湖北省十一校2024届高三联考考后提升数学模拟训练一及答案

这是一份湖北省十一校2024届高三联考考后提升数学模拟训练一及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ）
A．B．C．D．
3．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知的展开式中常数项为20，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
8．若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（ ）
（参考数据：若（），则，，.）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则
10．已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．当时，取得最小值D．
11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是
三、填空题
12．设函数，则 ，使得的实数的取值范围是 ．
13．在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为 ．
14．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ．
四、解答题
15．如图在中，，满足.

(1)若，求的余弦值；
(2)点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.
16．某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，分组区间为，得到频率直方图（如图）．

(1)求出频率直方图中a的值和这200人的平均年龄．
(2)从第组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率．
(3)把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组．若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问：是否有的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关？
17．如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的余弦值.
18．已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.
19．如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考答案：
1．A
【分析】由已知得，，由此可得选项.
【详解】因为，所以，所以；
又因为，所以，所以，
又因为表示所有的奇数，表示部分奇数，所以；
所以，
故选：A.
2．B
【分析】根据题意求复数，再根据共轭复数以及虚部的定义分析求解.
【详解】根据题意可知，
则，所以其虚部为.
故选：B.
3．C
【分析】通过角的终边，求出角的正切值，利用同角三角函数基本关系把原式整理成分子分母同时除以，把的值代入即可求得答案.
【详解】因为角的终边在函数的图象上，
所以，
.
故选：C
【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，考查齐次式的应用，考查同角三角函数的关系，属于基础题．
4．D
【分析】由题设中的向量关系可得是以为斜边的直角三角形，结合半径及可求，根据投影数量的定义可计算投影数量，从而可得正确的选项.
【详解】由题意可得：，即：，
即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，
结合有为等边三角形，故，
故，
则向量在向量方向上的投影数量为.
故选：D.
5．D
【分析】作出截面，判断截面为菱形，即可得出截面面积.
【详解】如图，
过点作的平行线，交于点，则为的中点，连接，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面即四边形．
易得，所以四边形为菱形，连接，
则，又，，
所以截面面积为，
故选：D．
6．A
【分析】将三项式转化为二项式，求出通项公式求解即可.
【详解】，
其通项公式为：，
当时，，解得：.
故选：A.
7．B
【分析】设出点的坐标，用的坐标表示点M的坐标，再利用点在椭圆上结合斜率关系求出，然后求出的最大值作答.
【详解】设，则，
由，得，
所以
，
由，得，即，又，
因此，
而，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：B
【点睛】思路点睛：若点在椭圆上，则点的坐标必满足椭圆方程，借助整体思想进行计算可以简化整个运算过程，可起到四两拨千斤的效果．
8．A
【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.
【详解】由不等式，即，
令，即有，
又由，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
令，问题转化为存在，使得，
因为，令，可得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以当时，，
若存在，使得成立，只需且，
解得，因为，所以.
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
9．ABD
【分析】根据题意可得，然后根据正态分布的性质逐个分析判断即可
【详解】由题意可知，正态分布的.
选项A，因为，所以，故A正确；
选项B，因为，且，
所以，故B正确；
选项C，因为，所以，故C错误；
选项D，因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，
又因为，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】由题意得，结合等差数列求和公式可判断ABD；进一步有，由此可判断C.
【详解】由题意可知，故B正确D错误；
所以，故A错误；
而，所以当时，取得最小值，故C正确.
故选：BC.
11．ACD
【分析】对A：三角形的面积不变，点到平面的距离为，即可判断；对B：将所求角度转化为所成角，连接，取交点为，求得角度的最大值；考虑三角形中角度最小时的状态为点与重合，再求对应最小值即可；对C：分析点在不同平面下的轨迹，即可求得轨迹长度；对D：求得点的运动轨迹，再根据几何关系求的长度即可.
【详解】对A：当在平面上运动时，
三棱锥的底面为三角形，其面积为定值，
又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值，
故三棱锥的体积不变，A正确；
对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示：

因为面，故面，
又面，故；
当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角；
当点与点重合时，因为，故可得所成角为；
当点异于点时，设所成的角为，则，
故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小，
此时，三角形为等边三角形，故可得；
综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误；
对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为；
当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角；

又，又，故，，
故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意；
同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面的夹角也小于，不满足题意；
当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，
；
当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，
；
当点在平面上时，因为面//面，
故与面所成角与与面所成角相等，
因为面，连接，故；

在三角形中，易知，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
故其轨迹长度为：；
当点在面上，不满足题意；
综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确；
对D：取的中点分别为，
连接，如下所示：

因为//面面，故//面；
//面面，故//面；
又面，故平面//面；
又//////，故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段；
在三角形中，
；；；
则，故三角形是以为直角的直角三角形；
故，
故长度的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题综合考察立体几何中线面位置关系，以及角度，轨迹长度的求解；特别的对选项C，分别考虑点在不同平面下轨迹的情况，是解决问题的核心，属综合困难题.
12． 4
【分析】直接根据函数的解析式可得，再代入求值；对分和两种情况讨论，即可得答案；
【详解】因为，所以，因此；
当时，可化为，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；
综上，.
故答案为4；.
【点睛】本题考查分段函数的性质和运用，考查运算求解能力，属于基础题.
13．
【分析】根据条件得到，过球心作平面，则为等边三角形的中心，分别利用三角形的的中心求出的长度，再利用勾股定理求出外接球半径的平方，进而求出外接球的表面积.
【详解】设菱形的对角线交点为， 因为四边形为菱形，所以和均是边长为2的等边三角形，则，又因为，
在中，， ，由余弦定理可得：，所以，
过球心作平面，则为等边三角形的中心，
因为，为公共边，所以，
则有，因为，为等边三角形的中心，则，，
在中，由，可得： ，
在中，，
设四面体的外接球的半径为，则，
所以四面体的外接球的表面积为，
故答案为：.
14．
【分析】由可化为，由，可得，可求得，再将的通项展开裂项，利用裂项求和方法计算即得.
【详解】因，设①，展开整理得：，
对照，可得：，解得，
故①式为：，
因时，， 即数列为常数列，故，
，
数列的前项和为：，
．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列递推式型如，（为非零常数）的数列的通项求法和数列求和的裂项相消法,属于较难题.
解题关键点有二，其一，对递推式的处理.可设展开整理后与对照，求得，，回代入原式，发现规律即得通项；其二，对于分式型数列通项的求和处理.要观察表达式特点，将其适当裂项，运用裂项相消法即可求得.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值；
（2）利用C、M、D三点共线，求得，再根据三角形的面积求得，根据向量数量积求，展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】（1）由题意可设，
在中①
在中②
由①②可得，
解得，则，解得.
故.
（2），
且C、M、D三点共线，所以，
，
故．
，
当且仅当时；所以.
16．(1)0.035，41.5岁
(2)
(3)没有99%的把握
【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，可求得a的值；根据平均数的估计方法即可求得平均年龄；
（2）根据分层抽样的比例可得第组中抽取的人数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案；
（3）计算，根据独立性检验的基本思想，即可得结论.
【详解】（1）由题意得，所以，
平均数为，
所以这200人的平均年龄为41.5岁．
（2）由题意可知第组中人数的必为，
故利用分层抽样的方法抽取5人，从第一组抽取2人，从第二组抽取3人．
记从第一组抽取的2人为，从第二组抽取的3人为，
则从这5人中随机抽取2人共
共10种情形，
其中两人恰好属于不同组别的共种情形，
故所求的概率；
（3）由题意知200人中属购买力强的人数占80%，有160人，
故得列联表为：
提出假设
：是否属“购买力强人群”与年龄无关．
根据列联表中的数据，可以求得，
所以没有99%的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关．
17．(1)详见解析(2)
【分析】(1)由BC∥AD， 可证明平面平面(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量计算平面平面的法向量，利用法向量的夹角计算即可.
【详解】（1）因为四边形ABCE为矩形，所以BC∥AD.
因为
所以平面
同理平面
又因为，所以平面平面
因为平面，所以平面
（2）因为，，，所以平面
因为平面，所以平面平面
过点A作于点，则平面
所以
由,得，，
以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,

则，
设平面的法向量为，
则由得
取其一个法向量为
又平面的一个法向量为
所以
所以二面角B-EG-D的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，以及二面角大小的计算，属于中档题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由离心率可得，由可得，即可得答案；（2）设点到直线的距离为，由题意及韦达定理可得在直线PQ斜率存在或不存在两种情况下的面积表达式，由基本不等式可得面积取最大值时需满足条件，即可得此时的值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意，得，可得.又，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点到直线的距离为.
①直线的斜率不存在时.
设直线的方程为，且，则，
所以，当时等号成立.即当时，的面积最大，
此时，.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，
由消去并整理可得.
由题意知.
由韦达定理，，
则.
又，所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以当，且）时，的面积最大.
此时
.
综上所述，当的面积最大时，.
【点睛】关键点睛：本题涉及求椭圆中三角形最值及相关斜率问题，关键为分斜率存在与斜率不存在两种情况写出三角形面积表达式，对于求面积最值，基本不等式是很有效的工具.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.
（2）先由定积分的预算得到，再分别构造函数和，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.
（3）先由二倍角公式化简得到，再由定积分的意义得到，最后根据求导与定积分的运算得到，最后得证.
【详解】（1）当时，因为，所以设，
又，代入上式可得，
所以，当时，；
当时，设，同理可得，
综上，.
（2）因为，所以，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，故，即；
设，，
则恒成立，所以在上单调递增，，
所以，
综上，.
几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积.
（3）因为，
所以
，
设，则，
所以，
故.
【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、利用定积分的几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运算得出最后结果.
购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200