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2020年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷 解析版
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这是一份2020年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若等式（﹣5）□5＝0成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（ ）
A．0.96×10﹣4 B．9.6×10﹣3 C．9.6×10﹣5 D．96×10﹣6
3．（4分）下列式子运算正确的是（ ）
A．t+t＝t2 B．（3x2）3＝9x5
C．m8÷m4＝m2 D．﹣2 （a﹣5）＝﹣2a+10
4．（4分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（ ）
A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
C．月跑步里程最大值出现在10月
D．月跑步里程逐月增加
6．（4分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．∠CDB＝30°，⊙O的半径为6cm．则弦CD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm
8．（4分）如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为m．且|m+5|＝|m﹣c|，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在A点左侧 B．在线段AC上 C．在线段OC上 D．在线段OB上
9．（4分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠B+∠C＝（ ）
A．115° B．130° C．135° D．150°
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）因式分解：5y3﹣5y＝ ．
12．（4分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图案的卡片，它们的背面完全相同．现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是 ．
13．（4分）解方程5（x﹣2）＝6（﹣）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是 ．
解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．
②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．
③合并同类项，得2x＝8．
④系数化为1，得x＝4．
14．（4分）圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为6cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（3，4），顶点C在y轴正半轴上，则顶点B的坐标是 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD交BC延长线于点E．延长BA交CD延长线于点F．连接EF，BD．若点A、C分别为BF、BE的中点，且BD＝2．则EF＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）计算：（）﹣3+|﹣2|﹣2sin45°
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．AE⊥BC．AF⊥CD．垂足分别为E，F．且BE＝DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
19．（8分）先化简，再求值：÷+1﹣a，其中a＝tan60°﹣1．
20．（8分）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和学习机．经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机便宜600元，购买3台平板电脑和2台学习机共需4600元
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）“6.18”品牌特卖，每台平板电脑在原价基础上打9折：学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，其中平板电脑至少购买20台且不超过学习机的数量．若学校购买的总费用少于8.23万元．请通过计算帮学校决策可以购买的方案有哪几种？
21．（8分）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．
（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°，AC＝+1．
（1）请用尺规作出△ABC关于直线AB对称图形△ABD（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）在（1）的条件下，连接CD，将△ACD绕点D顺时针方向旋转60°得到△DEF（点A、C的对应点分别为点E、F），连接AE．交BD于点M．请补全图形，并求出EM的长．
23．（10分）某商家为了解店里进价均为每个18元的某商品的盈利情况，对这一商品40天的销售情况进行统计．
售价（单位：元）
26
24
23
日销量（单位：个）
10
15
20
（1）若日销售量不低于15件．则称当日为“畅销日”．认为“畅销日”天数占总天数的比例不低于70%是否合理？请说明理由．
（2）若商家每晚19：00﹣21：00雇佣一名大学生做兼职客服．预计日销量可提高30%，但需支付客服每晚30元，那么增加客服后是否会提高日平均利润？请说明理由．
24．（12分）如用，两个大小不同的矩形放在同一平面内，这两个矩形的长与宽之比均为．且有一个公共顶点B，矩形BEFG的顶点E在矩形ABCD的对角线AC上，AD＞AB，EF＞EB，连接CG．EG，交BC于点H．
（1）当点E为AC中点时，求证：△BCG为等边三角形；
（2）若AE＝3，CE＝7．求的值．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，n）为反比例函数y＝（k＞1，x＞0）图象上一动点，连接OP．将OP绕点O顺时针旋转，点P的对应点Q恰好落在该函数图象上．连接PQ，直线PQ与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）①∠OAB的度数为 ，
②当m＝1，且∠BOP＝∠OAB﹣∠AOQ时，求OP在旋转过程中扫过的面积．
（2）当≤m≤2时，点P始终不在直线l：y＝﹣（k+1）x+7的下方，求k的取值范围．
2020年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若等式（﹣5）□5＝0成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】利用运算法则判断即可．
【解答】解：根据题意得：﹣5+5＝0，
故选：A．
2．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（ ）
A．0.96×10﹣4 B．9.6×10﹣3 C．9.6×10﹣5 D．96×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000096＝9.6×10﹣5，
故选：C．
3．（4分）下列式子运算正确的是（ ）
A．t+t＝t2 B．（3x2）3＝9x5
C．m8÷m4＝m2 D．﹣2 （a﹣5）＝﹣2a+10
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
【解答】解：A．t+t＝2t，故本选项不合题意；
B．（3x2）3＝27x6，故本选项不合题意；
C．m8÷m4＝m4，故本选项不合题意；
D．﹣2 （a﹣5）＝﹣2a+10，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（4分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
因此图A是圆柱的展开图．
故选：A．
5．（4分）“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（ ）
A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
C．月跑步里程最大值出现在10月
D．月跑步里程逐月增加
【分析】根据题意，依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
在A中，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故A选项正确；
在B中，月跑步里程高峰期大致在9月、10月，从小到大排列为：
2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，
所以月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，
故B选项正确；
在C中，月跑步里程最大值出现在10月，故C选项正确；
在D中，2月跑步里程比1月小，8月跑步里程比7月小，11月跑步里程比10月小，故D选项错误．
故选：D．
6．（4分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．∠CDB＝30°，⊙O的半径为6cm．则弦CD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm
【分析】由圆周角定理得出∠COB＝60°，由垂径定理得出CE＝DE，由含30°角的直角三角形的性质得OE＝OC＝3cm，CE＝OE＝3cm，即可得出CD的长．
【解答】解：∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝2∠CDB＝60°，
∵CD⊥AB，⊙O的半径为6cm，
∴CE＝DE，∠OCE＝90°﹣60°＝30°，OC＝6cm，
∴OE＝OC＝3cm，CE＝OE＝3cm，
∴CD＝2CE＝6cm；
故选：D．
8．（4分）如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为m．且|m+5|＝|m﹣c|，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在A点左侧 B．在线段AC上 C．在线段OC上 D．在线段OB上
【分析】根据A、C、O、B四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．
【解答】∵|m+5|表示点M与﹣5表示的点A之间的距离，|m﹣c|表示点M与数c表示的点C之间的距离，|m+5|＝|m﹣c|，
∴MA＝MC．
∴点M在线段AC上．
故选：B．
9．（4分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠B+∠C＝（ ）
A．115° B．130° C．135° D．150°
【分析】先根据∠1+∠2＝130°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝130°，
∴∠AMN+∠DNM＝＝115°．
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，
∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝115°．
故选：A．
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定
【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∵x0＜1＜x1，
∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）因式分解：5y3﹣5y＝ 5y（y+1）（y﹣1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝5y（y2﹣1）
＝5y（y+1）（y﹣1）．
故答案为：5y（y+1）（y﹣1）．
12．（4分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图案的卡片，它们的背面完全相同．现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是 ．
【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】解：∵四张卡片中中心对称图形从左往右数第2个是中心对称图形，
∴卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
13．（4分）解方程5（x﹣2）＝6（﹣）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是 乘法分配律 ．
解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．
②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．
③合并同类项，得2x＝8．
④系数化为1，得x＝4．
【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．
【解答】解：第①步去括号的依据是：乘法分配律．
故答案是：乘法分配律．
14．（4分）圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为6cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 120° ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长列式计算即可．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得，6π＝，
解得，n＝120，
∴这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为120°，
故答案为：120°．
15．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（3，4），顶点C在y轴正半轴上，则顶点B的坐标是 （3，9） ．
【分析】延长BA交x轴于D，依据菱形的性质，即可得到BD和OD的长，进而得出点B的坐标．
【解答】解：如图所示，延长BA交x轴于D，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB∥CO，
∴BD⊥OD，
∵顶点O，A的坐标分别是（0，0），（3，4），
∴OD＝3，AD＝4，AO＝＝5，
∴AB＝5，BD＝9，
∴点B的坐标为（3，9），
故答案为：（3，9）．
16．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD交BC延长线于点E．延长BA交CD延长线于点F．连接EF，BD．若点A、C分别为BF、BE的中点，且BD＝2．则EF＝ 2 ．
【分析】连接AC，由三角形中位线定理得AC∥EF，EF＝2AC，再证△FDB∽△FAC，得＝＝，然后证点D为△BEF的重心，则DF＝CF，得＝，即可解决问题．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵点A、C分别为BF、BE的中点，
∴AF＝BF，AC是△BEF的中位线，
∴AC∥EF，EF＝2AC，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DFB＝∠AFC，
∴△FDB∽△FAC，
∴＝＝，
∵点A、C分别为BF、BE的中点，
∴点D为△BEF的重心，
∴DF＝CF，
∴＝＝，
∴BF＝CF，
∴＝，
∴＝＝，
即＝，
解得：AC＝，
∴EF＝2AC＝2，
故答案为：2．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）计算：（）﹣3+|﹣2|﹣2sin45°
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝8+2﹣﹣2×
＝8+2﹣﹣
＝10﹣2．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．AE⊥BC．AF⊥CD．垂足分别为E，F．且BE＝DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】证△AEB≌△AFD（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝AD，即可解决问题．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
19．（8分）先化简，再求值：÷+1﹣a，其中a＝tan60°﹣1．
【分析】先将原式按照分式的混合运算的法则化简，再将a＝tan60°﹣1变形后代入，计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝×（a+1）+1﹣a
＝+
＝．
∵a＝tan60°﹣1，
∴a+1＝tan60°＝，
∴原式＝＝．
20．（8分）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和学习机．经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机便宜600元，购买3台平板电脑和2台学习机共需4600元
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）“6.18”品牌特卖，每台平板电脑在原价基础上打9折：学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，其中平板电脑至少购买20台且不超过学习机的数量．若学校购买的总费用少于8.23万元．请通过计算帮学校决策可以购买的方案有哪几种？
【分析】（1）设购买1台平板电脑需x元，购买1台学习机需y元，根据“购买1台平板电脑比购买2台学习机便宜600元，购买3台平板电脑和2台学习机共需4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m台平板电脑，则购买（100﹣m）台学习机，根据平板电脑至少购买20台且不超过学习机的数量以及购买的总费用少于8.23万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买1台平板电脑需x元，购买1台学习机需y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买1台平板电脑需1000元，购买1台学习机需800元．
（2）设学校购买m台平板电脑，则购买（100﹣m）台学习机，
依题意，得：，
解得：20≤m≤23．
∵m为正整数，
∴m可以取20，21，22，23，
∴学校共有4种购买方案，方案1：购买20台平板电脑，80台学习机；方案2：购买21台平板电脑，79台学习机；方案3：购买22台平板电脑，78台学习机；方案4：购买23台平板电脑，77台学习机．
21．（8分）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．
（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．
【分析】（1）连接OE，AE，根据切线的性质与判定即可求出答案．
（2）易证△CAE∽△ABE，所以AE2＝CE•BE，求出AE＝，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）连接OE，AE，
∵AD＝DE，OA＝OE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠OEA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAE+∠OAE＝∠DEA+∠OEA＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∴△CAE∽△ABE，
∴AE2＝CE•BE，
∴AE2＝1×3，
∴AE＝，
在Rt△ACE中，
∴tan∠ACE＝＝，
∴∠ACE＝60°．
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°，AC＝+1．
（1）请用尺规作出△ABC关于直线AB对称图形△ABD（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）在（1）的条件下，连接CD，将△ACD绕点D顺时针方向旋转60°得到△DEF（点A、C的对应点分别为点E、F），连接AE．交BD于点M．请补全图形，并求出EM的长．
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，AC、BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、BD，即可作出△ABC关于直线AB对称图形△ABD；
（2）根据对称性和旋转的性质可得△ADC、△DEF是等腰直角三角形，△ADE、△BDC为等边三角形，△ABM和△AEB是顶角是30°的等腰三角形，所以△ABM∽△AEB，再根据以上条件和相似三角形对应边成比例可得AB、AM的长，进而可得EM的长．
【解答】解：（1）如图，△ABD为所作；
（2）如图，∵∠ABC＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠BAC＝135°，
∵△ABC关于直线AB对称图形△ABD，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BAC＝135°，BD＝BC，AD＝AC＝+1，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝60°，DC＝DB，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∵△ACD绕点D顺时针方向旋转60°得到△DEF，
∴F点与B点重合，∠ADE＝60°，DE＝DA，∠DBE＝∠DCA＝45°，BE＝CA＝+1，
∴△ADE为等边三角形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝75°，∠EBA＝75°，
∵∠ABM＝30°，
∴∠AMB＝75°，
∴△ABM和△AEB是顶角是30°的等腰三角形，
∴△ABM∽△AEB，
∴＝，
∵△DEF是等腰直角三角形，DE＝+1，
∴BD＝＝（+1）＝+，
∴DG＝AG＝BD＝（+），
∴BG＝DG＝（3+），
∴AB＝BG﹣AG＝（3+）﹣（+）＝，
∴＝，
∴AM＝﹣1，
∴EM＝AE﹣AM＝（+1）﹣（﹣1）＝2．
则EM的长为2．
23．（10分）某商家为了解店里进价均为每个18元的某商品的盈利情况，对这一商品40天的销售情况进行统计．
售价（单位：元）
26
24
23
日销量（单位：个）
10
15
20
（1）若日销售量不低于15件．则称当日为“畅销日”．认为“畅销日”天数占总天数的比例不低于70%是否合理？请说明理由．
（2）若商家每晚19：00﹣21：00雇佣一名大学生做兼职客服．预计日销量可提高30%，但需支付客服每晚30元，那么增加客服后是否会提高日平均利润？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）计算出雇佣大学生做兼职客服前日平均利润为89（元）；雇佣大学生做兼职客服后平均利润为85.7（元），于是得到结论．
【解答】解：（1）合理，
理由：畅销日”天数占总天数的比例＝＝70%，
故合理；
（2）雇佣大学生做兼职客服前日利润情况为：10×（26﹣18）＝80，15×（24﹣18）＝90，20×（23﹣18）＝100，
∴日平均利润为：＝89（元）；
雇佣大学生做兼职客服后日利润情况为：10×（1+30%）×（26﹣18）﹣30＝74，
15×（1+30%）×（24﹣18）﹣30＝87，
20×（1+30%）×（23﹣18）﹣30＝100，
∴日平均利润为：＝85.7（元），
即增加客服后不会提高日平均利润．
24．（12分）如用，两个大小不同的矩形放在同一平面内，这两个矩形的长与宽之比均为．且有一个公共顶点B，矩形BEFG的顶点E在矩形ABCD的对角线AC上，AD＞AB，EF＞EB，连接CG．EG，交BC于点H．
（1）当点E为AC中点时，求证：△BCG为等边三角形；
（2）若AE＝3，CE＝7．求的值．
【分析】（1）由锐角三角函数可求∠A＝60°，由直角三角形的性质可得AE＝BE，可得△ABE是等边三角形，可得∠ABE＝60°，BA＝BE，即可得结论；
（2）通过证明△BHE∽△GHC，可得＝，由相似三角形的性质和勾股定理分别求出BE，GC的长，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得BC＝AB，BG＝BE，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°，
同理可得∠GEB＝60°，
∵点E为AC中点，∠ABC＝90°，
∴AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BA＝BE，
∴BG＝BC，
∵∠ABC＝∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG＝60°，
∴△BCG是等边三角形；
（2）∵∠A＝∠BEG＝60°，
∴∠BCE＝∠BGE＝30°，
∴点E，点B，点G，点C四点共圆，
∴∠BCG＝∠BEG＝60°，∠EBH＝∠CGH，
∴△BHE∽△GHC，
∴＝，
∵∠BCG＝∠A＝60°，∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE∽△CBG，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∵∠ECG＝∠BCE+∠BCG＝90°，
∴EG＝＝＝2，
∵∠EGB＝30°，
∴BE＝，
∴＝＝＝．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，n）为反比例函数y＝（k＞1，x＞0）图象上一动点，连接OP．将OP绕点O顺时针旋转，点P的对应点Q恰好落在该函数图象上．连接PQ，直线PQ与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）①∠OAB的度数为 45° ，
②当m＝1，且∠BOP＝∠OAB﹣∠AOQ时，求OP在旋转过程中扫过的面积．
（2）当≤m≤2时，点P始终不在直线l：y＝﹣（k+1）x+7的下方，求k的取值范围．
【分析】（1）①过点P作PM⊥OB于M，过点Q作QN⊥OA于N，由“SAS”可证△PMO≌△QNO，可得∠POM＝∠QON，由“ASA”可证△OPB≌△OQA，可得OB＝OA，即可求解；
②先求出OP2的值，再由扇形的面积公式可求解；
（2）先求出直线与反比例函数图象只有一个交点时，k的值，即可解．
【解答】解：（1）①过点P作PM⊥OB于M，过点Q作QN⊥OA于N，
由双曲线的对称性质知，P、Q两点关于直线y＝x对称，
∵P（m，n），
∴Q（n，m），
∴PM＝QN＝m，OM＝ON＝n，
∵∠PMO＝∠QNO＝90°，
∴△PMO≌△QNO（SAS），
∴∠POM＝∠QON，
∵OP＝OQ，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴∠OPB＝∠OQA，
∴△OPB≌△OQA（ASA），
∴OB＝OA，
∴∠OAB＝45°．
故答案为45°；
②过点O作OH⊥PQ于H．
当m＝1时，P（1，n），Q（n，1），
∴PM＝QN＝1，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴△PBM，△QNA都是等腰直角三角形，
∴PM＝BM＝QN＝AN＝1，PB＝AQ＝，
∵∠BOP＝∠OAB﹣∠AOQ，
∴∠BOP+∠AOQ＝45°，
∵∠POB＝∠AOQ，
∴∠POB＝∠AOQ＝22.5°，
∵OP＝OQ，OH⊥PQ，
∴∠POH＝∠QOH＝22.5°，PH＝HQ，
∵∠POM＝∠POH＝22.5°，PM⊥OB，HO⊥PH，
∴PM＝PH＝1，
∴PQ＝2，
∵ON＝OM＝n，
∴OA＝OB＝1+n．
∵AB＝OA，
∴2+2＝（n+1），
∴n＝+1，
∴OM＝ON＝+1，
∴OP2＝PM2+OM2＝4+2，
∴OP在旋转过程中扫过的面积＝＝π．
（2）当m＝时，则3k＝﹣（k+1）+7，
∴k＝2，
当m＝2时，则＝﹣2（k+1）+7，
∴k＝2，
∴当k＝2时，直线l：y＝﹣（k+1）x+7与反比例函数的两个交点的横坐标为和2，
当直线l：y＝﹣（k+1）x+7与反比例函数只有一个交点时，
∴＝﹣（k+1）x+7，
∴（k+1）x2﹣7x+k＝0，
∴△＝49﹣4k•（k+1）＝0，
∴k1＝，k2＝（舍去），
∴当k＞时，点P始终不在直线l：y＝﹣（k+1）x+7的下方．
2020年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若等式（﹣5）□5＝0成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（ ）
A．0.96×10﹣4 B．9.6×10﹣3 C．9.6×10﹣5 D．96×10﹣6
3．（4分）下列式子运算正确的是（ ）
A．t+t＝t2 B．（3x2）3＝9x5
C．m8÷m4＝m2 D．﹣2 （a﹣5）＝﹣2a+10
4．（4分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（ ）
A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
C．月跑步里程最大值出现在10月
D．月跑步里程逐月增加
6．（4分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．∠CDB＝30°，⊙O的半径为6cm．则弦CD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm
8．（4分）如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为m．且|m+5|＝|m﹣c|，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在A点左侧 B．在线段AC上 C．在线段OC上 D．在线段OB上
9．（4分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠B+∠C＝（ ）
A．115° B．130° C．135° D．150°
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）因式分解：5y3﹣5y＝ ．
12．（4分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图案的卡片，它们的背面完全相同．现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是 ．
13．（4分）解方程5（x﹣2）＝6（﹣）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是 ．
解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．
②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．
③合并同类项，得2x＝8．
④系数化为1，得x＝4．
14．（4分）圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为6cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（3，4），顶点C在y轴正半轴上，则顶点B的坐标是 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD交BC延长线于点E．延长BA交CD延长线于点F．连接EF，BD．若点A、C分别为BF、BE的中点，且BD＝2．则EF＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）计算：（）﹣3+|﹣2|﹣2sin45°
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．AE⊥BC．AF⊥CD．垂足分别为E，F．且BE＝DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
19．（8分）先化简，再求值：÷+1﹣a，其中a＝tan60°﹣1．
20．（8分）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和学习机．经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机便宜600元，购买3台平板电脑和2台学习机共需4600元
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）“6.18”品牌特卖，每台平板电脑在原价基础上打9折：学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，其中平板电脑至少购买20台且不超过学习机的数量．若学校购买的总费用少于8.23万元．请通过计算帮学校决策可以购买的方案有哪几种？
21．（8分）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．
（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°，AC＝+1．
（1）请用尺规作出△ABC关于直线AB对称图形△ABD（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）在（1）的条件下，连接CD，将△ACD绕点D顺时针方向旋转60°得到△DEF（点A、C的对应点分别为点E、F），连接AE．交BD于点M．请补全图形，并求出EM的长．
23．（10分）某商家为了解店里进价均为每个18元的某商品的盈利情况，对这一商品40天的销售情况进行统计．
售价（单位：元）
26
24
23
日销量（单位：个）
10
15
20
（1）若日销售量不低于15件．则称当日为“畅销日”．认为“畅销日”天数占总天数的比例不低于70%是否合理？请说明理由．
（2）若商家每晚19：00﹣21：00雇佣一名大学生做兼职客服．预计日销量可提高30%，但需支付客服每晚30元，那么增加客服后是否会提高日平均利润？请说明理由．
24．（12分）如用，两个大小不同的矩形放在同一平面内，这两个矩形的长与宽之比均为．且有一个公共顶点B，矩形BEFG的顶点E在矩形ABCD的对角线AC上，AD＞AB，EF＞EB，连接CG．EG，交BC于点H．
（1）当点E为AC中点时，求证：△BCG为等边三角形；
（2）若AE＝3，CE＝7．求的值．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，n）为反比例函数y＝（k＞1，x＞0）图象上一动点，连接OP．将OP绕点O顺时针旋转，点P的对应点Q恰好落在该函数图象上．连接PQ，直线PQ与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）①∠OAB的度数为 ，
②当m＝1，且∠BOP＝∠OAB﹣∠AOQ时，求OP在旋转过程中扫过的面积．
（2）当≤m≤2时，点P始终不在直线l：y＝﹣（k+1）x+7的下方，求k的取值范围．
2020年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若等式（﹣5）□5＝0成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】利用运算法则判断即可．
【解答】解：根据题意得：﹣5+5＝0，
故选：A．
2．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（ ）
A．0.96×10﹣4 B．9.6×10﹣3 C．9.6×10﹣5 D．96×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000096＝9.6×10﹣5，
故选：C．
3．（4分）下列式子运算正确的是（ ）
A．t+t＝t2 B．（3x2）3＝9x5
C．m8÷m4＝m2 D．﹣2 （a﹣5）＝﹣2a+10
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
【解答】解：A．t+t＝2t，故本选项不合题意；
B．（3x2）3＝27x6，故本选项不合题意；
C．m8÷m4＝m4，故本选项不合题意；
D．﹣2 （a﹣5）＝﹣2a+10，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（4分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
因此图A是圆柱的展开图．
故选：A．
5．（4分）“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（ ）
A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
C．月跑步里程最大值出现在10月
D．月跑步里程逐月增加
【分析】根据题意，依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
在A中，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故A选项正确；
在B中，月跑步里程高峰期大致在9月、10月，从小到大排列为：
2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，
所以月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，
故B选项正确；
在C中，月跑步里程最大值出现在10月，故C选项正确；
在D中，2月跑步里程比1月小，8月跑步里程比7月小，11月跑步里程比10月小，故D选项错误．
故选：D．
6．（4分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．∠CDB＝30°，⊙O的半径为6cm．则弦CD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm
【分析】由圆周角定理得出∠COB＝60°，由垂径定理得出CE＝DE，由含30°角的直角三角形的性质得OE＝OC＝3cm，CE＝OE＝3cm，即可得出CD的长．
【解答】解：∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝2∠CDB＝60°，
∵CD⊥AB，⊙O的半径为6cm，
∴CE＝DE，∠OCE＝90°﹣60°＝30°，OC＝6cm，
∴OE＝OC＝3cm，CE＝OE＝3cm，
∴CD＝2CE＝6cm；
故选：D．
8．（4分）如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为m．且|m+5|＝|m﹣c|，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在A点左侧 B．在线段AC上 C．在线段OC上 D．在线段OB上
【分析】根据A、C、O、B四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．
【解答】∵|m+5|表示点M与﹣5表示的点A之间的距离，|m﹣c|表示点M与数c表示的点C之间的距离，|m+5|＝|m﹣c|，
∴MA＝MC．
∴点M在线段AC上．
故选：B．
9．（4分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠B+∠C＝（ ）
A．115° B．130° C．135° D．150°
【分析】先根据∠1+∠2＝130°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝130°，
∴∠AMN+∠DNM＝＝115°．
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，
∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝115°．
故选：A．
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定
【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∵x0＜1＜x1，
∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）因式分解：5y3﹣5y＝ 5y（y+1）（y﹣1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝5y（y2﹣1）
＝5y（y+1）（y﹣1）．
故答案为：5y（y+1）（y﹣1）．
12．（4分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图案的卡片，它们的背面完全相同．现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是 ．
【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】解：∵四张卡片中中心对称图形从左往右数第2个是中心对称图形，
∴卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
13．（4分）解方程5（x﹣2）＝6（﹣）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是 乘法分配律 ．
解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．
②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．
③合并同类项，得2x＝8．
④系数化为1，得x＝4．
【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．
【解答】解：第①步去括号的依据是：乘法分配律．
故答案是：乘法分配律．
14．（4分）圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为6cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 120° ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长列式计算即可．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得，6π＝，
解得，n＝120，
∴这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为120°，
故答案为：120°．
15．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（3，4），顶点C在y轴正半轴上，则顶点B的坐标是 （3，9） ．
【分析】延长BA交x轴于D，依据菱形的性质，即可得到BD和OD的长，进而得出点B的坐标．
【解答】解：如图所示，延长BA交x轴于D，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB∥CO，
∴BD⊥OD，
∵顶点O，A的坐标分别是（0，0），（3，4），
∴OD＝3，AD＝4，AO＝＝5，
∴AB＝5，BD＝9，
∴点B的坐标为（3，9），
故答案为：（3，9）．
16．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD交BC延长线于点E．延长BA交CD延长线于点F．连接EF，BD．若点A、C分别为BF、BE的中点，且BD＝2．则EF＝ 2 ．
【分析】连接AC，由三角形中位线定理得AC∥EF，EF＝2AC，再证△FDB∽△FAC，得＝＝，然后证点D为△BEF的重心，则DF＝CF，得＝，即可解决问题．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵点A、C分别为BF、BE的中点，
∴AF＝BF，AC是△BEF的中位线，
∴AC∥EF，EF＝2AC，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DFB＝∠AFC，
∴△FDB∽△FAC，
∴＝＝，
∵点A、C分别为BF、BE的中点，
∴点D为△BEF的重心，
∴DF＝CF，
∴＝＝，
∴BF＝CF，
∴＝，
∴＝＝，
即＝，
解得：AC＝，
∴EF＝2AC＝2，
故答案为：2．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）计算：（）﹣3+|﹣2|﹣2sin45°
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝8+2﹣﹣2×
＝8+2﹣﹣
＝10﹣2．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．AE⊥BC．AF⊥CD．垂足分别为E，F．且BE＝DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】证△AEB≌△AFD（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝AD，即可解决问题．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
19．（8分）先化简，再求值：÷+1﹣a，其中a＝tan60°﹣1．
【分析】先将原式按照分式的混合运算的法则化简，再将a＝tan60°﹣1变形后代入，计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝×（a+1）+1﹣a
＝+
＝．
∵a＝tan60°﹣1，
∴a+1＝tan60°＝，
∴原式＝＝．
20．（8分）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和学习机．经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机便宜600元，购买3台平板电脑和2台学习机共需4600元
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）“6.18”品牌特卖，每台平板电脑在原价基础上打9折：学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，其中平板电脑至少购买20台且不超过学习机的数量．若学校购买的总费用少于8.23万元．请通过计算帮学校决策可以购买的方案有哪几种？
【分析】（1）设购买1台平板电脑需x元，购买1台学习机需y元，根据“购买1台平板电脑比购买2台学习机便宜600元，购买3台平板电脑和2台学习机共需4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m台平板电脑，则购买（100﹣m）台学习机，根据平板电脑至少购买20台且不超过学习机的数量以及购买的总费用少于8.23万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买1台平板电脑需x元，购买1台学习机需y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买1台平板电脑需1000元，购买1台学习机需800元．
（2）设学校购买m台平板电脑，则购买（100﹣m）台学习机，
依题意，得：，
解得：20≤m≤23．
∵m为正整数，
∴m可以取20，21，22，23，
∴学校共有4种购买方案，方案1：购买20台平板电脑，80台学习机；方案2：购买21台平板电脑，79台学习机；方案3：购买22台平板电脑，78台学习机；方案4：购买23台平板电脑，77台学习机．
21．（8分）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．
（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．
【分析】（1）连接OE，AE，根据切线的性质与判定即可求出答案．
（2）易证△CAE∽△ABE，所以AE2＝CE•BE，求出AE＝，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）连接OE，AE，
∵AD＝DE，OA＝OE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠OEA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAE+∠OAE＝∠DEA+∠OEA＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∴△CAE∽△ABE，
∴AE2＝CE•BE，
∴AE2＝1×3，
∴AE＝，
在Rt△ACE中，
∴tan∠ACE＝＝，
∴∠ACE＝60°．
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°，AC＝+1．
（1）请用尺规作出△ABC关于直线AB对称图形△ABD（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）在（1）的条件下，连接CD，将△ACD绕点D顺时针方向旋转60°得到△DEF（点A、C的对应点分别为点E、F），连接AE．交BD于点M．请补全图形，并求出EM的长．
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，AC、BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、BD，即可作出△ABC关于直线AB对称图形△ABD；
（2）根据对称性和旋转的性质可得△ADC、△DEF是等腰直角三角形，△ADE、△BDC为等边三角形，△ABM和△AEB是顶角是30°的等腰三角形，所以△ABM∽△AEB，再根据以上条件和相似三角形对应边成比例可得AB、AM的长，进而可得EM的长．
【解答】解：（1）如图，△ABD为所作；
（2）如图，∵∠ABC＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠BAC＝135°，
∵△ABC关于直线AB对称图形△ABD，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BAC＝135°，BD＝BC，AD＝AC＝+1，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝60°，DC＝DB，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∵△ACD绕点D顺时针方向旋转60°得到△DEF，
∴F点与B点重合，∠ADE＝60°，DE＝DA，∠DBE＝∠DCA＝45°，BE＝CA＝+1，
∴△ADE为等边三角形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝75°，∠EBA＝75°，
∵∠ABM＝30°，
∴∠AMB＝75°，
∴△ABM和△AEB是顶角是30°的等腰三角形，
∴△ABM∽△AEB，
∴＝，
∵△DEF是等腰直角三角形，DE＝+1，
∴BD＝＝（+1）＝+，
∴DG＝AG＝BD＝（+），
∴BG＝DG＝（3+），
∴AB＝BG﹣AG＝（3+）﹣（+）＝，
∴＝，
∴AM＝﹣1，
∴EM＝AE﹣AM＝（+1）﹣（﹣1）＝2．
则EM的长为2．
23．（10分）某商家为了解店里进价均为每个18元的某商品的盈利情况，对这一商品40天的销售情况进行统计．
售价（单位：元）
26
24
23
日销量（单位：个）
10
15
20
（1）若日销售量不低于15件．则称当日为“畅销日”．认为“畅销日”天数占总天数的比例不低于70%是否合理？请说明理由．
（2）若商家每晚19：00﹣21：00雇佣一名大学生做兼职客服．预计日销量可提高30%，但需支付客服每晚30元，那么增加客服后是否会提高日平均利润？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）计算出雇佣大学生做兼职客服前日平均利润为89（元）；雇佣大学生做兼职客服后平均利润为85.7（元），于是得到结论．
【解答】解：（1）合理，
理由：畅销日”天数占总天数的比例＝＝70%，
故合理；
（2）雇佣大学生做兼职客服前日利润情况为：10×（26﹣18）＝80，15×（24﹣18）＝90，20×（23﹣18）＝100，
∴日平均利润为：＝89（元）；
雇佣大学生做兼职客服后日利润情况为：10×（1+30%）×（26﹣18）﹣30＝74，
15×（1+30%）×（24﹣18）﹣30＝87，
20×（1+30%）×（23﹣18）﹣30＝100，
∴日平均利润为：＝85.7（元），
即增加客服后不会提高日平均利润．
24．（12分）如用，两个大小不同的矩形放在同一平面内，这两个矩形的长与宽之比均为．且有一个公共顶点B，矩形BEFG的顶点E在矩形ABCD的对角线AC上，AD＞AB，EF＞EB，连接CG．EG，交BC于点H．
（1）当点E为AC中点时，求证：△BCG为等边三角形；
（2）若AE＝3，CE＝7．求的值．
【分析】（1）由锐角三角函数可求∠A＝60°，由直角三角形的性质可得AE＝BE，可得△ABE是等边三角形，可得∠ABE＝60°，BA＝BE，即可得结论；
（2）通过证明△BHE∽△GHC，可得＝，由相似三角形的性质和勾股定理分别求出BE，GC的长，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得BC＝AB，BG＝BE，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°，
同理可得∠GEB＝60°，
∵点E为AC中点，∠ABC＝90°，
∴AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BA＝BE，
∴BG＝BC，
∵∠ABC＝∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG＝60°，
∴△BCG是等边三角形；
（2）∵∠A＝∠BEG＝60°，
∴∠BCE＝∠BGE＝30°，
∴点E，点B，点G，点C四点共圆，
∴∠BCG＝∠BEG＝60°，∠EBH＝∠CGH，
∴△BHE∽△GHC，
∴＝，
∵∠BCG＝∠A＝60°，∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE∽△CBG，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∵∠ECG＝∠BCE+∠BCG＝90°，
∴EG＝＝＝2，
∵∠EGB＝30°，
∴BE＝，
∴＝＝＝．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，n）为反比例函数y＝（k＞1，x＞0）图象上一动点，连接OP．将OP绕点O顺时针旋转，点P的对应点Q恰好落在该函数图象上．连接PQ，直线PQ与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）①∠OAB的度数为 45° ，
②当m＝1，且∠BOP＝∠OAB﹣∠AOQ时，求OP在旋转过程中扫过的面积．
（2）当≤m≤2时，点P始终不在直线l：y＝﹣（k+1）x+7的下方，求k的取值范围．
【分析】（1）①过点P作PM⊥OB于M，过点Q作QN⊥OA于N，由“SAS”可证△PMO≌△QNO，可得∠POM＝∠QON，由“ASA”可证△OPB≌△OQA，可得OB＝OA，即可求解；
②先求出OP2的值，再由扇形的面积公式可求解；
（2）先求出直线与反比例函数图象只有一个交点时，k的值，即可解．
【解答】解：（1）①过点P作PM⊥OB于M，过点Q作QN⊥OA于N，
由双曲线的对称性质知，P、Q两点关于直线y＝x对称，
∵P（m，n），
∴Q（n，m），
∴PM＝QN＝m，OM＝ON＝n，
∵∠PMO＝∠QNO＝90°，
∴△PMO≌△QNO（SAS），
∴∠POM＝∠QON，
∵OP＝OQ，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴∠OPB＝∠OQA，
∴△OPB≌△OQA（ASA），
∴OB＝OA，
∴∠OAB＝45°．
故答案为45°；
②过点O作OH⊥PQ于H．
当m＝1时，P（1，n），Q（n，1），
∴PM＝QN＝1，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴△PBM，△QNA都是等腰直角三角形，
∴PM＝BM＝QN＝AN＝1，PB＝AQ＝，
∵∠BOP＝∠OAB﹣∠AOQ，
∴∠BOP+∠AOQ＝45°，
∵∠POB＝∠AOQ，
∴∠POB＝∠AOQ＝22.5°，
∵OP＝OQ，OH⊥PQ，
∴∠POH＝∠QOH＝22.5°，PH＝HQ，
∵∠POM＝∠POH＝22.5°，PM⊥OB，HO⊥PH，
∴PM＝PH＝1，
∴PQ＝2，
∵ON＝OM＝n，
∴OA＝OB＝1+n．
∵AB＝OA，
∴2+2＝（n+1），
∴n＝+1，
∴OM＝ON＝+1，
∴OP2＝PM2+OM2＝4+2，
∴OP在旋转过程中扫过的面积＝＝π．
（2）当m＝时，则3k＝﹣（k+1）+7，
∴k＝2，
当m＝2时，则＝﹣2（k+1）+7，
∴k＝2，
∴当k＝2时，直线l：y＝﹣（k+1）x+7与反比例函数的两个交点的横坐标为和2，
当直线l：y＝﹣（k+1）x+7与反比例函数只有一个交点时，
∴＝﹣（k+1）x+7，
∴（k+1）x2﹣7x+k＝0，
∴△＝49﹣4k•（k+1）＝0，
∴k1＝，k2＝（舍去），
∴当k＞时，点P始终不在直线l：y＝﹣（k+1）x+7的下方．
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