，上升的高度为h′＝v22g，解得h′＝13R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝43R，选项C正确。]
4．如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C。已知重力加速度为g。求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小。
[解析] (1)小车恰能通过圆形轨道的最高点C，则有mg＝mvC2R，解得vC＝gR
选C点为零势能点，由A运动到C，根据机械能守恒定律得：mg(h－2R)＝12mvC2，解得h＝2.5R。
(2)选B点为零势能点，由A运动到B，根据机械能守恒定律得：mgh＝12mvB2，解得：vB＝5gR
小车在B点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝mvB2R 解得：FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，运动到B点时小车对圆形轨道的压力大小为6mg。
[答案] (1)2.5R (2)6mg
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹簧弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
提示：12mv1 2＋mgh1＝12mv2 2＋mgh2
课时分层作业(十六) 机械能守恒定律
题组一 机械能守恒条件及判断
1．奥运会比赛项目撑竿跳高如图所示，下列说法不正确的是( )
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横竿后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加
B [加速助跑过程中速度增大，动能增加，A对；撑竿从开始形变到撑竿恢复形变时，先是运动员部分动能转化为竿的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，竿的弹性势能不是一直增加，B错；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增加，所以运动员的重力势能增加，C对；当运动员越过横竿下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D对。]
2．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
D [重物由A点摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。]
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
C [斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
4．如图所示，上表面有一段光滑圆弧且质量为M的小车A置于光滑水平面上。在一质量为m的物体B自圆弧上端自由滑下的同时释放A，则( )
A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒
B．轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A和地球组成的系统的机械能守恒
D．A、B和地球组成的系统的机械能守恒
D [B下滑时对A有压力，A对B有支持力。A向左滑动，水平方向发生位移，B对A做正功，A对B做负功，因而A、B各自的机械能不守恒，A、B、C错；A、B和地球组成的系统没有与外界发生机械能的转移，也没有摩擦，机械能没有转化为其他形式的能，系统的机械能守恒，D对。]
题组二 机械能守恒定律的应用
5．一物体由h高处自由落下，以地面为参考平面，当物体的动能等于势能时，物体经历的时间为( )
A．2hg B．hg
C．h2gD．以上都不对
B [设物体动能等于势能时速度为v，根据机械能守恒12mv2＋Ep＝mgh，又12mv2＝Ep，解得v＝gh，而物体做自由落体运动，v＝gt，解得t＝hg，B正确。]
6．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2
D [竖直上抛和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝12mv0 2，所以h＝v0 22g，斜上抛运动物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝12mv0 2-12mv1 2，所以h2
C．gh3D．gh6
A [A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝12(m＋3m)v2，解得v＝gh2，A球落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为gh2，选项A正确。]
8．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体到海平面时的重力势能为mgh
B．物体到海平面之前任一位置机械能为12mv02－mgh
C．物体在海平面上的动能为12mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为12mv02
CD [物体到达海平面时位于参考平面以下，重力势能为－mgh，A错误；物体运动过程中，只有重力做功，机械能为12mv02，B错误，D正确；根据机械能守恒定律，可知物体在海平面上的动能Ek＝12mv2＝mgh+12mv02，C正确。]
9．蹦极是一项极限运动。为了研究蹦极过程，可将人视为质点，人的运动沿竖直方向，人离开蹦极台时的初速度、弹性绳的质量、空气阻力均可忽略。某次蹦极时，人从蹦极台跳下，到a点时弹性绳恰好伸直，人继续下落，能到达的最低位置为b点，如图所示。已知人的质量m＝50 kg，弹性绳的弹力大小F＝kx，其中x为弹性绳的形变量，k＝200 N/m, 弹性绳的原长l0＝10 m，整个过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内。取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求人第一次到达a点时的速度大小v；
(2)求人的速度最大时，弹性绳的长度；
(3)已知弹性绳的形变量为x时，它的弹性势能Ep＝12kx2，求人的最大速度大小。
[解析] (1)选a点为零势能点，人由蹦极台第一次到达a点的运动过程中，根据机械能守恒定律有mgl0＝12mv2，解得v＝102 m/s。
(2)人的速度最大时，重力等于弹力，即kx＝mg，解得x＝2.5 m，此时弹性绳的长度l＝l0＋x＝12.5 m。
(3)选速度最大处为零势能点，设人的最大速度为vm，根据人和弹性绳组成的系统机械能守恒得
mgl＝12kx2+12 mvm2
解得vm＝15 m/s。
[答案] (1)102 m/s (2)12.5 m (3)15 m/s
1．在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角的位置释放后小球绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有A、B两小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动。则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
A [甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时系统的机械能守恒；丙图中细绳绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图中细绳会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的运动轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒。]
2．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A的质量是B质量的6倍，A、B均可看成质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )
A．4v2g B．3v2g C．3v24g D．4v23g
B [将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两滑块沿绳方向的速度相等，有vBcs 60°＝vAcs 30°，所以vA＝33v；设A的质量为6m，B的质量为m，A、B组成的系统机械能守恒，有mgh＝12×6mvA2＋12mv2，所以有h＝3v22g，绳长l＝2h＝3v2g，故B正确，A、C、D错误。]
3．如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
[解析] (1)木块压缩弹簧的过程中，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能最大时，对应木块的动能为零，故有
Epm＝12mv02＝12×4×52 J＝50 J。
(2)由机械能守恒有
12mv02＝Ep1+12mv1 2
得Ep1＝32 J。
[答案] (1)50 J (2)32 J
4．如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45 m，末端与桌面相切。将质量m＝0.1 kg 的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧轨道的两端点，其连线水平，O为圆弧轨道的最低点。已知圆弧轨道对应圆心角θ＝106°，半径r＝1 m。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时，小球的速度大小；
(2)桌面离水平地面的高度h；
(3)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。
[解析] (1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端过程中机械能守恒，有mgR＝12mv12
解得v1＝3 m/s。
(2)小球离开桌面后以3 m/s的初速度做平抛运动，竖直方向有h＝12gt2，
小球恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，则tan 53°＝gtv1，
解得t＝0.4 s，h＝0.8 m。
(3)小球由A点到O点，由机械能守恒定律得
mg(h＋r－rcs 53°)＝12mvO2-12mv12，
在O点，由牛顿第二定律得F－mg＝mvO2r，
代入数据解得F＝4.3 N，
根据牛顿第三定律，小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小为4.3 N。
[答案] (1)3 m/s (2)0.8 m (3)4.3 N
学习任务
1．知道什么是机械能，理解机械能守恒定律的内容及条件，体会物理概念的重要意义。
2．会用能量观念分析具体实例中动能与势能之间的相互转化。
3．会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，并能运用机械能守恒定律解决有关问题。
4．认识机械能守恒定律对日常生活的影响，体会守恒思想对物理学的推动作用。
做功情况
例证
只有重力做功
所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒；物体沿固定的光滑平面或曲面运动时机械能守恒
只有弹力做功
轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块和弹簧组成的系统机械能守恒
只有重力和系统内的弹力做功
如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒
如图，所有摩擦不计，A在B上自由下滑的过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做正功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒
有其他力
做功，但
做功代数
和为0
如图，忽略绳的质量与摩擦，在A、B运动过程中，只有重力和细绳的拉力FA和FB做功，FA做负功，FB做正功，且WA＋WB＝0，故A、B组成的系统机械能守恒。但A(或B)的机械能不守恒，A的机械能减小，B的机械能增加
项目
表达式
物理意义
说明
从不同
状态看
守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须选零势能面
从转化
角度看
转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选零势能面
从转移
角度看
增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝-ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
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