山西省大同市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份山西省大同市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的补集、交集运算即可.
【详解】因为集合，，，
所以，所以.
故选：C.
2. 某扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为（ ）
A. 60B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把角度数化为弧度，然后由弧长公式计算得解．
【详解】解：30°=，∴ 弧长为．
故选：D.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断A，C，D；由正弦函数的性质可判断B.
【详解】对于选项A，当时，，所以选项A错误；
对于选项B，当时，，所以选项B错误；
对于选项C，当则，有，所以选项C错误；
对于选项D，因为，所以，即，所以选项D正确.
故选：D.
4. 若为任意角，则满足的一个的值是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式求解即可.
【详解】根据诱导公式，满足的一个的值是2.
k为1、3、4不符合.
故选：B.
5. 一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设月平均增长率为，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可．
【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为，去年12月份的产量为1.
因为今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，
所以，即，即.
故选：B.
6. 若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零.
【详解】令，则函数为减函数，
又函数为增函数，
所以函数是减函数，
故在区间上的最大值是，最小值是，
由题设得，则，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
7. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于选项A，，所以选项A正确；
对于选项B，，所以选项B错误；
对于选项C，，所以选项C错误；
对于选项D，，所以选项D正确.
故选：AD
8. 若，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得，利用诱导公式得，结合已知等式可得，从而可判断A，B；由二倍角公式与诱导公式即可判断C，D.
【详解】因为，所以，则，代入，得，化简得，
所以，，所以，，所以，，所以选项A正确，选项B不正确.
因为，，所以选项C与选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 已知，且为第四象限角，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系求解.
【详解】∵为第四象限角，∴，
又∵，∴.
故答案为：
10. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，且与时间（单位：分钟）之间的关系式为：，则与时间之间的关系是______.

【答案】，
【解析】
【分析】根据题意求出振幅、周期，利用正弦型三角函数的性质求解即可.
【详解】根据筒车模型中各量的物理意义及题意可知，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，
所以筒车旋转的角速度.筒车的半径为3米，
所以.筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，所以.
以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，此时.
所以筒车上的某个盛水筒到水面的距离（单位：米）
（在水面下则为负数）与时间的关系为，.
故答案为：，.
11. 若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次函数的图象与性质、以及零点存在定理进行求解.
【详解】
由已知得，，.
由二次函数图象及函数零点存在定理可知，
该函数在内只有一个零点，只需，解得.
故答案为：.
12. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的图像变换得到解析式，由在区间上的值域为，求解的取值范围即可.
【详解】因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以.
若函数在区间上的值域为，
因为，，
再由的单调性可知.
故答案为：
四、解答题：本题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
13. 利用函数单调性的定义判断函数的单调性.
【答案】在内单调递减，在内单调递增
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义判断.
【详解】，，且，则，
.
当时，与0的大小关系不能确定，所以与大小关系不能确定；
当时，，所以，即，
所以函数在区间内单调递减.
当时，，所以，即，
所以函数在区间内单调递增.
综上可知，函数在内单调递减，在内单调递增.
14. 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据：
为描述该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；.
（1）试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
（2）约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？
（参考数据：，）
【答案】（1）；
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据增长的速度越来越快可选择函数模型，再根据，即可求解；
（2）令，求解即可.
【小问1详解】
因为函数刻画是增长速度越来越快的变化规律，
函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，
函数刻画的是增长速度不变的规律，
根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快，
所以函数模型更适合.
根据题意有，解得，
所以，.
【小问2详解】
设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘，
则，解得
故约经过9个月此生物能覆盖整个池塘.
15. 已知函数.
（1）若，为锐角，，，求的值；
（2）函数，若存在，成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求出，， ，利用求解即可
（2）设，则不等式可化为. 求出的最大值即可.
【小问1详解】
因，且为锐角，所以，.
因为，所以.
因为，为锐角，所以，所以.
所以
.
【小问2详解】
.
因为存在，成立，
所以成立，
即成立.
设，则，所以，则.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故的最大值为.0
2
3
4
4
25
62.5
156.3