湖北省十一校2024届高三联考考后提升数学模拟训练一（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的展开式中常数项为20，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（ ）
（参考数据：若（），则，，.）
A.
B.
C.
D. 假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则
10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. 当时，取得最小值D.
11. 如图，点是棱长为2正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则____，使得的实数的取值范围是_____．
13. 在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．
14. 设数列满足，，若且数列前项和为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图在中，，满足.

（1）若，求的余弦值；
（2）点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.
16. 某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，分组区间为，得到频率直方图（如图）．

（1）求出频率直方图中a的值和这200人的平均年龄．
（2）从第组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率．
（3）把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组．若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问：是否有的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关？
17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）点在线段上，且，求二面角余弦值.
18. 已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.
19. 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
（1）若，且，求；
（2）已知，证明：，并解释其几何意义；
（3）证明：，．0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2706
3.841
5.024
6.635
10.828