湖北省十一校2024届高三联考考后提升模拟训练一数学试卷(解析版)

这是一份湖北省十一校2024届高三联考考后提升模拟训练一数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，所以；
又因为，所以，所以，
又因为表示所有的奇数，表示部分奇数，所以∈；
所以，故选：A.
2. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可知，
则，所以其虚部为.
故选：B.
3. 已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为角的终边在函数的图象上，
所以，
.
故选：C
4. 的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，即：，
即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，
结合有为等边三角形，故，
故，
则向量在向量方向上的投影数量为.
故选：D.
5. 已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
过点作的平行线，交于点，则为的中点，连接，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面即四边形．
易得，所以四边形为菱形，连接，
则，又，，
所以截面面积为，
故选：D．
6. 已知的展开式中常数项为20，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】，
其通项公式为：，
当时，，解得：.
故选：A.
7. 已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】设，则，
由，得，
所以
，
由，得，即，又，因此，
而，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.故选：B
8. 若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由不等式，即，
令，即有，
又由，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
令，问题转化为存在，使得，
因为，令，可得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以当时，，
若存在，使得成立，只需且，
解得，因为，所以.
故选：A.
二、选择题
9. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（ ）
（参考数据：若（），则，，.）
A.
B.
C.
D. 假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则
【答案】ABD
【解析】由题意可知，正态分布的.
选项A，因为，所以，故A正确；
选项B，因为，且，
所以，故B正确；
选项C，因为，所以，故C错误；
选项D，因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，
又因为，故D正确.故选：ABD.
10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 当时，取得最小值D.
【答案】BC
【解析】由题意可知，故B正确D错误；
所以，故A错误；
而，所以当时，取得最小值，故C正确.
故选：BC.
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对A：当在平面上运动时，
三棱锥的底面为三角形，其面积为定值，
又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值，
故三棱锥的体积不变，A正确；
对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示：

因为面，故面，
又面，故；
当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角；
当点与点重合时，因为，故可得所成角为；
当点异于点时，设所成的角为，则，
故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小，
此时，三角形为等边三角形，故可得；
综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误；
对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为；当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角；

又，又，故，，
故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意；
同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面的夹角也小于，不满足题意；
当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，
；
当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，
；
当点在平面上时，因为面//面，
故与面所成角与与面所成角相等，
因为面，连接，故；

在三角形中，易知，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
故其轨迹长度为：；
当点在面上，不满足题意；
综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确；
对D：取的中点分别为，
连接，如下所示：

因为//面面，故//面；
//面面，故//面；
又面，故平面//面；
又//////，故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段；
在三角形中，
；；；
则，故三角形是以为直角的直角三角形；
故，
故长度的取值范围是，故D正确.故选：ACD.
三、填空题
12. 设函数，则____，使得的实数的取值范围是_____．
【答案】4
【解析】因为，所以，因此；
当时，可化为，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；综上，.故答案为4；.
13. 在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】设菱形的对角线交点为， 因为四边形为菱形，所以和均是边长为2的等边三角形，则，又因为，
中，， ，由余弦定理可得：，所以，
过球心作平面，则为等边三角形的中心，
因为，为公共边，所以，
则有，因为，为等边三角形的中心，则，，
在中，由，可得： ，
在中，，
设四面体的外接球的半径为，则，
所以四面体的外接球的表面积为，故答案为：.
14. 设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ______．
【答案】
【解析】因，设①，
展开整理得：，
对照，可得：，解得，
故①式为：，
因时，， 即数列为常数列，故，
，
数列的前项和为：，
．
故答案为：．
四、解答题
15. 如图在中，，满足.

（1）若，求的余弦值；
（2）点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.
解：（1）由题意可设，
在中①
在中②
由①②可得，
解得，则，解得.
故.
（2），
且C、M、D三点共线，所以，，
故．
，
当且仅当时；所以.
16. 某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，分组区间为，得到频率直方图（如图）．

（1）求出频率直方图中a的值和这200人的平均年龄．
（2）从第组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率．
（3）把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组．若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问：是否有的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关？
解：（1）由题意得，所以，
平均数为，
所以这200人的平均年龄为41.5岁．
（2）由题意可知第组中人数的必为，
故利用分层抽样的方法抽取5人，从第一组抽取2人，从第二组抽取3人．
记从第一组抽取的2人为，从第二组抽取的3人为，
则从这5人中随机抽取2人共
共10种情形，
其中两人恰好属于不同组别的共种情形，
故所求的概率；
（3）由题意知200人中属购买力强的人数占80%，有160人，
故得列联表：
提出假设
：是否属“购买力强人群”与年龄无关．
根据列联表中的数据，可以求得，
所以没有99%的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关．
17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的余弦值.
（1）证明：因为四边形ABCE为矩形，所以BC∥AD.
因为，所以平面
同理平面又因为，所以平面平面
因为平面，所以平面
（2）解：因为，，，所以平面
因为平面，所以平面平面
过点A作于点，则平面
所以
由,得，，
以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,

则，
设平面的法向量为，
则由得
取其一个法向量为
又平面的一个法向量为
所以
所以二面角B-EG-D的余弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.
解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意，得，可得.又，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点到直线距离为.
①直线的斜率不存在时.
设直线的方程为，且，则，
所以
，
当时等号成立.即当时，的面积最大，
此时，.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，
由消去并整理可得.
由题意知.
由韦达定理，，
则.
又，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以当，
且）时，的面积最大.
此时
.
综上所述，当的面积最大时，.
19. 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
（1）若，且，求；
（2）已知，证明：，并解释其几何意义；
（3）证明：，．
（1）解：当时，因为，所以设，
又，代入上式可得，
所以，当时，；
当时，设，同理可得，
综上，.
（2）解：因为，所以，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，故，即；设，，
则恒成立，所以在上单调递增，，
所以，
综上，.
几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积.
（3）证明：因为，
所以
，
设，则，
所以，
故.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200