内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高三（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）复数z（2+i）＝1﹣i，则在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）曲线C：y＝在点P（1，0）处的切线方程为（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝2x﹣2 C．y＝ex﹣e D．y＝﹣x+1
3．（5分）已知角α的终边过点P（﹣1，），则＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知，且，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，cosB＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（5分）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则函数y＝f（x）（　　）
A． B．+ln2 C． D．1
8．（5分）已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，则sin2β＝（　　）
A． B． C． D．1
9．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且＝，＝，若＝λ，则λ的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝Acos（2x+φ）（φ＞0）的图象向右平移，得到的图象关于y轴对称，f（0）＝1．当ϕ取得最小值时（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝cos（2x+） B．f（x）＝cos（2x+）
C．f（x）＝cos（2x﹣） D．f（x）＝cos（2x﹣）
11．（5分）把函数的图象向右平移个单位长度倍，纵坐标不变，得到函数g（x），若g（x1）＝g（x2）﹣6，x1，x2∈[﹣π，π]，则x1﹣x2的最大值为（　　）
A． B．π C． D．2π
12．（5分）若函数在区间内单调递减．则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知，α为第二象限角，则cos2α＝　 　．
14．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为　 　．
15．（5分）已知两个单位向量，，且||＝1|＝　 　．
16．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与＝m+n（m，n∈R）　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。17题10分，18-22题12分）
17．（10分）已知角α的终边在直线上．
（1）求的值；
（2）求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．
18．（12分）设向量，，记f（x）＝．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在上的值域．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若a+c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
20．（12分）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）单调递增区间；
（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足△ABC的值
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）问方程在区间上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和．
22．（12分）设函数，
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）＝m有两个解x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．

2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）复数z（2+i）＝1﹣i，则在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵z（2+i）＝1﹣i，
∴＝，
∴＝，
∴在复平面内对应的点（，．
故选：A．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2．（5分）曲线C：y＝在点P（1，0）处的切线方程为（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝2x﹣2 C．y＝ex﹣e D．y＝﹣x+1
【分析】求出曲线的导函数，把x＝1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，0）和斜率写出切线的方程即可．
【解答】解：∵函数y＝，
∴y′＝，
∴切线的斜率k＝y′|x＝4＝＝1，
根据点斜式，可得切线方程为y＝x﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了导数的几何意义以及点斜式求直线方程，同时考查了计算能力，解题时要注意正确求导．属于基础题．
3．（5分）已知角α的终边过点P（﹣1，），则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得cosα的值，再由诱导公式得答案．
【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣1，），
∴|OP|＝，则cosα＝﹣，
∴＝﹣cosα＝．
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．
4．（5分）已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式及二倍角角的余弦可得答案．
【解答】解：∵α++（，
∴sin（α+）＝cos（，
∴＝cos（2（﹣α）﹣1＝2×，
故选：B．
【点评】本题考查诱导公式及二倍角角的余弦的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）已知，且，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用平方法求出cosαsinα的值，根据判断cosα﹣sinα的值的正负．在利用平方后开方可得答案．
【解答】解：，
即（cosα+sinα）2＝1+2cosαsinα＝，
∴cosαsinα＝．
∵，
∴cosα﹣sinα＝M＞0．
则（cosα﹣sinα）4＝M2，
∴1﹣6cosαsinα＝M2
可得：M2＝，
∵M＞0，
∴M＝，即cosα﹣sinα＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正余弦函数在象限的判断和同角三角函数关系式的计算．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，cosB＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】由已知利用正弦定理可得a＝2c＝4，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：∵c＝2，
∴sinA＝2sinC，由正弦定理可得a＝8c＝4，
∵cosB＝，
∴sinB＝＝，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则函数y＝f（x）（　　）
A． B．+ln2 C． D．1
【分析】求出函数在（1，f（1））处的切线方程，代入原点坐标求解a，得到函数解析式，再由导数分析单调性，即可求得函数的最小值．
【解答】解：由f（x）＝x2+alnx，得f′（x）＝2x+，
∴f′（1）＝3+a，又f（1）＝1，
∴函数f（x）＝x2+alnx的图象在（6，f（1））处的切线方程为y﹣1＝（2+a）（x﹣6），
把O（0，0）代入，即a＝﹣6．
∴f（x）＝x2﹣lnx，得f′（x）＝2x﹣＝，
当x∈（0，）时，当x∈（，f′（x）＞7，
∴f（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，
则＝．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，则sin2β＝（　　）
A． B． C． D．1
【分析】因为α，β均为锐角，所以β﹣α∈，所以，，由sinβ＝sin[α+（β﹣α）]＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）求出sinβ，再求出cosβ，代入即可．
【解答】解：因为α，β均为锐角，所以，，
由sinβ＝sin[α+（β﹣α）]
＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）
＝＝，
所以，，
所以sin2β＝2sinβcosβ＝7，
故选：D．
【点评】考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的公式的应用，中档题．
9．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且＝，＝，若＝λ，则λ的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．
【解答】解：∵＝，＝，
∴＝λ+）＝λ（+λ+λ，
∵三点M，N，P共线．
∴λ+，
∴λ＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）＝Acos（2x+φ）（φ＞0）的图象向右平移，得到的图象关于y轴对称，f（0）＝1．当ϕ取得最小值时（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝cos（2x+） B．f（x）＝cos（2x+）
C．f（x）＝cos（2x﹣） D．f（x）＝cos（2x﹣）
【分析】首先利用三角函数的平移变换的应用确定φ的值，进一步利用f（0）＝1，求出A的值，进一步求出函数的解析式．
【解答】解：函数f（x）＝Acos（2x+φ）（φ＞0）的图象向右平移个单位长度后）+φ]，
由于到的图象关于y轴对称，所以﹣，且φ＞0，
由于f（0）＝5．所以．所以f（x）＝．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
11．（5分）把函数的图象向右平移个单位长度倍，纵坐标不变，得到函数g（x），若g（x1）＝g（x2）﹣6，x1，x2∈[﹣π，π]，则x1﹣x2的最大值为（　　）
A． B．π C． D．2π
【分析】先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g（x）的解析式，然后根据正弦函数的性质求出g（x）的最值点的横坐标，根据给的范围求出结果．
【解答】解：将f（x）的图象向右平移个单位）+），
再把横坐标缩短到原来的倍，得到g（x）＝3sin（2•6x﹣），
由题意，要使g（x3）＝g（x2）﹣6，x7，x2∈[﹣π，π]，
只需g（x1）＝g（x）min，g（x5）＝g（x）max，故，……①，
，……②，
由①式，当k＝2时，x1的最大值为；由②式，x6的最小值为，
故x8﹣x2的最大值为＝．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图像变换以及性质，属于中档题．
12．（5分）若函数在区间内单调递减．则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用余弦型函数性质的应用求出结果．
【解答】解：根据函数的诱导公式，
，
由于函数在区间内单调递减，
利用函数的单调性，递减区间满足，
整理得（k∈Z），
故，解得，
当k＝2时，，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知，α为第二象限角，则cos2α＝　　．
【分析】利用诱导公式与二倍角公式求解即可．
【解答】解：因为，所以，即，
所以＝，解得sin2α＝，
又因为α是第二象限角，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数求值应用问题，是基础题．
14．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为　　．
【分析】代入三角形面积公式，代入余弦定理即可．
【解答】解：因为△ABC的面积为，
所以＝，
所以sinC＝cosC，即tanC＝1，得．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理，考查同角函数关系，属于基础题．
15．（5分）已知两个单位向量，，且||＝1|＝　　．
【分析】根据为单位向量，对两边平方即可求出，从而可求出，进而可求出．
【解答】解：∵，且；
∴＝；
∴；
∴＝1+8+1＝3；
∴．
故答案为：．
【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量长度的求法．
16．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与＝m+n（m，n∈R）　3　．

【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．可得cosα，sinα．可得
cos（α+45°），sin（α+45°）．利用＝m+n（m，n∈R），即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，0）．
＝（1，4）．
由与的夹角为α．
∴cosα＝，sinα＝．
∴C．
cos（α+45°）＝（cosα﹣sinα）＝．
sin（α+45°）＝（sinα+cosα）＝．
∴B．
∴＝．
∵＝m（m，
∴＝m﹣n，n，
解得n＝，m＝．
则m+n＝2．
故答案为：3．

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。17题10分，18-22题12分）
17．（10分）已知角α的终边在直线上．
（1）求的值；
（2）求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值．
（1）利用同角三角函数基本关系式化简即可求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：因为角α的终边在直线上，
所以tanα＝，
（1）＝＝＝﹣；
（2）sin6α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝＝＝﹣1．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
18．（12分）设向量，，记f（x）＝．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在上的值域．
【分析】（1）进行向量坐标的数量积的运算，并根据二倍角的正余弦公式，以及两角和的正弦公式可得出，然后根据正弦函数的单调递减区间即可求出f（x）的单调递减区间；
（2）根据x∈即可得出的范围，从而可求出f（x）的最大值和最小值，进而得出f（x）的值域．
【解答】解：（1）＝＝＝，
解，（k∈Z），得，，
∴f（x）的单调减区间为，k∈Z；
（2）∵，∴，
∴时，f（x）取最小值；时，
∴f（x）在上的值域为．
【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，正弦函数的单调区间，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若a+c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
【分析】（1）由题意，对进行变形，再利用正弦定理即可求得B，
（2）利用余弦定理，再结合均值不等式求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得：，
因为A为三角形内角，所以sinA≠0，
所以，可得：，即，
因为B∈（0，π），可得．
（2）因为b5＝a2+c2﹣5accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，即3ac＝16﹣b2，
所以，解得b≥2，取等号，
所以bmin＝5，△ABC周长的最小值为6，△ABC的面积．
【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）单调递增区间；
（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足△ABC的值
【分析】（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）＝sin（x+），再根据x的范围，根据正弦函数的单调性即可求解．
（2）由已知可得sin（A+）＝1，结合A的范围可求A的值，进而根据余弦定理可求b的值，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sinx+sin（x+）＝sinx+cosx＝（cosx）＝），
∴令2kπ﹣≤x+，可得2kπ﹣，k∈Z，
又∵x∈[7，]，
∴可得k＝7，1时，]和[，]．
（2）∵f（A）＝，可得：sin（A+，
又∵A∈（2，π）∈（，）＝，
∴可得A＝，
∵由余弦定理a2＝b8+c2﹣2bccosA，可得25＝b8+c2﹣bc＝（b+c）2﹣6bc＝49﹣3bc，
∴可得b＝8，
∴S△ABC＝bcsinA＝．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）问方程在区间上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和．
【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式和两角和的正弦公式可得f（x）＝﹣2sin（2x﹣），即可求出函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，根据对称轴即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝cos2x﹣sin5x＝﹣2sin（2x﹣），
∴T＝＝π，
当5x﹣＝2kπ﹣，即x＝kπ﹣，函数f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）3x﹣＝kπ﹣，可得函数f（x）的对称轴为x＝﹣，
函数f（x）的图象如下，

∵函数f（x）＝在区间[﹣，，
且这些实数根关于x＝对称
【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，是基础题．
22．（12分）设函数，
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）＝m有两个解x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可求出，
（2）由（1）当a＞0时，f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数，不妨设0＜x1＜a＜x2，设g（x）＝f（a+x）﹣f（a﹣x），x∈（0，a），利用导数判断g（a）的单调性，可得f（x1）＞f（2a﹣x1），由f（x1）＝f（x2），即可f（x2）＞f（2a﹣x2），根据函数的单调性可得
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）＝+x+＝＝，
令f′（x）＝3，解得x＝a，
当a＜0时，则当0＜x＜﹣7a时，当x＞﹣2a时，
∴f（x）在（0，﹣8a）上为减函数，+∞）上为增函数，
当a＞0时，则当0＜x＜a时，当x＞a时，
∴f（x）在（6，a）上为减函数，+∞）上为增函数，
当a＝0时，f′（x）＞0恒成立，+∞）上是增函数，
综上可得，当a＜5时，﹣2a）上为减函数，+∞）上为增函数，
当a＞0时，f（x）在（2，在（a，
当a＝0时，f（x）在（0，
证明：（2）当a＞7且关于x的方程f（x）＝m有两个解x1，x2（x3＜x2）等价于当a＞0存在f（x4）＝f（x2），（x1＜x3）
由（1）当a＞0时，f（x）在（0，在（a，
不妨设2＜x1＜a＜x2，
设g（x）＝f（a+x）﹣f（a﹣x），x∈（6，
∴g′（x）＝f′（a+x）+f′（a﹣x）＝+＝﹣，
∴g（x） 在（0，a）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）＝0，
即当x∈（6，a）时，
由于0＜a﹣x1＜a，
∴f[a﹣（a﹣x5）]＞f[a+（a﹣x1）]，
即f（x1）＝f[a﹣（a﹣x5）]＞f[a+（a﹣x1）]＝f（2a﹣x4），
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x4）＞f（2a﹣x2），
又x2＞a，2a﹣x1＞a，
∴x7＞2a﹣x1，
即x4+x2＞2a．
【点评】本题考查导数的运用：考查不等式的证明，注意运用分类讨论思想方法和运用导数判断单调性，构造函数是解题的关键，属于难题．
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