内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2022_2023学年高三数学上学期期中试题含解析

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一､单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法求，根据共轭复数的概念写出，并判断其所在的象限.
【详解】由题可得，
则，
∴在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
2. 曲线：在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，选A
3. 已知角的终边过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知终边上的点坐标求的值，再由诱导公式得答案.
【详解】角的终边过点，
，则，
.
故选：C.
4. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
【详解】解：令，则，，所以
.
故选：A.
5. 已知，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两边平方，根据同角三角函数的平方关系，可化简求出,计算即可求值.
【详解】,
,
即，
所以2，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.
6. 在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：，
，由正弦定理可得，
，
，
的面积．
故选：A．
7. 已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.
【详解】函数，则
且，所以，
所以，解得，
所以，（）
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以.
故选：C
8. 已知，，均为锐角，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解，结合平方关系可得，然后利用倍角公式可得.
【详解】因为均为锐角，所以，
又因为，，
所以，.
因为，
所以，，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题一般是先根据已知角与所求角的关系，结合相关公式可求，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
9. 如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，，连接交于点，若，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵，则：
∵三点M，N，P共线．
∴，
解得：
本题选择C选项.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
10. 已知函数图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，．当取得最小值时，函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称求出，再由求出即可.
【详解】因为关于y轴对称，所以，
所以，又，故最小值是．，则．
所以．
故选：A.
11. 把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的解析式，然后根据得到，，这是本题的关键，接下来求出，，得到的最大值.
【详解】由题意得：，因为，即，而最大值为3，最小值为-3，相差为6，
∴，，
令，，解得：，
令，，解得：，
∵
∴要想取得最大值，则当，，当，，此时的最大值为
故选：C
12. 若函数在区间内单调递减.则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得解.
【详解】
当且时，，
因为余弦函数的单调递减区间为，
所以，，
所以，，解得，
由，可得，
且，，.
因此，的最大值为.
故选：C
二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，为第二象限角，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由诱导公式与二倍角公式求解
【详解】∵，∴，而为第二象限角，则
故答案为：
14. 内角的对边分别为，若的面积为，则_________
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.
【详解】由余弦定理可得，所以
的面积为
所以即，由
所以
故答案为：
15. 已知单位向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单位向量的模为1，及数量积的运算性质求解即可.
【详解】因为，
所以，
解得，
而，
故答案为：
16. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．
三､解答题（本大题共6小题，共70.分.17题10分，18-22题12分）
17. 已知角的终边在直线上，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知，再结合齐次式求解即可；
（2）结合，根据齐次式求解即可.
【小问1详解】
解：设角的终边上不与原点重合的任一点为
这里，，得，
.
【小问2详解】
解：
18. 设向量,,记
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；
（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.
详解：（1）依题意,得
．
由,解得
故函数的单调递减区间是．
（2）由（1）知,
当时,得,所以,
所以,
所以在上的值域为．
点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.
19. 已知的内角，，所对的边分别是，，，．
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积．
【答案】（1）
（2）最小值为6，的面积．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得，结合，可得；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出，得到周长的最小值为6，即可求出的面积．
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得：，
因为为三角形内角，所以，
所以，可得：，即，
因为，可得，可得，所以．
【小问2详解】
因为，即，
所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，周长的最小值为6，此时，的面积．
20. 已知函数，.
（1）求函数单调递增区间；
（2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值.
【答案】（1）和；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调区间整体代入即可求解.
（2）根据题意求出，再利用余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1），
由得，，
又，取得函数单调递增区间为：和.
（2）由得，∴，
由余弦定理得得
，∴，
从而.
【点睛】本题考查了两角和的正弦公式、辅助角公式、正弦函数的性质、余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）问方程在区间上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和.
【答案】（1），最大值2；（2）4个不同的实数根，之和为
【解析】
【分析】(1)将函数化简得，再根据周期公式求最小周期，利用三角函数的有界性求最大值.
(2)作出函数在区间上的大致图像，可得方程的实数根的个数，再根据对称性可求出这些实数根之和.
【详解】（1）因为，
所以，
当，，即，时，
函数取得最大值2.
（2）由，，可得函数的对称轴为，，
作出函数在的大致图象如下，
所以方程在区间上共有4个不同的实数根，
且这些实数根关于对称，所以实根之和.
【点睛】本题考查正弦函数周期性、最值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题.
22. 设函数，
（1）试讨论函数的单调性；
（2）如果且关于的方程有两个解，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数与单调性的关系求解，
（2）构造函数，由单调性转化后证明．
【小问1详解】
的定义域为，
∴，
令，解得，或，
当时，则当时，，当时，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
当时，则当时，，当时，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
当时，恒成立，即在上是增函数，
综上可得，当时，在上为减函数，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数，
当时，在上是增函数，
【小问2详解】
证明：
当且关于的方程有两个解等价于当存在
，
由（1）当时，在上为减函数，在上为增函数，
不妨设，
设，，
∴
∴在上单调递减，∴，
即当时，，
由于，∴，即，
∵，∴，
又，，在上为增函数，
∴，即.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
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