2022-2023学年山西省大同市第一中学高二上学期期末考试数学试题 Word版

2022-2023学年第一学期高二期末考试

数学试题

一､单选题（每小题5分，共40分）

1.已知空间向量，且，则向量与的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.函数在下面哪个区间内是增函数？（    ）

A.    B.    C.    D.

3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知数列的前项和为，若，且，则（    ）

A.2    B.4    C.6    D.8

5.双曲线与的离心率之积为4，则的渐近线方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.若对于，且，都有，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.设函数是定义在上的可导函数，且满足，其中为的导函数.则对于任意，必有（    ）

A.    B.

C.    D.

8.数列中，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）

9.设是是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的是（    ）

A.公差    B.

C.    D.与均为的最大值

10.已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.对于函数，下列说法正确的是（    ）

A.函数在处取得极大值

B.函数的值域为

C.有两个不同的零点

D.

12.以下四个命题表述正确的是（    ）

A.直线恒过定点

B.已知圆，若点为直线上一点，且过点可向圆作出两条切线，切点分别为，则直线经过定点

C.曲线与曲线恰有三条公切线，则

D.圆上存在4个点到直线的距离都等于1

三､填空题（每小题5分，共20分）

13.等差数列中，，则满足不等式的正整数的最大值是__________.

14.等比数列的各项均为实数，其前项为，已知，则__________.

15.已知分别为椭圆的左顶点､右焦点､上顶点､下顶点，直线与相交于点，且，则__________.

16.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.

四､解答题（共70分）

17.（10分）已知等差数列中，，等比数列中，且.

（1）求和；

（2）求数列的前项和.

18.（12分）已知函数.

（1）若，求在的最值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面平面，点为中点，在上，且满足.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20.（12分）设数列满足.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

21.（12分）已知一定点，及一定直线，以动点为圆心的圆过点，且与直线相切.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设在直线上，直线分别与曲线相切于为线段的中点.求证：，且直线恒过定点.

22.（12分）设函数是函数的导函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？

（3）利用（2）中的不等式证明：.

2022-2023学年第一学期高二期末考试

数学参考答案

命题人：董凯 审核人：张晓敏

一､单选题（每小题5分，共40分）

1.D    2.C    3.D    4.A    5.D    6.B    7.C    8.C

二､多选题（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）

9.BD    10.AC    11.AB    12.BC

三､填空题（每小题5分，共20分）

13.    14.    15.    16.或

四､解答题（共70分）

17.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

因为，

所以.

又因为，

所以.

即有，解得，所以，且.

于是.

（2）①

②

①-②得，

所以.

18.解：（1）当时，

由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且

则函数的最小值为，最大值为2.

（2）由题得，若恒成立，则，

即恒成立

令，则，

当时，；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，所以，

故的取值范围为.

19.（1）证明：连接，交于点，连接.

底面为菱形，且为中点，

为上一点，且满足，

，

又平面平面，

平面.

（2）解：取的中点为，连接底面为菱形，

且，平面平面平面，

以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，

则.

.

设平面的一个法向量为，

则，即.

取，则，

易得平面的一个法向量为，

所以

所以二面角的余弦值为

20.解：（1）数列满足

时，

当时，，上式也成立

（2）

数列的前项和

21.解：（1）动点为圆心的圆过点，且与直线相切，

动圆圆心到定点与定直线的距离相等，

动圆圆心的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，

动圆圆心轨迹方程为.

（2）依题意可设，

又

故切线的斜率为，

故切线

同理可得到切线

又且，

故方程有两根，

又为线段的中点，

又由得到：即

同理可得到，

故直线方程为：，故直线过定点.

22.（1）解：由题意，函数，其中函数的定义域为，

可得，

令，可得或，

若，则当时，，当时，，

所以上单调递减，在上单调递增，

若，则当时，，当时，，

所以上单调递减，在上单调递增；

（2）解：由题意，函数且可得，

因为，可得，

解得或（与矛盾，舍去），

故

由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以在时取得最小值，最小值，即，

故对于任意恒成立，有不等式成立，当且仅当时，“=”成立；

（3）证明：由（2）知当时，有成立，

令，则

整理得，，

所以.