内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022届高三三模理科数学试题（含解析）

这是一份内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022届高三三模理科数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022届高三三模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．设，则复数z对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题，命题，则下列命题是真命题的是（    ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则函数的最大值和周期分别是（    ）
A．， B．，
C．2， D．2，
5．若x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）
A．1 B．7 C．9 D．10
6．若，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
8．设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（    ）
A． B． C． D．
9．正方体中，E，F分别是的中点，则直线与EF所成角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
10．已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（    ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
11．已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
12．设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B．函数f（x）有极小值f(-3)和f（3）
C．函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D．函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）

二、填空题
13．已知向量，若，则 ．
14．双曲线的焦点到其渐近线的距离是 .
15．在锐角三角形中，，，，则
16．在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.



三、解答题
17．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50

100
女性
70

100
合计



（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．
  
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
19．数列{an}中，，
（1）求证：数列{an+n}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
20．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
22．已知直线l的参数方程为（为常数，为参数），曲线C的参数方程为（为参数）．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围．
23．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据补集概念求解即可.
【详解】因为，，
则.
故选：A
2．C
【分析】根据复数的运算，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由，可得，
所以复数在复平面内对应的点为位于第三象限.
故选：C.
3．C
【分析】分别判断命题与命题的真假，从而结合“且或非”的真假性即可得解.
【详解】对于命题，将代入，得，满足要求，
故为真命题，为假命题；
对于命题，取，则，不满足要求，
故为假命题，为真命题；
所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.
故选：C.
4．A
【解析】由三角函数辅助角公式可得，再结合三角函数最值与周期的求法求解即可.
【详解】解：由函数，
所以，
又，即，
所以，
又，
即函数的最大值和周期分别是，
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数辅助角公式，重点考查了三角函数最值与周期的求法，属基础题.
5．A
【分析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图，

作直线，直线中是直线的纵截距，
代入得，即．
平移直线，当直线过点时取得最小值1．
故选：A．
6．B
【分析】利用二倍角余弦公式可求的值，故可得正确的选项.
【详解】
故选：B.
7．C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
8．B
【分析】根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.
故选：B.
9．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可得答案.
【详解】正方体中，E，F分别是的中点，
设正方体中棱长为2，
以D为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
  
设直线与EF所成角为θ，，
则==，
∴直线与EF所成角的余弦值是．
故选：B．
10．D
【分析】先将等式化为的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出.
【详解】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以.
故选：D.
11．A
【分析】设，则点到直线的距离,然后根据三角函数求出最值.
【详解】设，则点到直线的距离
.
因为，所以，则.
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于中档题.
12．D
【分析】结合图象，讨论出原函数的单调区间，进而得到极值点的位置，最后得到答案.
【详解】由题意，时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递增；
时，，单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f（3）.
故选：D.
13．
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
14．3
【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
则焦点到其渐近线的距离是.
故答案为：3.
15．
【分析】由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC.
【详解】∵ ，
∴，又，，
∴ ，又A为锐角，
∴ ，
由余弦定理可得，
∴ ，
∴ ，
故答案为：.
16．④⑤/⑤④
【分析】根据正视图，结合题意，作出几何体直观图，由此再判断，即可得到结果.
【详解】根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图下图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次④⑤；
几何体若如图下图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次⑤④；

        图（1）                              图（2）
故答案为：④⑤（或⑤④）.
17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.
【分析】（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．
【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：

经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50
50
100
女性
70
30
100
合计
120
80
200
由列联表，得：
，
∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有人，
∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，
将频率视为概率，
∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，
由题意，
∴随机变量的数学期望，
方差D（X）=．
【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量法证明即可；
（2）求平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
【详解】（1）因为底面，底面，且底面是边长为2的正方形，
所以两两垂直，
以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
  
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取可得，所以平面的一个法向量为，
因为，所以平面.
（2）由（1）得，，
设平面的法向量为，
则，取可得，所以平面的一个法向量为，
由（1）得平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
又由图可知为钝角，
所以二面角的大为．
19．（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)由递推式可得到，即可证数列{an+n}为等比数列；(2)由(1)的结论可知，即可知{an}的通项公式
【详解】（1）证明：根据题意，，则
∴且
故，数列{}是首项与公比都为2的等比数列.
（2）由（1）结论可知：
∴
【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，并求数列的通项公式，属于简单题
20．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
21．(1) 当时， 在上单调递减；当，的单调递增区间为；单调递减区间是和；当， 的单调递增区间为，单调递减区间是和；（2）.
【详解】试题分析：（1）求出的导数，通过的讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）由题意可得恒成立，令，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论.
试题解析：（1），
，
①当时，，∴在上单调递减；
②当，由解得，∴的单调递增区间为，
单调递减区间是和；
③当，同理可得的单调递增区间为，单调递减区间是和.
（2）∵恒成立，∴恒成立，
即恒成立，
，
∴在上递增，上递减，∴，
∴，∴，
令，
∴在上递增，上递减，
∴，∴，∴实数的最大值为.
22．（1）直线的普通方程为；曲线的普通方程为；（2）.
【分析】（1）直接消去参数方程中的参数可得其普通方程；
（2）由直线与圆有公共点，可得圆心到直线的距离小于半径，从而可求出实数m的取值范围
【详解】（1）由直线的参数方程（为常数，为参数），得：．
由曲线的参数方程（为参数）得：．
故直线的普通方程为；曲线的普通方程为．
（2）∵直线与圆有公共点，圆心，半径，
∴圆心到直线的距离．
∴，即所求的取值范围为．
23．(1)
(2),,

【分析】（1）时不等式等价于，利用领导的分段法求出不等式的解集即可．
（2）存在使得成立，等价于，求出的最小值，再列不等式求的取值范围．
【详解】（1）当时，不等式等价于，
即或或，
解得或或，即，
所以不等式的解集为．
（2）存在使得成立，等价于，
因为，
当且仅当时成立，所以，
又因为，且，
所以，即，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得，
综上知，的取值范围是,,．