广东省梅州市蕉岭县徐溪初级中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省梅州市蕉岭县徐溪初级中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共15页。

广东省梅州市蕉岭县徐溪初级中学2022-2023学年七年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）计算：a3•a3的值为（　　）
A．a9 B．a6 C．2a3 D．2a6
2．（3分）纳米（nm）是一种长度单位，1nm为十亿分之一米．海思麒麟990处理器使用7nm工艺制造，其中7nm用科学记数法可表示为（　　）
A．7×10﹣8m B．0.7×10﹣8m C．7×10﹣9m D．0.7×10﹣9m
3．（3分）小明从家到学校有3条路线，他为了节约时间总会选择路线②，其原因是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点之间直线最短
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣3a）3＝﹣9a3
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
5．（3分）一个不透明的袋中装有4个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则袋中红球的个数是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．10
6．（3分）等腰三角形的一边长11cm，另一边长5cm，它的第三边长为（　　）
A．5cm B．6cm C．11cm D．5cm或11cm
7．（3分）如所示各图中，正确画出△ABC中BC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，点D是BC上的一点，添加下列哪个条件不一定能使得△ABD≌△ACD成立的是（　　）
​

A．BD＝CD B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
9．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线PO交AB于点E，交AC于点D，若BC＝5，AC＝8，则△BDC的周长为（　　）
​

A．9 B．10.5 C．13 D．18
10．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（　　）

A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若3a﹣2b＝2，则53a÷52b＝　 　．
12．（3分）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°，∠2＝　 　．

13．（3分）如图，已知AC＝AB，要使△ABE≌△ACD，则需添加一个条件 　 　．

14．（3分）已知x﹣y＝3，xy＝10，则（x+y）2＝　 　．
15．（3分）如图，AB∥CD，∠C＝60°，点E是射线CD上一点，连接AE，将△AEC沿着AE翻折得△AEF，点C的对应点为点F，若∠EAF＝2∠FAB，那么∠AEC＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）计算：
（1）；
（2）（3a3）2•a4﹣（﹣a2）6÷a2．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2，y＝﹣1．
18．（8分）一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
（1）洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是　 　；
（2）请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
​（1）求作：∠ABC的角平分线交AC于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠A的度数．

20．（10分）如图，已知CF⊥AB，DE⊥AB，∠1＝∠2．试说明：FG∥AC．
解：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠DEA＝∠CFA＝90°
∴　 　∥　 　．（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠ACF（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
.∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）．
∴FG∥AC（ 　 　）．

21．（10分）小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 　 　米；小明在书店停留了 　 　分钟；
（2）如果骑车的速度超过了300米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由；
（3）请直接写出小明出发后多长时间离家的距离为900米？

22．（12分）随着科技的发展，在公共区域内安装“360° 智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点Q是图形内任意一点，点P1是图形内的点，连接P1Q，若线段P1Q总是在图形内或图形上，则称P1是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而P2不是“完美观测点”．

（1）如图2，以下各点是完美观测点的是 　 　（只有一个选项是正确的）．
A．M1
B．M2
C．M3
D．M4
（2）如图 3 在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母A、B表示；
（3）图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．

23．（12分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10cm，点P以1cm/s的速度沿着射线BC运动，连接AP．以AP为直角边向右作等腰直角△APQ，其中∠PAQ＝90°，连接CQ，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，则CQ＝　 　cm，∠ACQ＝　 　°；
（2）在点P的运动过程中，能否使△PCQ为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（3）请用含t的代数式直接写出△APQ的面积．


广东省梅州市蕉岭县徐溪初级中学2022-2023学年七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：根据题意得：a3•a3＝a3+3＝a6，
故选：B．
2． 解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9．
故选：C．
3． 解：根据两点之间，线段最短可得想走最短的路，应该选择第②条路．
故选：B．
4． 解：A．根据同底数幂的乘法，a2•a3＝a5，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据积的乘方，（﹣3a3）＝﹣27a3，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据同底数幂的除法，a6÷a2＝a4，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据积的乘方与幂的乘方，（﹣a2b）3＝﹣a6b3，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
5． 解：∵白球的频率稳定在0.4附近，
∴摸到白球的概率为0.4，
∴红球有：4÷0.4﹣4＝6（个），
故选：C．
6． 解：当等腰三角形第三边长为5cm时，
∵5+5＜11，
∴此时不满足三角形的三边关系，
∴第三边长不能是5cm；
当等腰三角形第三边长为11cm时，
∵11+5＞11，
∴此时满足三角形三边关系定理，
∴第三边长是11cm，
故选：C．
7． 解：A、图中AD是△ABC边BC上的高，本选项符合题意；
B、图中BD是△ABC边AC上的高，不是△ABC边BC上的高，本选项不符合题意；
C、图中CD是△ABC边AB上的高，不是△ABC边BC上的高，本选项不符合题意；
D、图中BD不是△ABC边BC上的高，本选项不符合题意；
故选：A．
8． 解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
A、当添加BD＝CD时，根据“SAS”或“SSS”可判断△ABD≌△ACD，所以本选项不符合题意；
B、当添加∠1＝∠2时，根据“ASA”或“SAS”可判断△ABD≌△ACD，所以本选项不符合题意；
C、当添加∠B＝∠C时，不能判断△ABD≌△ACD，所以本选项符合题意；
D、当添加∠ADB＝∠ADC时，由于∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，根据“AAS”或“HL”可判断△ABD≌△ACD，所以本选项不符合题意．
故选：C．
9． 解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴D点为AC的中点，
∴BD＝CD＝AD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝8+5＝13．
故选：C．
10． 解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝α，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，
∵∠DAE＝β，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA
＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）
＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
＝2β﹣α，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：∵3a﹣2b＝2，
∴53a÷52b＝53a﹣2b＝52＝25．
故答案为：25．
12． 解：由题意可知：∠1+∠EAC＝60°，∠EAC+∠2＝90°，
∵∠1＝27°，
∴∠EAC＝60°﹣∠1＝33°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝57°．
故答案为：57°．
13． 解：添加∠C＝∠B，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠C＝∠B（答案不唯一）．
14． 解：∵x﹣y＝3，xy＝10，
∴（x+y）2
＝x2+2xy+y2
＝x2﹣2xy+y2+4xy
＝（x﹣y）2+4xy
＝32+4×10
＝49，
故答案为：49．
15． 解：分两种情况：
①如图，当AF在AB上方时，

设∠BAF＝x，
∵将△ACE沿着AE翻折得△AEF，∠EAF＝2∠FAB，
∴∠CAE＝∠EAF＝2x，∠EAB＝x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝3x，
∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠EAB，∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∴3x＝120°，
解得：x＝40°，
∴∠AEC＝∠EAB＝40°；
②如图，当AF在AB下方时，

设∠BAF＝x，
∵将△ACE沿着AE翻折得△AEF，∠EAF＝2∠FAB，
∴∠CAE＝∠EAF＝2x，∠EAB＝3x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝5x，
∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠EAB，∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∴5x＝120°，
解得：x＝24°，
∴∠EAB＝3×24°＝72°，
∴∠AEC＝∠EAB＝72°，
综上所述，∠AEC＝40°或72°，
故答案为：40°或72°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）原式＝1﹣7+16÷16
＝1﹣7+1
＝﹣5；
（2）原式＝9a6•a4﹣a12÷a2
＝9a10﹣a10
＝8a10．
17． 解：
＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+y2）÷y
＝（2y2﹣4xy）y
＝4y﹣8x，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）﹣8×2＝﹣4﹣16＝﹣20．
18． 解：（1）∵一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
∴任意抽取1张，抽到方块的概率是，
故答案为：；
（2）∵一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌，
∴摸到大王的概率为，摸到4的概率为＝，
∵＜，
∴摸到大王的机会比摸到4的机会小．
19． 解：（1）如图所示；
（2）设∠A＝α，
∵AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝α，
∴∠ABC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝C＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A＝36°．

20． 解：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠DEA＝∠CFA＝90°，
∴DE∥CF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠ACF（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ACF＝∠2（等量代换），
∴FG∥AC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：DE；CF；两直线平行，同位角相等；ACF；2；内错角相等，两直线平行．
21． 解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：1500；4；
（2）由图象可知：
12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分，
∵450＞300，
∴小明买到书后继续骑车到学校，这段时间速度不在安全限度内；
（3）从图象上看，小明出发后离家距离为900米时，一共有三个时间，
①在0～6分钟时，平均速度为：＝200米/分，
距家900米的时间为：t1＝900÷200＝4.5（分）；
②在6～8分钟内，平均速度＝＝300米/分，
距家900米时时间为t2，则：1200﹣300（t2﹣6）＝900，
解得：t2＝7，
③在12～14分钟内，平均速度450米/分，
距家900米时时间为t3，则600+450（t3﹣12）＝900，
解得：t3＝12，
综上，小明出发4.5分钟或7分钟或12分钟时距家900米．
22． 解：如下图：

（1）只有M4在虚线上，其余点都在虚线外，
故选：D；
（2）如图示：在两条虚线之间都可以；
（3）四条虚线所围成的区域就是所求．
23． 解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，
∴AP＝AQ，
∵∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝90°，∠CAQ+∠PAC＝∠PAQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴CQ＝BP，∠ACQ＝∠B＝45°，
∵BP＝1×t＝1×2＝2（cm），
∴CQ＝2cm，
故答案为：2，45；
（2）在点P的运动过程中，能使△PCQ为等腰三角形，理由如下：
由（1）得：CQ＝BP，∠ACQ＝∠B＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCQ＝∠ACQ+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴△PCQ为等腰三角形时，只有PC＝CQ，
①如图1，当点P在BC线段上时，

BP＝PC＝BC＝×10＝5（cm），
∴t＝＝5；
②如图2，当点P在BC线段的延长线时，

PC＝BP﹣BC，而CQ＝BP，
∴CQ≠PC，
∴△PCQ为等腰三角形不成立；
综上所述，在点P的运动过程中，能使△PCQ为等腰三角形，此时t的值为5；
（3）①当点P在BC线段上时，CQ＝BP＝t，PC＝10﹣t，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ2＝PC2+CQ2＝（10﹣t）2+t2＝2t2﹣20t+100，
∵△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，
∴AP＝PQ，S△APQ＝AP2，
∴S△APQ＝AP2＝×（PQ）2＝PQ2＝×（2t2﹣20t+100）＝t2﹣5t+25；
②当点P在BC线段的延长线时，CQ＝BP＝t，PC＝t﹣10，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ2＝PC2+CQ2＝（t﹣10）2+t2＝2t2﹣20t+100，
S△APQ＝AP2＝×（PQ）2＝PQ2＝×（2t2﹣20t+100）＝t2﹣5t+25；
综上所述，S△APQ＝t2﹣5t+25（t≥0）．