2022-2023学年山东省济南市钢城实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市钢城实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )
A. x+y=5y+z=6B. x2+y=10x+y=−2C. x+y=8xy=−5D. x=1x+y=−3
2.下列选项中属于命题的是( )
A. 任意一个三角形的内角和一定是1800吗？
B. 画一条直线
C. 异号两数之和一定是负数
D. 连结A、B两点
3.下列事件中属于不可能事件的是( )
A. 在足球比赛中，弱队战胜强队
B. 任取两个正整数，其和大于1
C. 抛掷一硬币，落地后正面朝上
D. 用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形
4.如图，下列条件中能判定AB/​/CD的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠B=∠D
D. ∠D=∠5
5.骰子各面上的点数分别是1，2，…，6.抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是( )
A. 12B. 14C. 16D. 1
6.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是
( )
A. 8y+3=x7y−4=xB. 8x+3=y7x−4=yC. 8x−3=y7x+4=yD. 8y−3=x7y+4=x
7.一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 215
8.已知x，y满足方程组x+2y=122x+y=−15，则(x+y)2023的值为( )
A. 2023B. −1C. 1D. −2023
9.一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为( )
A. 9cmB. 12cmC. 7cmD. 9cm或12cm
10.如图，AB/​/CD，AC平分∠BAD，∠B=∠CDA，点E在AD的延长线上，连接EC，∠B=2∠CED，下列结论；①BC/​/AD；②CA平分∠BCD；③AC⊥EC；④∠ECD=∠CED.其中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.有九张相同的卡片，上印有汉字“我、参、与、我、奉、献、我、快、乐”.九张卡片任意搅乱后，一个人随机抽取一张，卡片上写有汉字“我”的概率是______．
12.如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若∠1=18°，则∠2的度数为______．
13.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=62°，则∠AEG= °.
14.如图，不解关于x，y的方程组y=x+1y=mx+n，请直接写出它的解______．
15.一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是13，则随机摸出一个球是蓝球的概率是______．
16.如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠ADP=______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程组：
(1)x+2y=−35x−2y=9；
(2)x6+y3=2x+3y=5．
18.(本小题6分)
小刚与小强玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小刚从袋中摸出一球，记下号码，然后放回由小强摸，规定：如果摸到的球号码大于3则小刚胜，否则小强胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
20.(本小题8分)
如图，∠1=∠BCE，∠2+∠3=180°．
(1)判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
(2)若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1=72°，求∠BAD的度数．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC=6，BC=8，求线段AD的长．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．
23.(本小题8分)
学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本，求男生、女生志愿者各有多少人？
24.(本小题10分)
如图，直线l1的函数表达式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线l2的解析表达式；
(3)求△ADC的面积．
25.(本小题10分)
如图(1)：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
(1)求证：MN=AM+BN．
(2)如图(2)，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则图(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
26.(本小题12分)
小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆.图中折线O−A−B−C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为______分钟，小聪返回学校的速度为______千米/分钟；
(2)求线段BC所在直线的表达式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、该方程组中有3个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意；
B、该方程组中x的最高次数为2，不属于二元一次方程组，不符合题意；
C、该方程组中xy的次数为2，不属于二元一次方程组，不符合题意；
D、该方程组属于二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
根据二元一次方程组的定义进行分析判断．
本题考查了二元一次方程组，二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
2.【答案】C
【解析】解：A、任意一个三角形的内角和一定是1800吗？，是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意；
B、画一条直线，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意；
C、异号两数之和一定是负数，是命题，符合题意；
D、连结A、B两点，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意；
故选：C．
根据命题的概念判断即可．
本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、在足球比赛中，弱队战胜强队，属于随机事件，不符合题意；
B、任取两个正整数，其和大于1，属于必然事件，不符合题意；
C、抛掷一硬币，落地后正面朝上，属于随机事件，不符合题意；
D、用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形，属于不可能事件，符合题意；
故选：D．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此对各选项分析判断即可得解．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】B
【解析】解：A、根据角∠1=∠2，可以得到AD//BC，但不能判定AB/​/CD，不符合题意；
B、∠3=∠4，能判定AB/​/CD，符合题意；
C、∠B=∠D，不能判定AB/​/CD，不符合题意；
D、∠D=∠5，可以得到AD//BC，但不能判定AB/​/CD，不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5.【答案】A
【解析】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有3种，
∴朝上一面的点数为偶数的概率36=12．
故选：A．
根据概率公式即可得．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
根据题意可得等量关系：人数×8−3=物品价值；人数×7+4=物品价值，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】
解：设有x人，物品价值y元，由题意得：
8x−3=y7x+4=y，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵阴影区域的面积为12×4×1+12×2×2=4，长方形的面积为4×3=12，
∴飞镖落在阴影区域的概率是412=13，
故选：A．
根据三角形和长方形的面积公式求出阴影部分的面积与总面积，再根据概率公式即可得到结论．
此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据三角形面积公式和长方形面积公式求出阴影部分的面积与总面积的比．
8.【答案】B
【解析】解：x+2y=12①2x+y=−15②，
②+①得：3x+3y=−3，
∴x+y=−1，
∴(x+y)2023=(−1)2023=−1，
故选：B．
利用②+①，可得出3x+3y=−3，再在方程的两边同时除以3，即可求出x+y=−1，再代入求值即可．
本题考查了解二元一次方程组，两方程相加后，得出3x+3y=−3是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：分两种情况讨论
①腰长为5cm时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2=4<5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故选：B．
本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠1=∠2，
∵AC平分∠BAD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠CDA，
∴∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴BC/​/AD；
∴①正确；
∴CA平分∠BCD，
∴②正确；
∵∠B=2∠CED，
∴∠CDA=2∠CED，
∵∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ECD=∠CED，
∴④正确；
∵BC/​/AD，
∴∠BCE+∠AEC=180°，
∴∠1+∠4+∠DCE+∠CED=180°，
∴∠1+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥EC，
∴③正确．
故其中正确的有①②③④，4个．
故选：D．
根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
11.【答案】13
【解析】解：全部9张卡片，3张是“我”字，所以一个人随机抽取一张，卡片上写有汉字“我”的概率是39=13．
故答案为：13．
数出“我”的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．
考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】138°
【解析】解：如图，
由题意得：∠E=90°，∠A=30°，DF/​/BC，
∴∠EDF=∠ECB，
∵∠ECB是△ABC的外角，
∴∠ECB=∠A+∠1=48°，
∴∠EDF=48°，
∵∠2是△DEF的外角，
∴∠2=∠E+∠EDF=138°．
故答案为：138°．
由题意可得∠E=90°，∠A=30°，DF/​/BC，从而有∠EDF=∠ECB，由三角形的外角性质可求得∠EDF=48°，再次利用三角形的外角性质即可求∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
13.【答案】56
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠1=62°，
∵沿EF折叠D到D′，
∴∠FEG=∠DEF=62°，
∴∠AEG=180°−62°−62°=56°，
故答案为：56．
根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质，折叠性质，矩形的性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
14.【答案】x=1y=2
【解析】解：∵y=x+1和y=mx+n的交点是(1,2)，
∴方程组y=x+1y=mx+n的解为x=1y=2．
故答案为x=1y=2．
根据两个函数的交点(1,2)可得方程组的解．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握两个一次函数的交点坐标是有两个函数解析式所组成的方程组的解．
15.【答案】49
【解析】解：设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得：
33+2+x=13，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解
则随机摸出一个球是蓝球的概率是：44+3+2=49．
故答案为：49．
先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】80°
【解析】解：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠ACB=180°−∠ACM=80°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=60°，
∵∠ADP是△ABD的外角，
∴∠ADP=∠ABP+∠A=80°，
故答案为：80°．
由角平分线的定义可求得∠ABC=40°，∠ACM=100°，从而可求得∠ACB=80°，利用三角形的内角和可求得∠A的度数，再利用三角形的外角性质可求∠ADP的度数．
本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是熟记三角形的内角和定理并灵活运用．
17.【答案】解：(1)x+2y=−3①5x−2y②，
①+②得：6x=6，
解得：x=1，
把x=1代入①得：1+2y=−3，
解得：y=−2，
则方程组的解为x=1y=−2；
(2)方程组整理得：x+2y=12①x+3y②，
②−①得：y=−7，
把y=−7代入①得：x+2×(−7)=12，
解得：x=26，
则方程组的解为x=26y=−7；
【解析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】解：不公平，理由如下：
由题意可知，号码大于3的概率是25，
不大于3的概率是35，
则小刚的胜率低于小强的胜率，这个游戏不公平．
【解析】根据概率公式先分别求出球号码大于3的概率和球号码小于3的概率，然后进行比较即可得出答案．
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
19.【答案】解：∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=35°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=15°．
【解析】由三角形的内角和可得∠BAC=70°，再由角平分线可求得∠BAE=∠EAC=35°，从而可得∠AEC=∠B+∠BAE=75°，结合AD⊥BC，即可求∠DAE的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为180°．
20.【答案】解：(1)AC/​/EF.理由：
∵∠1=∠BCE，
∴AD//CE，(同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠4，(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠3=180°，
∴∠4+∠3=180°，
∴EF//AC.(同旁内角互补，两直线平行)
(2)∵AD/​/EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD=∠4=∠2，
∵∠1=72°，∠ACD+∠2=∠1
∴∠2=36°，
∵EF/​/AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC=∠F=90°，
∴∠BAD=∠BAC−∠2=54°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义及垂直的性质等知识点，综合性较强，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
(1)由∠1=∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3=180°判断AC与EF的位置关系；
(2)由(1)的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的定义得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．
21.【答案】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
由折叠得DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴DE⊥AB，
∵12AB⋅DE+12AC⋅DC=12AC⋅BC=S△ABC，
∴12×10DC+12×6DC=12×6×8，
解得DC=3，
∴AD= AC2+DC2= 62+32=3 5，
∴线段AD的长是3 5．
【解析】由∠C=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理求得AB=10，由折叠得DE=DC，∠AED=∠C=90°，再由12×10DC+12×6DC=12×6×8=S△ABC，求得DC=3，所以AD= AC2+DC2=3 5．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明DE=DC并且正确地求出DC的长是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△DCB中AC=BDBC=BC
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
(2)△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DCB
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
【解析】(1)根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
(2)利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
23.【答案】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，
根据题意得：30x+20y=68050x+40y=1240，
解得：x=12y=16．
答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键，属基础题．
设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
24.【答案】解：(1)∵D在直线l1：y=−3x+3的图象上，
∴当y=0时，0=−3x+3，
解得：x=1，
∴D(1,0)；
(2)设直线l2的表达式为y=kx+b，
∵过(3,−32)，(4,0)，
∴−32=3k+b0=4k+b，
解得k=32b=−6，
∴直线l2的解析表达式为y=32x−6；
(3)∵y=−3x+3y=32x−6，解得：x=2y=−3，
∴C(2,−3)，
∴△ADC的面积为：12×AD×3=12×3×3=92．
【解析】(1)D在直线l1：y=−3x+3的图象上，计算l1的函数表达式y=−3x+3中y=0时的x的值即可；
(2)设直线l2的解析表达式为y=kx+b，利用待定系数法把(3,−32)，(4,0)代入可得关于k、b的方程组，计算出k、b的值，进而可得函数解析式；
(3)联立两个函数解析式组成方程组，解方程组可求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
此题主要考查了一次函数中两图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．
25.【答案】(1)证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB ，
∴△AMC≌△CNB(AAS)，
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
(2)解：图(1)中的结论不成立，MN=BN−AM.理由如下：
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB ，
∴△AMC≌△CNB(AAS)，
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM−CN，
∴MN=BN−AM．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
(1)利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论；
(2)类似于(1)的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
26.【答案】15 415
【解析】解：(1)∵30−15=15，4÷15=415，
∴小聪在图书馆查阅资料的时间是15分钟，小聪返回学校的速度是415千米/分钟．
故答案为：15；415
(2)由图象可知，线段BC所在直线，s是t的一次函数，
设函数解析式为s=mt+n(m≠0)，
代入(30,4)，(45,0)，得：
30m+n=445m+n=0，
解得：m=−415n=12，
∴s=−415t+12
(3)由图象可知，线段OC所在直线，s是t的正比例函数，
设所求函数的解析式为s=kt(k≠0)，
代入(45,4)，得：4=45k，
解得：k=445，
∴s与t的函数关系式s=445t(0≤t≤45)，
令−415t+12=445t，
解得t=1354，
当t=1354时，S=445×1354=3，交点为(1354,3)，
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
(1)根据图象上所给的数据的实际意义，线段AB表示小聪在图书馆查阅资料，线段BC表示小聪返回学校，可求解；
(2)由图象可知，线段BC所在直线，s是t的一次函数，设函数解析式为s=mt+n(m≠0)，把(30,4)，(45,0)代入，利用待定系数法求得表达式即可；
(3)由图象可知，线段OC所在直线，s是t的正比例函数，设所求函数的解析式为s=kt(k≠0)，把(45,4)代入解析式，利用待定系数法即可求解，再根据求函数图象的交点方法求得交点坐标即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，熟练地运用待定系数法求函数解析式和用方程求交点坐标是解题的关键．