粤教版 (2019)必修 第二册第四章 机械能及其守恒定律第五节 机械能守恒定律学案及答案

第五节　机械能守恒定律

学习目标：1.[物理观念]能够分析动能和势能之间的相互转化问题。　2.[科学思维]会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒。　3.[科学思维]能运用机械能守恒定律解决有关问题，并领会运用机械能守恒定律解决问题的优越性。

一、动能与势能的相互转化

1．机械能

动能、势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，在一定条件下，物体的动能与势能可以发生相互转化。

2．动能与重力势能间的转化

只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变。

3．动能与弹性势能间的转化

被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能。

二、机械能守恒定律的理论验证

1．机械能守恒定律的内容

在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量保持不变。

2．表达式

(1)Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。

(2)mgh1＋mv＝mgh2＋mv。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。 (×)

(2)射箭时将弹性势能转化为动能。  (√)

(3)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能。 (×)

(4)物体自由下落过程中经过A、B两位置，如图所示，此过程中物体的机械能一定守恒。               (√)

2．(多选)一物体在做自由落体运动过程中，重力做了2 J的功，则(　　)

A．该物体重力势能减少2 J

B．该物体重力势能增加2 J

C．该物体动能减少2 J

D．该物体动能增加2 J

AD　[在自由下落过程中，重力做了2 J的功，重力势能减少2 J。通过重力做功，重力势能转化为动能，则物体动能增加了2 J，故A、D正确，B、C错误。]

3．(多选)从同一高度以相同的速率分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，下列判断正确的是(　　)

A．落地时的速度相同

B．落地时的动能相同

C．从抛出到落回地面，竖直上抛时重力做功最多

D．落地时机械能相同

BD　[三种抛法，重力做功相同，故落地时动能相同，但速度方向不同，故速度不同；抛出时三个球机械能相等，故落地时机械能相等。]

1．从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，则系统机械能守恒。

2．从机械能的定义看：根据动能与势能之和是否变化判断机械能是否守恒，如一个物体沿水平方向匀速运动时，动能和势能之和不变，机械能守恒；但沿竖直方向匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒。

3．从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功。

【例1】　(多选)如图，物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)(　　)

思路点拨：由机械能守恒的条件分析。

CD　[物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D符合题意。]

判断机械能是否守恒应注意的问题

1．合外力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合外力为零时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。

2．合外力做功为零是物体动能守恒的条件。合外力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。

3．只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。

1．如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量) (　　)

A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒

B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒

C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒

D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒

D　[甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]

1．机械能守恒定律的三种表达形式和用法

(1)E2＝E1或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，表示系统在初状态的机械能等于其末状态的机械能。一般来说，当始、末状态的机械能的总和相等，运用这种形式表达时，应选好零势能面，且初、末状态的高度已知，系统除地球外，只有一个物体时，用这种表达形式较方便。

(2)ΔEp＝－ΔEk，表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的势能等于增加(或减少)的动能。应用时，关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差。这种表达方式一般用于始末状态的高度未知，但高度变化已知的情况。

(3)ΔEA增＝ΔEB减，表示若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等。

以上三种表达方式中，(1)是最基本的表达方式，易于理解和掌握，但始末状态的动能和势能要分析全，防止遗漏某种形式的机械能。应用(2)(3)方式列出的方程简捷，但在分析势能的变化时易出错，要引起注意。

2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤

(1)分析题意，明确研究对象；

(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清楚物体所受各力做功的情况，判断机械能是否守恒；

(3)确定研究对象在始末状态时的机械能(或动能、势能的变化量)；

(4)根据机械能守恒定律选取合适的表达式列出方程进行求解，并对结果进行必要的讨论和说明。

【例2】　质量都为m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为3L，在离P球L处有一个光滑固定轴O，如图所示，现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：

(1)小球P的速度大小；

(2)在此过程中小球P机械能的变化量；

(3)要使Q球能做完整的圆周运动，给Q球的初速度至少为多大？

思路点拨：该题的关键点是：

(1)P的机械能不守恒，Q的机械能不守恒，P、Q组成的系统机械能守恒。

(2)P和Q同轴转动，角速度相等。

[解析]　(1)对P球和Q球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则有：mg2L－mgL＝mv＋mv，两球共轴转动，角速度大小始终相等，由v＝rω得：vQ＝2vP

联立解得：vP＝。

(2)小球P机械能的变化量为：ΔEP＝mgL＋mv＝mgL。

(3)要使Q球能做完整的圆周运动，设给Q球的初速度至少为vQ′。当Q转到最高点时速度为零恰好能做完整的圆周运动，由系统的机械能守恒得：

mg2L＝mgL＋mv′＋mv′

v′Q＝2v′P解得：vQ＝。

[答案]　见解析

多物体机械能守恒问题的分析方法

1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

3．列机械能守恒方程时，一般选用转化式ΔEk＝－ΔEp或转移式ΔEA＝－ΔEB。

训练角度1　单个物体的机械能守恒

2．如图所示，质量为m的物体以速度v0离开桌面后经过A点时，所具有的机械能是(以桌面为零势能面，不计空气阻力) (　　)

A．mv　　　　 B．mv－mgh

C．mv＋mg(H－h)   D．mv＋mgh

A　[物体的机械能守恒，在A点的机械能与刚开始运动时的机械能相同，以桌面为零势能面，则刚开始运动时的机械能和物体的动能相同，所以为mv，故A正确，B、C、D错误。]

训练角度2　含弹簧系统机械能守恒

3.(多选)如图所示，一个小球从弹簧正上方某一位置自由下落到一竖直放置的弹簧上，小球在接触弹簧到小球下落到最低点过程中，下列说法正确的是(　　)

A．动能一直减小

B．弹簧的弹性势能一直增大

C．小球动能和弹簧的弹性势能的总和一直减小

D．小球动能和弹簧的弹性势能的总和一直增大

BD　[小球接触弹簧开始，由mg－kx＝ma可知，小球应先做加速度减小的加速运动，当mg＝kx时速度最大，然后再根据kx－mg＝ma可知，小球做加速度增大的减速运动，当速度v＝0时，弹簧压缩最短，所以小球的动能先增大后减小，A错；

弹性势能与弹簧的形变量有关，弹簧的压缩量一直增大，则弹性势能一直增大，B对；

在运动的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，则小球动能和重力势能以及弹簧的弹性势能之和保持不变，即小球和弹簧及地球组成的系统机械能守恒，有E总(不变)＝Ek＋EpG＋Epk，因小球的重力势能随高度的下降而减小，则动能和弹簧的弹性势能之和一直增大，C错，D对。]

训练角度3　链条类物体的机械能守恒

4．如图所示，一个质量为m，质量分布均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下(桌面高度大于链条长度)，现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时链条的动能为(　　)

A．0   B．mgL

C．mgL   D．mgL

D　[以桌面为零势能面，开始时链条的重力势能为：E1＝－mg·＝－

当链条刚脱离桌面时的重力势能：

E2＝－mg·L

故重力势能的变化量：

ΔE＝E2－E1＝－，

根据机械能守恒定律可知，链条上端刚离开桌面时的动能增加量为，即其动能为，故D正确。]

1．下列情况中，说法正确的是(　　)

A．物体做匀速运动时，机械能一定守恒

B．物体所受合外力做功为零时，机械能一定守恒

C．物体所受合外力做功不为零时，机械能可能守恒

D．物体做曲线运动时，机械能一定不守恒

C　[如果物体竖直向上做匀速运动，则动能不变，重力势能增加；故机械能不守恒，故A错误；物体机械能守恒的条件不是合外力对物体做功为零，而是只有重力或弹簧弹力做功，故B错误；如果物体受到的合外力为重力，则只有重力做功的情况下，机械能守恒，故C正确；物体做曲线运动时，只要满足只有重力做功，则机械能守恒，如平抛运动，故D错误。]

2.如图所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中(　　)

A．系统的弹性势能不变

B．重物的重力势能增大

C．重物的机械能不变

D．重物的机械能减少

D　[重物从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，重物的重力势能逐渐减少，动能逐渐增加，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增加，所以，重物减少的重力势能一部分转化为动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能，对重物和弹簧构成的系统，机械能守恒，但对重物来说，其机械能减少，选项D正确。]

3．一个质量为m的滑块，以初速度v0沿光滑斜面向上滑行，当滑块从斜面底端滑到高为h的地方时，以斜面底端为参考平面，滑块的机械能是(　　)

A．mv　　 B．mgh

C．mv＋mgh   D．mv－mgh

A　[在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒，总量都是mv，因在高度h处，速度可能不为零，所以B项错误；C、D也错误。]

4.“竹蜻蜓”是一种儿童玩具，双手用力搓柄可使“竹蜻蜓”向上升，某次实验，“竹蜻蜓”离手后沿直线上升到最高点，在此过程中(　　)

A．空气对“竹蜻蜓”的作用力大于“竹蜻蜓”对空气的作用力

B．“竹蜻蜓”的动能一直增加

C．“竹蜻蜓”的重力势能一直增加

D．“竹蜻蜓”的机械能守恒

C　[根据牛顿第三定律可知，空气对“竹蜻蜓”的力一定等于“竹蜻蜓”对空气的力，A错误；“竹蜻蜓”离手后沿直线上升到最高点，从运动描述可知它是先加速后减速，所以动能先增加后减小，高度升高，重力势能一直增加，B错误，C正确；“竹蜻蜓”克服空气阻力做功，“竹蜻蜓”的机械能不守恒，D错误。]

5．如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计。求运动员：(g取10 m/s2)

(1)在A点时的机械能；

(2)到达最低点B时的速度大小；

(3)相对于B点能到达的最大高度。

[解析]　(1)运动员在A点时的机械能E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J。

(2)运动员从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒定律得E＝mv，解得vB＝＝ m/s＝10 m/s

(3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝mgh′，解得h′＝＝ m＝15 m。

[答案]　(1)10 500 J　(2)10 m/s　(3)15 m