湖北省武汉市第一中学2024届高三下学期二调考后提升卷数学试题模拟训练二

这是一份湖北省武汉市第一中学2024届高三下学期二调考后提升卷数学试题模拟训练二，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）已知集合A=x|y=x+1，B=y|y=x2+1，则A∩∁RB=（ ）
A．0,1B．(-∞,1)C．-1,1D．-1,1
2．（本题5分）设复数z满足z3-i=3+i2，则z+2=（ ）
A．2B．22C．2D．8
3．（本题5分）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C=Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ）
A．1.12B．1.13
C．1.14D．1.15
4．（本题5分）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
5．（本题5分）已知双曲线C:x24-y216=1的左、右顶点分别A，B，若直线l与双曲线 C的左支交于M， N两点，记直线 MA的斜率为k1，直线 NB的斜率为k2，直线 NA的斜率为k3，若k1=-2k2，则k1k3=（ ）
A．12B．-12C．8D．-8
6．（本题5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何?现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列an，记数列an的前n项和为Sn，则Sn+an+7n的最小值为（ ）
A．172B．192C．10D．11
7．（本题5分）函数f(x)=sinx-sin3x+sin2xcsx+2cs3x的值域是（ ）
A．[-2,2]B．[-2,2]C．[-2,2]D．[-2,2]
8．（本题5分）在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=30°，P在菱形ABCD的内部及边界上运动，空间中的点Q满足PQ=1，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（ ）
A．143π+43B．143π+4C．163π+43D．163π+4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）设θ∈0,π，向量a=sinθ,csθ，向量b=sin2θ,cs2θ，则（ ）
A．a,b必不互为平行向量
B．a,b必不互为垂直向量
C．存在θ，使a=b
D．对任意θ,a+b⊥a-b
10．（本题6分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C.若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论不正确的是（ ）
A．BM ∥平面A1DE恒成立B．存在某个位置，使DE⊥A1C
C．线段BM的长为定值D．VA-A1DE:VA1-BCDE=1:2
11．（本题6分）已知定义在R上的函数fx满足fx×fx-fx-y=fxy，当x>0时，fx≠0.下列结论正确的是（ ）
A．f12=12B．f10=1
C．fx是奇函数D．fx在R上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）在△ABC中，∠BAC=120°,AB=2,AC=3,D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD= .
13．（本题5分）已知圆C1:x2+y2=3，圆C2:(x-1)2+(y-2)2=3，直线l:y=x+2．若直线l与圆C1交于A,B两点，与圆C2交于D,E两点，M,N分别为AB,DE的中点，则|MN|= ．
14．（本题5分）给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则PX=3= .

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）设正项数列an的前项和为Sn，a1=1，a3=4，且满足2lgan=lgan+1+lgan-1n≥2,n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1n+1(lg2an+1)，且数列bn的前n项和Tn=99100，求n的值.
16．（本题15分）如图，在四面体PABC中，∠APC=∠BAC=90°，平面PAC⊥平面ABC，AC=2PA=4
(1)证明：PB⊥PC
(2)若二面角P-BC-A的余弦值为155，求AB．
17．（本题15分）某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为p0(1)若p=0.5，该同学共进行三次投篮，规定：第一-次投中得2分，第二次投中得2分，第三次投中得3分．记X为三次总得分，求X的分布列及数学期望；
(2)若该同学共进行了2n(n≥2)次投篮，其中投中k次的概率为Pk(0≤k≤2n)，记Q=i=0nP2i，请比较Q与12的大小．
18．（本题17分）已知函数f(x)=13x3-2mx2+2，其中m≥0．
(1)若fx的极小值为-286，求fx单调增区间；
(2)讨论fx的零点个数．
19．（本题17分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)点Ax0,y0是C上位于第一象限的一点，点A,B关于原点O对称，点A,D关于y轴对称．延长AD至E使得DE=13AD，且直线BE和C的另一个交点F位于第二象限中．
（ⅰ）求x0的取值范围，并判断∠OAF=π2是否成立？
（ⅱ）证明：AE不可能是∠BAF的三等分线．
参考答案：
1．C
【详解】因为A=x∣y=x+1=x∣x≥-1=[-1,+∞)，
B=y∣y=x2+1=y∣y≥1=1,+∞，
所以∁RB=-∞,1，所以A∩∁RB=-1,1，
故选:C．
2．B
【详解】解：∵z3-i=3+i2=3+23i+i2=2+23i，
∴z=2+23i3-i=21+3i3+i3-i3+i=4i2=2i，
因此z+2=|2+2i|=22+22=22．
故选：B
3．D
【详解】由题意知C=7.5λ×60=25λ×15，
所以257.5λ=103λ=6015=4，两边取以10为底的对数，得λlg103=2lg2，
所以λ=2lg21-lg3≈2×0.3011-0.477≈1.15，
故选：D.
4．C
【详解】1与4相邻，共有A22=2种排法，
两个2之间插入1个数，
共有A21=2种排法，再把组合好的数全排列，共有A33=6种排法，
则总共有2×2×6=24种密码．
故选：C
5．D
【详解】
由题意可得A-2,0,B2,0，设Nx0,y0，则有y02=4x02-16，
则k2k3=y0x0+2⋅y0x0-2=y02x02-4=4x02-16x02-4=4，
又k1=-2k2，则k1k3=-2k2k3=-8，
故选：D.
6．B
【详解】解：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列an，
所以an=2+3(n-1)=3n-1,Sn=n(2+3n-1)2=3n2+n2，
所以Sn+an+7n=3n2+n2+3n-1+7n=32n+72+6n，
由对勾函数的性质可得：
函数f(x)=32x+72+6x在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，又n为正整数，
所以Sn+an+7n最小值为32×2+72+62=192，
故选：B
7．A
【详解】f(x)=sinx-sin(2x+x)+sin2xcsx+2cs3x
=sinx(1-cs2x)+2cs3x
=2sin3x+2cs3x=2(sinx+csx)(1-sinxcsx)．
设t=sinx+csx=2sinx+π4∈-2,2，
则g(t)=2t1-t2-12=-t3+3t，从而g'(t)=-3t2+3，
由g'(t)>0，得-1则g(t)在[-2,-1)和(1,2]上单调递减，在-1,1上单调递增．
因为g(-2)=-2,g(-1)=-2,g(1)=2,g(2)=2，所以-2≤g(t)≤2，
即f(x)的值域为[-2,2]．
故选：A
8．D
【详解】根据题意可知Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD），如图所示，
其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，
它们的高为2，底面半径为1，体积为12π×12×2×4=4π；
AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，
半径为1，∠FAG=∠JCK=360°-90°-90°-150°=30°，∠EBL=∠HDI=360°-90°-90°-30°=150°，
∠FAG+∠JCK+∠EBL+∠HDI=360°，
所以这四个区域的几何体组成一个半径为1的完整的球，体积为43π；
而ABCD区域内的几何体为棱柱，高为2，体积为12×2×2×sin30°×2×2=4，
所以Q的轨迹所围成的几何体体积为4π+43π+4=163π+4，
故选：D．
9．AD
【详解】对A：若a,b互相平行，则sinθcs2θ=csθsin2θ，
即sinθ2cs2θ-1=2sinθcs2θ，又θ∈(0,π)，sinθ≠0，
则2cs2θ-1=2cs2θ，即-1=0，显然不成立，
故a,b必不互为平行向量，A正确；
对B：若θ=π2，则a=1,0，b=0,-1，
此时a⋅b=0，a与b垂直，故B错误；
对C：若a=b，则sinθ=sin2θ，且csθ=cs2θ，
即sinθ=2sinθcsθ，且csθ=2cs2θ-1，又θ∈(0,π)，sinθ≠0，
则csθ=12，且csθ=2cs2θ-1，显然无法同时成立，
即a,b不可能相等，故C错误；
对D：a=sin2θ+cs2θ=1,b=sin22θ+cs22θ=1，
则a+b⋅a-b =a2-b2=0，故对任意θ,a+b⊥a-b，D正确.
故选：AD.
10．BD
【详解】设CD的中点为F，连接FM、FB，
因为M为线段A1C的中点，所以FM∥A1D，
因为FM⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以FM ∥平面A1DE，
因为在矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，所以FB∥DE，
因为FB⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以FB ∥平面A1DE，
因为FB∩FM=F，FB，FM⊂平面BMF，所以平面A1DE ∥平面BMF，
又因为BM⊂平面BMF，所以有BM ∥平面A1DE恒成立，A说法正确；
设A1在底面BCDE的射影为O，连接OE,OD,OC，
因为在矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，
所以A1D=A1E，CD≠CE，由△A1OD与△A1OE全等可得OD=OE，
所以OC与DE不垂直，
假设存在某个位置，使DE⊥A1C，
因为A1O⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，所以A1O⊥DE，
因为DE⊥A1C，A1C∩A1O=A1，A1C,A1O⊂平面A1CO，所以DE⊥平面A1CO，
因为OC⊂平面A1CO，所以DE⊥OC，与OC与DE不垂直矛盾，
所以不存在某个位置，使DE⊥A1C，B说法错误；
在矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，所以∠A1DE=45°，
所以由MF∥A1D，FB∥DE可得∠MFB=∠A1DE=45°，
所以由余弦定理可得BM=MF2+BF2-2⋅MF⋅BF×22，
因为MF=12A1D，BF=2A1D，所以代入得BM=52A1D，即BM是定定值，C说法正确；
VA-A1DE:VA1-BCDE=VA1-ADE:VA1-BCDE=13⋅A1O⋅S△ADE:13⋅A1O⋅SBCDE=1:3，D说法错误；
故选：BD
11．ACD
【详解】C选项，令x=y=0，可得f0=0，
令x=y=1，可得f12=f1.
因为当x>0时，fx≠0，所以f1=1.
令y=x，可得fx2=fx2≥0.
因为x2≥0，所以当x≥0时，fx≥0.
又因为当x>0时，fx≠0，所以当x>0时，fx>0.
令y=1，可得fx×fx-fx-1=fx，①
所以fx-fx-1=1，fx+1-fx=1，两式相加可得fx+1-fx-1=2.
令y=-1，可得fx×fx-fx+1=f-x，②
①-②可得fx×fx+1-fx-1=fx-f-x，
故2fx=fx-f-x，化简可得fx=-f-x，所以fx是奇函数，C正确.
B选项，由fx-fx-1=1，可得：f2=f1+1=2，f3=f2+1=3，
依次计算可得f10=f9+1=10，B错误.
A选项，由fx+1-fx=1fx=-f-x，可得f12-f-12=1f12=-f-12，解得f12=12，A正确.
D选项，令x=x1,y=x1-x2，可得fx1-fx2=fx1x1-x2fx1.
令00,x1x1-x2>0.
因为当x>0时，fx>0，所以fx1>0,fx1x1-x2>0，
所以fx1-fx2=fx1x1-x2fx1>0，即fx1>fx2，
所以fx在0,+∞上单调递增.
因为fx为奇函数，所以fx在R上单调递增，D正确.
故选：ACD
12．65
【详解】由S△ABC=S△ABD+S△ACD得，12×2×3×sin120°=12×2AD×sin60°+12×3AD×sin60°，
解得AD=65.
故答案为：65
13．322
【详解】设圆C1,C2的半径为r1,r2，由题可得：C10,0,C21,2,r1=r2=3，
故C1C2=12+22=5，满足0=r1-r2连接C2N,C1M，过C2作C2H⊥C1M，垂足为H，如下图所示：

由点到直线的距离公式可得C2N=12=22，C1M=22=2，
则C1H=C1M-C2N=22，又C1C2=5，
在直角三角形C2HC1中，
由勾股定理可得MN=C2H=C1C22-C1H2=5-12=322.
故答案为：322.
14．225
【详解】由题意知“X=3”等价于“第3次涂5号格子”，
若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例，
第二次可以涂3,5,6,7,8,9，要想第三次涂5号，第二次必须选涂3,7,9号中的一个，
第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为49×36×15=245；
若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例，
第二次可以涂4,6,7,8,9，要想第三次涂5号，第二次必须涂7,9号中的一个，
第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为49×25×15=8225；
故PX=3=245+8225=225，
故答案为：225
15．(1)an=2n-1(n∈N*)
(2)99
【详解】（1）由2lgan=lgan+1+lgan-1n≥2,n∈N*，
得an>0，lgan2=lg(an+1an-1)，则an2=an-1an+1，
故正项数列an为等比数列，
由于a1=1，a3=4，则a22=a1a3=4，
则a2=2或a2=-2（舍去）
故公比q=a2a1=21=2，
所以an=1×2n-1=2n-1(n∈N*)；
（2）由（1）得：bn=1n+1(lg2an+1) =1nn+1 =1n-1n+1，
所以Tn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1，
又Tn=99100，得1-1n+1=99100，解得n=99.
16．(1)证明见解析
(2)AB=4
【详解】（1）因为平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，
平面PAC∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面PAC，
因为PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC，
又因为PC⊥PA，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
所以PC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，从而PB⊥PC．
（2）在平面PAC内，过点P作PD⊥AC交AC于D，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
PD⊥AC，PD⊂平面PAC，
∴PD⊥平面ABC，
因为AC=2PA=4，PA⊥PC，
所以PC=AC2-PA2=23，
可得PD=PA⋅PCAC=3，
∴AD=PA2-PD2=1，CD=AC-AD=3，
因为AB⊥AC，所以DP，DA，AB两两垂直，
以点D为坐标原点，AB，DC，DP的方向分别为x、y、z轴的正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，设AB=tt>0，
则P0,0,3，Bt,-1,0，C0,3,0，BC=-t,4,0，PC=0,3,-3，
设平面PBC的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅BC=-tx+4y=0n⋅PC=3y-3z=0，取z=3，
则n=4t,1,3，
易知平面ABC的一个法向量为m=0,0,1，
由csm,n=m⋅nm⋅n=31×16t2+1+3=155，
解得t=4，所以AB=4．
17．(1)分布列见解析，E(X)=72
(2)答案见解析
【详解】（1）设事件A1,A2,A3分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中．
根据题意可知X=0,2,3,4,5,7．
且P(X=0)=PA1PA2PA3=18,P(X=2)=PA1PA2PA3+PA1PA2PA3=14，
P(X=3)=PA1PA2PA3=18，P(X=4)=PA1PA2PA3=18，
P(X=5)=PA1PA2PA3+PA1PA2PA3=14，
PX=7=PA1PA2PA3=12×12×12=18．
X的分布列为：
X的数学期望E(X)=0×18+2×14+3×18+4×18+5×14+7×18=72．
（2）依题意，该同学2n投篮共投中X次，则X~B2n,p，且
Pk=C2nkpk1-p2n-k，0≤k≤2n．
因为(1-p)+p2n=C2n0(1-p)2np0+C2n1(1-p)2n-1p1+⋯+C2n2n(1-p)0p2n，
(1-p)-p2n=C2n0(1-p)2np0-C2n1(1-p)2n-1p1+⋯+C2n2n(1-p)0p2n，
两式相加得：(1-p)-p2n+(1-p)-p2n=2Q，所以Q=1+(1-2p)2n2．
当p=12时，Q=12；
当012．
18．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）由题f(x)=13x3-2mx2+2，得f'(x)=x2-4mx=x(x-4m)，其中m≥0，
当m=0时，f'x≥0，fx单调递增，fx无极值；
当m>0时，令f'x>0，解得x<0或x>4m；
令f'x<0，解得0所以fx的单调递减区间为0,4m，单调递增区间为-∞,0，4m,+∞，
所以当x=4m时，fx取得极小值f4m=2-323m3，
所以2-323m3=-286，解得m=3．
fx单调增区间-∞,0和12,+∞；
（2）由（1）知当m>0时，fx的极小值为f4m=2-323m3，
fx的极大值为f0=2>0，f-1m=-131m3<0，
所以fx在区间-∞,0有1个零点，
当2-323m3<0，即m>3124时，因为f0=2>0，f6m>0，
所以fx在区间0,4m,4m,+∞各有1个零点，因此fx有三个零点，如图①曲线；
当2-323m3=0，即m=3124时，fx有两个零点，如图②曲线；
当2-323m3>0，即m<3124时，fx有一个零点，如图③曲线；
当m=0时，f(x)=13x3+2，易知fx有一个零点．
综上，当0≤m<3124时，fx有一个零点；
当m=3124时，fx有两个零点；
当m>3124时，fx有三个零点.
19．(1)x2-y23=1
(2)（ⅰ）324,+∞；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）因为双曲线C的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是2，
所以ca=2a+c=3c2=a2+b2，解得a=1c=2b=3，
故双曲线C的标准方程为x2-y23=1；
（2）（ⅰ）因为点Ax0,y0是C上位于第一象限的一点，点A,B关于原点O对称，点A,D关于y轴对称．延长AD至E使得DE=13AD，
所以B-x0,-y0,E-53x0,y0，所以kBF=-3y0x0，
可得直线BF的方程为y=-3y0x0x-4y0，
联立y=-3y0x0x-4y0x2-y23=1，消去y并整理得9y02x02-3x2+24y02x0x+16y02+3=0，
因为直线BF与双曲线C有两个交点，并设FxF,yF,
所以9y02x02-3≠0，由韦达定理得xF-x0=16y02+39y02x02-3，解得xF=16y02+33x0-9y02x0，
则yF=-3y0x0xF-4y0>0，所以xF<-43x0<0成立，
此时只需xF=16y02+33x0-9y02x0<-43x0，解得x0>324，则x0的取值范围为324,+∞，
易知kAF=y0+3y0x0xF+4y0x0-xF=-3y0x0x0-xF+8y0x0-xF
=-3y0x0+8y0x0+16y02+39y02x0-3x0=-3y0x0+72y03x-24x0y09y02+16y02+3-3x02
=-3y0x0+72y03x-24x0y024y02=-3y0x0+72y024x0-24x0y024y02=-y0x0
所以kAFkOA=-1，即∠OAF=π2，
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知∠OAF=π2，
因为tan∠BAE=kOA=y0x0=31-1x02∈33,3,
所以∠BAE∈π6,π3，故AE不可能是∠BAF的三等分线．

X
0
2
3
4
5
7
P
18
14
18
18
14
18