2024年福建省福州市鼓楼区铜盘中学中考数学适应性试卷（4月份）（含解析）

这是一份2024年福建省福州市鼓楼区铜盘中学中考数学适应性试卷（4月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最小的数是( )
A. −2B. 1C. −1D. 2
2.某细菌的直径为0.000000072毫米，用科学记数法表示0.000000072为( )
A. 7.2×10−7B. 7.2×10−8C. 7.2×10−9D. 0.72×10−9
3.如图是由五个大小相同的正方体搭成的立体图形，从上面看这个立体图形，能得到的平面图形是( )
A.
B.
C.
D.
4.面积为5的正方形的边长为m，则m的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
5.下列运算正确的是( )
A. 6a6÷3a3=2a2B. 2a⋅a3=2a3C. (−2a3)2=4a6D. 5a−2a=3
6.用尺规作图作∠BAC的平分线AD，痕迹如图所示，则此作图的依据是( )
A. SAS
B. SSS
C. ASA
D. AAS
7.下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是( )
A. y=x2+2x−3B. y=2xC. y=−x+2D. y=3x
8.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )
A. 82米B. 163米C. 52米D. 30米
9.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=2x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为( )
A. −2
B. −12
C. 12
D. 2
10.已知二次函数y=x2−2bx+2b2−4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为( )
A. −1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作______℃.
12.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为s甲2=0.9，s乙2=0.8，s丙2=0.2，s丁2=0.5，则射击成绩最稳定的是______．
13.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，D是BC的中点，DE/​/AB，则△CDE的周长为______．
14.关于x的一元二次方程kx2+2x−5=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，连接BE交AD于F，将△AFE沿着AC翻折到△AGE，恰好有GE/​/AD，则下列结论：①四边形AFEG为菱形；②2AE2=BD⋅BC；③S△ABF=S△CBF；④连接BG，tan∠ABG= 25.上述结论中正确的有______.(填正确的序号)．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 18+(−1)0+|−2|．
18.(本小题8分)
解不等式组：x−12>−12(x+1)≤4．
19.(本小题8分)
已知：如图，M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2
证明：AC=BD．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：x−1x2+2x+1÷(2x+1−1)，其中：x= 2−1．
21.(本小题8分)
人类的性别是由一对性染色体(X,Y)决定，当染色体为XX时是女性；当染色体为XY时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱．

(1)这对夫妻“第一胎为男孩”是______事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)“第一胎为女孩”的概率是______；
(2)这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率．
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB的长为半径的圆交BC于点D，交AB于点E，AD为⊙O的切线．
(1)求证：∠B=∠CAD；
(2)若CD=4，BD=12，求⊙O的半径的长．
23.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务．
24.(本小题13分)
如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动(不与A，B重合)，将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ．
(1)求证：CP=CQ；
(2)求∠PCQ的度数；
(3)当点D是AB的中点时，判断△DPQ是何种三角形，并说明理由．
25.(本小题13分)
已知抛物线y=(x−t)2+t−5，其中t是实数．
(1)已知三个点(1,0)，(1,−4)，(2,−7)，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点(点B在x轴正半轴)，与y轴交于点C，抛物线的顶点的记为G，
①若点D在点B，C之间的抛物线上运动(不与点B，C重合)，连接OD交BC于点E，连接CD.记△CDE，△COE的面积分别为S1，S2，求S1S2的很大值；
②过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线l′：y=−174交于点F，过点F作l′的垂线，交抛物线于点Q，过PQ的中点M作MN⊥l′于点N.求证：MN=12PQ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵2，1是正数，−1，−2是负数，
∴最小数的是在−1，−2里，
又|−1|=1，|−2|=2，且1<2，
∴−2<−1，
∴最小数的是−2．
故选：A．
根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可．
本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000072=7.2×10−8．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：从上边看，底层中间是一个小正方形，上层的中间是三个小正方形．
故选：A．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4.【答案】B
【解析】解：面积为5的正方形的边长为m= 5，
∴ 4< 5< 9，即2< 5<3，
∴边长m在2和3之间，
故选：B．
利用算术平方根的含义先表示m= 5，再根据 4< 5< 9，从而可得答案．
本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.6a6÷3a3=2a3，故该选项不正确，不符合题意；
B.2a⋅a3=2a4，故该选项不正确，不符合题意；
C. (−2a3)2=4a6，故该选项正确，符合题意；
D.5a−2a=3a，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方分别判断即可．
本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据尺规作图的过程可知：
三边对应相等的三角形全等，
全等三角形的对应角相等．
故选：B．
根据尺规作图的过程即可得结论．
本题考查了基本作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握用尺规作图作角的平分线的过程．
7.【答案】C
【解析】【分析】
分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．
本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．
【解答】
解：A、∵y=x2+2x−3开口向上，对称轴是直线x=−1，且函数图象过(0,−3)点，
∴该函数图象过一、二、三、四象限，故本选项不合题意；
B、∵y=2x的系数2>0，
∴该函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
C、在y=−x+2中，k=−1<0，b=2>0，
∴该函数图象过一、二、四象限，故本选项符合题意；
D、∵y=3x中，3>0，
∴函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：设楼高AB为x．
在Rt△ADB中有：DB=xtan30∘= 3x，
在Rt△ACB中有：BC=xtan45∘=x．
而CD=BD−BC=( 3−1)x=60，
解得x≈82．
故选：A．
利用所给角的三角函数用AB表示出DB，BC；根据DB−BC=CD=60得方程求解．
本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．
9.【答案】A
【解析】解：连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形是正方形，点B在函数y=2x上，
∴AO=BO，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴S△AOC=S△OBD=1=|n|2，
∵点A在第二象限，
∴n=−2，
故选：A．
连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明△AOC≌△BOD，根据k的几何意义即可求解即可．
本题考查了正方形的性质，反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质的解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：由二次函数y=x2−2bx+2b2−4c的图象与x轴有公共点，
∴(−2b)2−4×1×(2b2−4c)⩾0，即b2−4c⩽0①，
由抛物线的对称轴x=−−2b2=b，抛物线经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，
b=1−b+2b+c2，即，c=b−1②，
②代入①得，b2−4(b−1)⩽0，即(b−2)2⩽0，因此b=2，
c=b−1=2−1=1，
∴b+c=2+1=3，
故选：C．
求出抛物线的对称轴x=b，再由抛物线的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，也可以得到对称轴为x=1−b+2b+c2，可得b=c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2−4c⩽0，进而求出b、c的值．
本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升3℃，记作+3℃，
温度下降2℃记作−2℃，
故答案为：−2．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12.【答案】丙
【解析】解：∵s甲2=0.9，S乙2=0.8，s丙2=0.2，S丁2=0.5，
∴s丙2∴成绩最稳定的是丙．
故答案为：丙．
根据方差越小越稳定即可解题．
本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
13.【答案】10
【解析】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC的中点，BC=4，
∴CD=12BC=2，
∵AB=AC=8，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴DE=AE，
∴CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=2+8=10．
故答案为：10．
连接AD，根据AB=AC=8，D是BC的中点，得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，根据DE/​/AB，得出∠BAD=∠ADE，证明∠EAD=∠EDA，得出DE=AE，得出CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=2+8=10．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明DE=AE．
14.【答案】k>−15且k≠0
【解析】解：∵一元二次方程kx2+2x−5=0有两个不相等的实数根，
∴Δ>0且k≠0，即22−4k×(−5)>0，
解得k>−15且k≠0．
故答案为：k>−15且k≠0．
先根据一元二次方程kx2+2x−5=0有两个不相等的实数根得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．
15.【答案】43π
【解析】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°−30°=60°，AC=12AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的长为：60π×4180=43π，
故答案为：43π．
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
16.【答案】①②③
【解析】解：①∵将△AFE沿着AC翻折到△AGE，
∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，EF=GE，∠EAF=∠EAG，
∵GE//AD，
∴∠FAE=∠GEA，
∴∠EAG=∠GEA，
∴AG=GE，
∴AF=AG=EF=EG，
∴四边形AFEG是菱形，
故①正确；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
又∵∠ABD=∠ABC，
∴△BAD∽△BCA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2=BC⋅BD，
∵AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
∵∠ABF+∠AEB=90°，∠BAF+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠AEB，
又∵∠BAE=∠BAE=90°，
∴△BAE∽△CAB，
∴ABAE=ACAB，
∴AB2=AE⋅AC，
∵E为AC边上的中点，
∴AC=2AE，
∴AB2=AE⋅AC=2AE2=BC⋅BD，
故②正确；
③∵AE=EC，
∴S△ABE=S△BEC，
∵BF=EF，
∴S△ABF=12S△ABE，S△BFC=12S△BEC，
∴S△ABF=S△CBF；
故③正确；
④如图，过点G作GH⊥AB，交BA的延长线于H，
设AE=x，则AC=2x，
∵AB2=AE⋅AC，
∴AB= 2x，
∴BE= AB2+AE2= 2x2+x2= 3x，
∴AF=EF= 32x，
∵四边形AFEG是菱形，
∴AG//BE，AG=AF= 32x，
∴∠HAG=∠ABE，
又∵∠H=∠BAE=90°，
∴△BAE∽△AHG，
∴AGBE=HGAE=AHAB=12，
∴AH=12AB= 22x，HG=12AE=x2，
∴BH=AH+AB=3 22x，
∴tan∠ABG=HGBH=x23 22x= 26，
故④错误，
故答案为：①②③．
由折叠的性质可得AF=AG，EF=GE，∠EAF=∠EAG，由平行线的性质可得∠EAG=∠GEA，可证AG=GE=AF=EF，可判断①；通过证明△BAE∽△CAB，△BAD∽△BCA，可得AB2=AE⋅AC，AB2=BC⋅BD，可判断②；由中线的性质可得S△ABF=12S△ABE，S△BFC=12S△BEC，可判断③；设AE=x，则AC=2x，利用x表示GH，BH的长，可求tan∠ABG=HGBH= 26，可判断④，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：原式=3 2+1+2
=3 2+3．
【解析】利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可求解．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：x−12>−1①2(x+1)≤4②，
解①得，x>−1，
解②得，x≤1，
∴不等式组的解集为−1【解析】分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】证明：∵M是AB中点，
∴MA=MB，
在△AMC和△BMD中，
MA=MB∠1=∠2MC=MD，
∴△AMC≌△BMD，
∴AC=BD．
【解析】欲证明AC=BD，只要证明△AMC≌△BMD即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形的全等条件，属于中考常考题型．
20.【答案】解：原式=x−1(x+1)2÷(2x+1−x+1x+1)
=x−1(x+1)2⋅x+11−x
=−1x+1，
当x= 2−1时，
原式=−1 2=− 22．
【解析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，熟练运用运算法则是本题的关键．
21.【答案】随机 12
【解析】解：(1)这对夫妻“第一胎为男孩”是随机事件，“第一胎为女孩”的概率是12，
故答案为：随机，12；
(2)方法一：依题意可列表如下：
共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
∴P(两个小孩恰好是一男一女)=24=12；
方法二：依题意可画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
∴P(两个小孩恰好是一男一女)24=12．
(1)根据事件的分类，概率公式求概率即可求解；
(2)根据列表法或画树状图法求概率即可求解．
本题考查了概率公式求概率，事件的分类，列表法或树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵AD为⊙O的切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADC+∠ODB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ODB．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠CAD．
(2)解：∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴CACB=CDCA，
∴CA2=CD⋅CB=4×(4+12)=64，
∴CA=8．
过点O作OF⊥CB于点F，则DF=FB=12BD=6，
∵∠B=∠CAD，∠OFB=∠C=90°，
∴△OFB∽△DCA，
∴OFOB=CDAC=48，
∴OF=12BF=3，
∴OB= OF2+FB2= 32+62=3 5．
∴⊙O的半径的长为3 5．
【解析】(1)连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到∠CAD=∠ODB，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论；
(2)通过证明△CBA∽△CAD求得线段AC的长，过点O作OF⊥CB于点F，利用垂径定理则DF=FB=12BD=6，证得△OFB∽△DCA，可求得线段OF，利用勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23.【答案】12x2 cm2 (−5x+50)cm2
【解析】解：任务1：∵BE=BF=x cm，
∴区域Ⅰ的面积=12x2(cm2)；
∵AB=BC=CD=10cm，BE=x cm，
∴CE=(10−x)cm，
∴区域Ⅱ的面积=12×10⋅(10−x)=(−5x+50)cm2；
故答案为：12x2 cm2；(−5x+50)cm2；
任务2：当AE为三角形的一边时，如图：
S乙=12×10×10=50(cm2)；
当DF为三角形一边时，如图：
∵S甲=12×10⋅(10−x)=(−5x+50)cm2，
∴S乙=10×10−12x2−(−5x+50)−(−5x+50)=(−12x2+10x)cm2；
∴区域乙的面积为50cm2或(−12x2+10x)cm2；
任务3：S乙=−12x2+10x=−12(x−10)2+50，
∵−12<0，又2.5≤x≤6.5且x为整数，
∴x=3时，S乙取最小值25.5，
∴最佳定位点E的坐标为(3,0)．
任务1：由BE=BF=xcm，可得区域Ⅰ的面积=12x2(cm2)；区域Ⅱ的面积=12×10⋅(10−x)=(−5x+50)cm2；
任务2：分两种情况：当AE为三角形的一边时，S乙=12×10×10=50(cm2)；当DF为三角形一边时，S乙=10×10−12x2−(−5x+50)−(−5x+50)=(−12x2+10x)cm2；
任务3：S乙=−12x2+10x=−12(x−10)2+50，根据二次函数性质求出区域乙的面积最小时x的值，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用和正方形性质应用，解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式．
24.【答案】(1)证明：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ；
(2)解：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°−(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°−(120°+120°)=120°，
(3)解：△DPQ是等边三角形，理由如下：
∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠PAD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
【解析】(1)由折叠的性质可得CP=CD=CQ；
(2)由折叠的性质可得∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，由周角的性质可求解；
(3)由折叠的性质可得AD=AP，∠DAC=∠PAC，可证△APD是等边三角形，可得PD=AD，∠ADP=60°，同理可得DQ=BD，∠BDQ=60°，由等腰三角形的性质可得AD=BD，即可求解．
本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵y=(x−t)2+t−5的顶点坐标为(t,t−5)，
∴顶点在直线y=x−5上，
当x=1时，y=−4，
当x=2时，y=−3，
∴顶点为(1,−4)，
∴抛物线为y=(x−1)2−4=x2−2x−3；
(2)①解：过点E作 EM⊥OC于点M，点D作 DN⊥OC于点N，如图1，

△COE的面积为S2，S2=12×OC×ME，
△CDE的面积为S1，则
S1=S△OCD−S△OCE=12×OC×ND−12×OC×ME=12×OC×(ND−ME)，
∴S1S2=12×OC×(ND−ME)12×OC×ME=ND−MEME，
令y=0，则x2−2x−3=0，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)；
设直线BC的解析式为 y=kx+b，将B(3,0)，C(0,−3)代入得：
0=3k+b−3=b，
解得 k=1b=−3，
∴直线BC的解析式为y=x−3，
设E(a,a−3)，则直线OE的解析式为y=a−3ax，
设D(b,b2−2b−3)，则直线OD的解析式为 y=b2−2b−3bx，
即 b2−2b−3b=a−3a，
整理得：b2−3b+3×b−aa=0，
则b−aa=−13b2+b=−13(b−32)3+34，
∵S1S2=ND−MEME=b−aa，
故当b=32时，b−aa有最大值为 34，
即 S1S2的最大值是 34；
②证明：连接QN和PN，过点P作PH⊥l′与点H，如图2：

设直线PG的解析式为：yPG=kx+b，将 G(1,−4)代入求得：b=−4−k，
故直线PG的解析式为：yPG=k(x−1)−4；
∵直线PG与直线 l′：y=−174交于点F，
∴将点F的纵坐标 yF=−174代入yPG=k(x−1)−4，
得：−174=k(x−1)−4，
解得：x=1−14k，
∴F(1−14k,−174)，
∴点Q的横坐标xQ=1−14k，
∴yQ=(1−14k)2−2(1−14k)−3=116k2−4，
∴Q(1−14k,116k2−4)，
∵直线PG与抛物线交于P，G两点，则x2−2x−3=k(x−1)−4，
整理得：x2−(2+k)x+1+k=0，
∴x1+x2=2+k，
∵x1=1，
∴x2=1+k，
即点P的横坐标为xP=1+k，
∴y=(1+k)2−2(1+k)−3=k2−4，
∴P(1+k,k2−4)，
∴PH=k2−4−(−174)=k2+14，QF=116k2−4−(−174)=116k2+14，
∵CF//PH，M为PQ的中点，
∴QMMP=FNNH=1，
即FN=NH=12FH，
∵FH=xP−xQ=1+k−(1−14k)=k+14k，
∴FN=NH=12(k+14k)=k2+18k，
在Rt△QNF中，tan∠QNF=QFFN=116k2+14k2+18k=1+4k28k3+2k，
在Rt△NPH中，tan∠NPH=NHPH=k2+18kk2+14=1+4k28k3+2k，
即tan∠QNF=tan∠NPH，
∴∠QNF=∠NPH，
又∵∠QFN=∠NHP=90°，
∴∠FQN=∠HNP，
∴∠QNF+∠PNH=90°，
∴∠QNP=90°，
即△PNQ为直角三角形，
又∵M为PQ的中点，
∴MN是Rt△PNQ斜边上的中线，
∴MN=12PQ．
【解析】(1)根据抛物线解析式可得C(0,−3)，根据等角对等边推得B(3,0)，A(−1,0)，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
(2)过点E作EM⊥OC于点M，点D作 DN⊥OC于点N，根据三角形的面积公式可推得 S1S2=ND−MEME，待定系数法求直线BC的解析式为y=x−3，设E(a,a−3)，求得直线OE的解析式为y=a−3ax，设D(b,b2−2b−3)，求得直线OD的解析式为y=b2−2b−3bx，根据b2−2b−3b=a−3a，推得b−aa=−13(b−32)3+34，根据二次函数的性质可得当b=32时，b−aa有最大值为 34，即可求得；
(3)根据(1)得顶点G(1,−4)，连接QN和PN，过点P作PH⊥l′与点H，待定系数法求直线PG的解析式为：yPG=k(x−1)−4，求得直线PG与直线l′的交点坐标为 F(1−14k,−174)，求得Q(1−14k,116k2−4)，根据直线PG与抛物线交于P，G两点，求得P(1+k,k2−4)，PH=k2+14，QF=116k2+14，根据平行线分线段成比例公理可求得FN=NH=12FH=k2+18k，根据正切的定义推得∠QNF=∠NPH，根据等角的余角相等可得∠FQN=∠HNP，推得∠QNP=90°，根据中线的判定可得MN是Rt△PNQ斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明 MN=12PQ．
本题考查了等角对等边，待定系数法求抛物线解析式，三角形的面积公式，求一次函数解析式，二次函数的性质，平行线分线段成比例公理，正切的定义，余角的性质，中线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据正切的定义推得∠QNF=∠NPH是解题的关键．如何设计打印图纸方案？
素材1
如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)构成.已知AB=10cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE=BF，设BE=x cm(0素材2
为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标(B为坐标原点)，计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1
确定关系
用x的代数式表示：
区域Ⅰ的面积= ______；
区域Ⅱ的面积= ______．
任务2
拟定方案
为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含DE边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3
优化设计
经调查发现当2.5≤x≤6.5且x为整数时，此时称E点为合格定位点.当区域乙的面积最小时，合格定位点E点为最佳定位点，求出最佳定位点E的坐标．
②①
男
女
男
男，男
女，男
女
男，女
女，女