2024清华附中高二期中考试数学模拟试卷

这是一份2024清华附中高二期中考试数学模拟试卷，共14页。

②若，则；
③若，则；
④，存在实数，使得．
其中所有正确判断的序号是_______．
【答案】②③④
候选一 15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：
①的蒙日圆的方程为
②在直线上存在点，椭圆上存在，使得；
③记点到直线的距离为，则的最小值为；
④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.
其中所有正确结论的序号为__________.
【答案】①②④
候选二 15. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
①. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
②. 在杨辉三角第十行中，从左到右第7个数是84
③. 去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前37项和为1014
④. 由“”猜想
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据组合数和二项式系数的性质，结合杨辉三角的定义和等比数列等差数列的前项和公式逐一判断即可.
【详解】对于①，由组合数的性质可得，故①正确；
对于②，在杨辉三角第十行中，从左到右第7个数是，故②正确；
对于③，由题意，去除所有为1的项，
即为从杨辉三角的第行开始，除去首尾两个的数依此构成数列，
则行，这个数列共有项，
因为，
所以此数列的前37项在杨辉三角的第行，
且第项为，
由杨辉三角和二项式系数可得杨辉三角中第行所有数之和为，
所以杨辉三角中前行所有数之和为，
所以此数列的前37项和为，故C正确；
对于④，，故④错误.
故选：①②③.
候选三 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线的准线为为坐标原点，在轴上方有两束平行于轴的入射光线和，分别经上的点和点反射后，再经上相应的点和点反射，最后沿直线和射出，且与之间的距离等于与之间的距离.则下列说法中正确的是（ ）
①若直线与准线相交于点，则三点共线
②若直线与准线相交于点，则平分
③
④若直线的方程为，则
【解析】对于选项①，因为直线经过焦点，设直线，与抛物线联立得，
由题意得，
，所以，
即三点共线，①正确；
对于选项②，因为，
所以，所以，与和相交于点矛盾，②错误；
对于选项与距离等于与距离，则，
所以正确；
对于选项④，，
，，④正确.故选①③④
18.已知数列中，，设为前项和，.
（1）求的通项公式.
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）因为. 当时，，即.
当时，，即.
当时，，
所以，化简得.
当时，，即.
当时都满足上式，所以，.
（2）因为，所以，
.
两式相减得，
，
即，.
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
19. 【答案】（1）
（2）见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值；
（3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明.
【小问1详解】
，，，
所以曲线在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于0，函数单调递减，
在区间大于0，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
21.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点不在线族：的任意一条直线上，求的取值范和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，叔.
（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，无解.
将整理成关于的一元二次方程；
.
若该方程无解，则，即.
证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，于是可以得到在点处的切线方程为：，即.
今直线族中，则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意那是抛物线在点处的切线.
所以直线族的包络曲线为.
（3）法一：已知，设，则.
.
由（2）知，在点处的切线方程为；同理在点处的切线方程为.
，所以.
因此，
同理：.
所以，
即，所以成立.
法二：过分别作准线的垂线，连接.
因为.
显然.
又由抛物线定义得：，故为线段的中垂线，得到，即.
同理可知，
所以，即.
则.
所以成立.
21.已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
（1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
（2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）．
（2）存在，点A到直线距离的最大值为2，．
【解析】
【分析】（1）由题意结合双曲线的性质，即可求得答案；
（2）方法一：设，，，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合，即可求得参数之间的关系，代入，即可求得答案；
方法二：设，，，，，
利用，的方程求出，，的表达式，即可得的坐标，从而求出的方程，可推出过定点，即可求得答案；
方法三：设，，，，，可得，设：，联立双曲线方程化简得出，变形后利用根与系数的关系可得出，求出n，即可推出过定点，即可求得答案..
【小问1详解】
（ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立，
解得或，即双曲线的两顶点为，
故实轴长为；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，
曲线的方程为；
【小问2详解】
方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：，
联立：得，
所以，，①，
因为：，令，则，同理，，②
依题意得，③
由①②③得，，
所以，即或，
若，则：过点A，不合题意；
若，则：．所以，恒过，
所以，．当且仅当，即时取得，
此时方程为，结合，
解得，，，
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为；
方法二：设，，，，，
则：，：，
联立，得，
为此方程的一根，另外一根为，则，
代入方程得，，
同理可得，，
即，，
则，
所以直线的方程为，
所以直线过定点,
所以．当且仅当，即时取得，
解得,
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为；
方法三：设，，，，，
则，
依题意，直线不过点A，可设：，
曲线的方程改写为，即，
联立直线的方程得，
所以，
若，则，代入直线方程，无解；
故，两边同时除以得，
则，得，
在直线：中，令，则，
所以，恒过，
所以，，
当且仅当，即时取得，此时，符合题意，
且方程为，解得，，，
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为．
【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力.
21. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标；
②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值.
【小问1详解】
由，，
知，，
所以，所以；
【小问2详解】
设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
①，
.
②因为，所以，
则，
∵， .
∴，
，
所以与的夹角的余弦值为